线性代数问题的计算机应用

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1、毕毕 业业 论论 文文 题题 目目 线性代数问题的计算机 求解方法的研究 专专 业业 信息与计算科学 班班 级级 学学 生生 学学 号号 指导教师指导教师 二一年五月三十日 毕业论文 - - 1 - - 摘 要 与中学数学相比，高等数学的内容多,抽象性和理论性较强,一些学生进入大学 后很不适应.而数学软件具有形象性、直观性、互动性和时效性,它可以帮助学生很 好的理解内容,并能够尽快的学以致用. MATLAB 已经成为国际上最流行的科学与 工程计算的软件工具,本文首先对 MATLAB 等计算机软件的国内外现状进行了简单 的介绍,然后以 MATLAB 为例对计算机在线性代数教学和学习过程中的应用进

2、行了 研究.最后,阐述了利用计算机解决实际生活中的一个经济学问题,并给出了几点建议.经 过本文的讲述,同学们既可以提高自己的动手能力和对数学软件的使用能力,又可以 在以后的数学学习中,轻松快捷的掌握复杂的计算,提高自己对学习的积极性. 关键词：关键词：线性代数；矩阵；MATLAB 毕业论文 - - 2 - - Abstract Compared with middle school math, Higher Mathematics has more abstract and theoretical characteristics, many students cant adapt to it.

3、 As mathematical software has the characteristics of visualization, ocular demonstration, bidirectional operation and effectiveness, it is helpful for students to understand and use what they learn. MATLAB has been the most popular software in science and engineering calculation. In this paper, at f

4、irst, as the computer software MATLAB situation at home and abroad is introduced simply ,and taking MATLAB for example in higher mathematics is researched. At last, the use of computers is described to solve a economic problem in actual life, and some advices are proposed. After this papers introduc

5、tion, students can not only improve their skill and ability to use mathematical software, but also raise their enthusiasm so that learning is quick and easy. Keywords: Linear Algebra；Matrix；Matlab 毕业论文 - - 3 - - 目 录 摘要.I ABSTRACT.II 1 引言. .1 2 常见数学软件介绍.3 2.1 MAPLE.3 2.2 MATHEMATICA.3 2.3 MATHCAD.3 2

6、.4 MATLAB.4 3 数学软件在线性代数中的应用.6 3.1 计算机求解矩阵方程6 3.2 矩阵的基本分析.7 3.3 矩阵的基本变换.12 3.4 矩阵分解.13 3.4.1分解.13LU 3.4.2分解.14QR 3.4.3 三角-三角分解.15 4 实际生活中的线性代数.17 4.1 线性代数对经济学的应用17 4.2 小结.19 结论.20 参考文献.21 致谢.22 毕业论文 - - 4 - - 1. 引言 线性代数是一门应用性很强,而且理论非常抽象的数学学科,它主要讨论了矩阵 理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换的理论.在计算机广泛应用的今天,计 算机图形学、计算机辅

7、助设计、密码学、经济学、网络技术等无不以线性代数为基 础.但是在线性代数中,大部分的计算太过繁琐.例如当把方程的阶次提高到了三元以 上时,不但要求较高的抽象思维能力,而且也要求用十分繁琐的计算步骤才能解决问 题,这使得大多数的工科学生对线性代数感到乏味枯燥1. 线性代数的计算机应用在国外也有很多的应用，例如 Wassily Leontief 教授把美 国经济用 500 个变量的 500 个线性方程组描述,而后又把系统简化为 42 个变量的 42 个线性方程.经过几个月的编程,并利用当时的计算机运行了 56 个小时才求出其解2. 又如，1992 年至 1997 年,美国国家科学基金会资助的 AT

8、LAST(Augment the Teaching of Linear Algbra using Software Tools)计划重点强调在线性代数教学中应该 利用新的计算方法技术.比如 MATLAB 语言在国外大学工学院中,特别是在数值运 算用得最频繁的电子信息学科中 MATLAB 已成为每个学生必备的工具,它大大提高 了课堂教学、解题作业和分析研究的效率3. 线性代数的教学不能离开计算机是美国工科教育界的共识.国外的线性代数 教材大多与其他数学分支联系或应用到其他领域,如:近似积分与微分,微分方程组, 经济管理学等,可以使得学生充分掌握线性代数的实际应用. 另外,由于国外教育采用 “放羊

9、”式方法,学生们从小就养成了自己独立思 考,运用各种可以利用的学习工具来辅助学习的习惯 ,所以计算机成为了他们学 习的有力武器 ,运用计算机解决数学问题对他们来说便显得得心应手. 由于 MATLAB 可以帮助使用者摆脱繁重的计算过程,所以在美国大学中， MATLAB 已广泛应用到线性代数中去,成为许多大学生和研究生使用的重要工具.在 国外的高校中,熟练掌握 MATLAB 已成为大学及以上学历必须掌握的基本技能.大 多数国外学校对数学的研究主要是运用计算机解决问题,真正动手演算很少,所以即 使中国学生在理论知识上比外国学生强,但对于实际应用和动手能力却远远不如外国 学生. 然而当前我国在线性代数

10、教学与学习中面临着许多问题: (1)教材内容老化 课程教学与应用脱节,数学应该是来源于实际生活的,根据理论和基础计算,再应 用并解决现实问题.但现在的数学教学却只讲授课本理论,导致学生无法将理论与实 际生活相结合； 毕业论文 - 1 - (2)课程内容抽象,定理和概念繁多,学生难以对课本内容形成充分的整体认识； (3)课堂教学手段单一,与现代化技术结合得不好.在大学线性代数学习中,大多 数课堂只是进行理论讲授,没有将数学实验引入教学,使理论与实际应用有机结合,造 成学生科学计算能力低下,只是一味的埋头做题、套公式,而不去考虑应用计算机解 答等简便算法. 之前,我国科技水平不发达,使用计算机解决

11、日常生活问题还达不到要求.但是, 现在家用计算机、笔记本几乎成为大学生必备的学习用品,即使这样在数学的学习中 仍不能灵活运用计算机解决实际问题.线性代数课堂中不谈计算机已经成为我国线性 代数教育的普遍问题.所以我国的线性代数课程出现了不尽人意的状况-理论抽象越 来越深,应用和实际计算结合越来越少,成了一门抽象、冗繁而枯燥的课程. 当前学生在学习线性代数上也存在众多问题:学习没有计划,学习环节不完整,读 书不求甚解,懒于动脑思考线性代数与实际的联系,学习过程中不善于查找相关资料 等.这些普遍问题使得学生的学习与现实产生了严重的脱节.大学的学习内容、方法 和要求,比起中学的学习发生了很大的变化,没

12、有老师像在高中一样督促你学习,所以 大部分的学生一进大学便放松了自己,就是认真学习的学生也是毫无计划,整天忙于 被动的应付听课、完成作业和考试,缺乏主动自觉的学习,干什么都心中无数. 不但对线性代数的学习如此,线性代数本身的特点也使得大部分学生对线性代数 生而畏之.例如,线性代数中多项式部分定义的繁琐难懂,最大公因式、不可约多项式、 二次型等与实际应用的相脱离,向量的线性相关、线性空间、线性变换、欧式空间等 问题概念的抽象性,行列式的求法、矩阵的相关计算容易出错,线性代数中有些知识 需要进行大量的、机械的数值运算,在学生套用公式时,耗费了大量的时间和精力,又 往往出错.例如:在求解行列式问题上

13、,如果矩阵为高阶方阵,且不具备特殊条件(比A 如为三角矩阵等),那么在求解矩阵的行列式时,需要将矩阵依次按行展开,将其AA 化为多个三阶矩阵的和才可套用公式求出,期间过程繁琐,费时且容易出错,长期下来 学生学习线性代数时搞不懂、弄不清,即使经过长期理论熏陶并经过复杂的计算过程 将题目解答出来,也无法判断题目的对错,更不要说学生对线性代数的研究.所以使得 很多同学对线性代数失去了兴趣.但是,以上问题若用计算机求解则可几步便求出答 案,达到事半功倍的效果. 大部分学生不懂也不善于运用计算机解决线性代数问题,可能存在有如下几点原 因: (1)喜欢文科类课程,对线性代数等数学学科没有兴趣,所以不愿去研

14、究其解题方 法,或者由于需要长期进行大量的计算,而对线性代数没有了兴趣； (2)对计算机软件不感兴趣,以至于运用软件求解计算生疏不懂； (3)不肯动脑研究计算机软件,懒于记忆软件中的常用函数； (4)想锻炼自己的动笔能力,喜欢用稿纸演算. 毕业论文 - 2 - 2. 常见数学软件介绍 目前,数学的科技应用软件主要有 MAPLE、MATHEMATICA、MATHCAD、MATLAB 等. 2.1 MAPLE MAPLE 软件是目前世界上最为通用的数学和工程计算软件之一,在数学和科学 领域享有盛誉 ,有“数学家的软件 ”之称.它可以解决许多数学问题而不用像C 语言那样编写大量的程序 ,操作简单、易学易用 .它以友善的使用环境、强大的 符号处理、精确的数值计算、灵活的图形显示、高效的编程功能为越来越多的教 师、学生和科研人员所喜爱 ,并成为他们进行数学处理的首选工具 . MAPLE 的主要功能有 :计算(包括符号计算、数值处理、二维与三维作图 ) 和编辑.另外,MAPLE 软件具有广泛的数学功能 :具有 400