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1、第5讲 导数与函数零点、不等式证明、恒成立问题,高考定位 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.,1.(2016全国卷)设函数f(x)ln xx1.,2.(2017全国卷)设函数f(x)(1x2)ex.,(1)讨论f(x)的单调性； (2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围.,考 点 整 合,1.利用导数研究函数的零点,函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求
2、解.,2.三次函数的零点分布,三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x时，函数值也趋向，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1x2的函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的零点分布情况如下：,3.利用导数解决不等式问题,(1)利用导数证明不等式. 若证明f(x)g(x)对一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xI).,xI，使f(x)g(x)成立I与f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xI). 对x1，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min. 对x1I，x2I使得f(x1)
3、g(x2)f(x)ming(x)min. 温馨提醒 解决方程、不等式相关问题，要认真分析题目的结构特点和已知条件，恰当构造函数并借助导数研究性质，这是解题的关键.,热点一 利用导数研究函数的零点(方程的根) 【例1】 (2017淄博诊断)已知aR，函数f(x)exax(e2.718 28是自然对数的底数).,探究提高 1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题. 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线yk)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象； 第三步：结合图象求解. 2.根据函数零点情况求
4、参数范围：(1)要注意端点的取舍；(2)选择恰当的分类标准进行讨论.,【训练1】 (2016北京卷节选)设函数f(x)x3ax2bxc. (1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)设ab4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围.,解 (1)由f(x)x3ax2bxc， 得f(x)3x22axb. f(0)c，f(0)b， 曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为ybxc.,命题角度2 不等式恒成立问题 【例22】 (2016全国卷)已知函数f(x)(x1)ln xa(x1). (1)当a4时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程； (2)若当x(1，)
5、时，f(x)0，求a的取值范围.,探究提高 1.(1)涉及不等式证明或恒成立问题，常依据题目特征，恰当构建函数，利用导数研究函数性质，转化为求函数的最值、极值问题，在转化过程中，一定要注意等价性. (2)对于含参数的不等式，如果易分离参数，可先分离参数、构造函数，直接转化为求函数的最值；否则应进行分类讨论，在解题过程中，必要时，可作出函数图象草图，借助几何图形直观分析转化.,2.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)g(a)对于xD恒成立，应求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，应求f(x)的最大值.应特别关注等号是否取到，注意端点的取舍.,【训练2】
6、(2017全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.,由上表可得，x4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值， 所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,探究提高 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x). (2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0. (3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. (4)结论：回归实际问题作答.,令h(
7、x)0得x80， 当x(0，80)时，h(x)0，h(x)是增函数， 当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25， 因为h(x)在(0，120上只有一个极值，所以它是最小值. 故当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.,1.重视转化思想在研究函数零点中的应用，如方程的解、两函数图象的交点均可转化为函数零点，充分利用函数的图象与性质，借助导数求解. 2.对于存在一个极大值和一个极小值的函数，其图象与x轴交点的个数，除了受两个极值大小的制约外，还受函数在两个极值点外部函数值的变化的制约，在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件.,3.利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h(x)0.其中找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口.,4.不等式恒成立、能成立问题常用解法,(1)分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下，采用分离参数转化为函数的最值问题，形如af(x)max或af(x)min. (2)直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情况下，直接转化为含参函数的最值问题，伴有对参数的分类讨论. (3)数形结合，构造函数，借助函数图象的几何直观性求解，一定要重视函数性质的灵活应用.,
