科学应用折射率椭球讨论晶体光学性质

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1、(4) 应用折射率椭球讨论晶体的光学性质, 各向同性介质或立方晶体 单轴晶体 双轴晶体,4.2.2 光在晶体中传播的几何法描述,1.折射率椭球(光率体), 各向同性介质或立方晶体 主介电系数 1=2 =3 ，主折射率n1= n2 = n3 = n0 ，折射率椭球方程：,各向同性介质的折射率椭球是一半径为 n0 的球。不论 在什么方向，垂直于 的中心截面与球的交线均是半径为 n0 的圆，不存在特定的长短轴，光学性质各向同性。, 单轴晶体 主介电系数1=2 3，主折射率n1=n2=no，n3=neno，折射率椭球方程：,单轴晶体的折射率椭球是一旋转椭球面，旋转轴为 x3 轴。 neno，称为正单轴

2、晶体(如石英)，折射率椭球是沿 x3 轴拉长了的旋转椭球； neno，称为负单轴晶体(如方解石)，折射率椭球是沿 x3 轴压扁了的旋转椭球。,单轴晶体折射率椭球作图法,两个坐标系的关系：,其中,或,截线方程, = 0 时，k 与 x3 轴重合，这时 ne= no ，中心截面与椭球的截线方程为,可见，沿 x3 轴方向传播的光波折射率为 no ， 矢量的振动方向除与 x3 轴垂直外，无其他约束，即沿 x3 轴方向传播的光可以允许任意偏振方向，故 x3轴为光轴。,两种特殊情况：,包含 x3 轴的中心截面都可选作x3Ox1平面。对于正单轴晶体，e 光有最大折射率；而对于负单轴晶体，e 光有最小折射率。

3、用几何作图法可以得到, = /2 时，k x3轴，ne= ne ，e 光的 矢量与 x3 轴平行。中心截面与椭球的截线方程为,两种特殊情况：, 双轴晶体,a. 双轴晶体中的光轴 b. 光在双轴晶体中的传播特性,a. 双轴晶体中的光轴 主介电系数 1 2 3 ，主折射率系数 n1 n2 n3 ，折射率椭球方程为：,约定n1 n2 n3，则折射率椭球与 x1Ox3平面的交线是椭圆：,式中，n1和n3分别是最短、最长的主半轴。,或,若椭圆上任意一点的矢径 与 x1 轴的夹角为 ，长度为n，则上式可写成,n 随 在 n1和 n3之间变化。由于n1n2n3，所以总是可以找到某一矢径 ，其长度为 n=n2

4、。 与 x1 轴的夹角为0 ，,所以：,显然，矢径 r0 与 x2 轴组成的平面与折射率椭球的截线是一个半径为 n2 的圆。若以 0 表示该圆截面，则与垂直于0 面的波法线方向 k 相应的 D 矢量在 0 面内振动，且振动方向没有限制，折射率均为 n2。,如果用 C 表示 0 面法线方向的单位矢量，则 C 的方向即是光轴方向。由于tan0有正负两个值，相应的 0 面及其法向单位矢量 C 也有两个，因此有两个光轴方向 C1 和 C2 ，即双轴晶体。 实际上，C1 和 C2 对称地分布在 x3 轴两侧。由 C1 和 C2 构成的平面叫做光轴面，显然，光轴面就是x3Ox1平面。设 C1、C2 与 x

5、3 轴的夹角分别为 、 ，则有：, 小于 45，为正双轴晶体; 大于45，为负双轴晶体。,图 4-15 双轴晶体折射率椭球在x3Ox1面上的截线,图4-16 双轴晶体双光轴示意图,b.光在双轴晶体中的传播特性 利用双轴晶体的折射率椭球可以确定相应于k方向两束特许线偏振光的折射率和振动方向，具体计算比单轴晶体复杂得多。只讨论几种特殊情况：, (i) 当k方向沿着主轴方向(如x1轴)时，相应的两个特许线偏振光的折射率分别为n2和n3，D矢量的振动方向分别沿 x2轴和 x3 轴；当 k 沿 x2 轴时，相应的两个特许线偏振光的折射率分别为 n1和 n3，D矢量的振动方向分别沿 x1轴和 x3轴。,(

6、ii) 当 k 沿着光轴方向时，二正交线偏振光的折射率为n2，其 D 矢量的振动方向没有限制。,(iii) 当 k 在主截面内，但不包括上面两种情况时，二特许线偏振光的折射率不等，其中一个等于主折射率，另一个介于其余二主折射率之间。,例如，k在 x1Ox3主截面内，与 x3 轴的夹角为 。为简化运算, 将坐标系 O-x1x2x3 绕 x2 轴旋转 角，建立一个新坐标系 O-x1x2x3 。,新旧坐标系之间的关系为:,代入折射率椭球方程，并与x3=0 联立:,得与 k 垂直的截线方程为:,所以，与k相应的二特许线偏振光的折射率为: D 矢量的振动方向分别为x2 、x1方向。,(iv) 当k与折射

7、率椭球的三个主轴既不平行又不垂直时， 相应的两个折射率都不等于主折射率，其中一个介于n1, n2之间，另一个介于n2, n3之间。如果用波法线与两个光轴的夹角 1 和 2 来表示波法线方向 k，则利用折射率椭球的关系，可得到与 k 相应的二折射率十分简单的表达式:,(v) 已知两个光轴方向和 k方向时，可以很方便地确定与 k相应的D矢量的两个振动方向。,图 4-18 D矢量振动面的确定,图 4-19 图 4 - 18 中的平面,应当指出，在双轴晶体中，除两个光轴方向外，沿其余方向传播的平面光波，在折射率椭球中心所作的垂直于 k 的平面与折射率椭球的截线都是椭圆。而且，由于折射率椭球没有旋转对称

8、性，相应的两个正交线偏振光的折射率都与k 的方向有关，因此两个光都是非常光。 故在双轴晶体中，不能采用 o光与 e 光的称呼来区分这两种偏振光。,2. 折射率曲面和波矢曲面,曲面上的矢径 ，方向平行于给定的波法线方向 , 长度等于与 相应的两个波的折射率。因此，折射率曲面是一个双壳层的曲面，记作(k,n)曲面。,(4.2-31)式是折射率曲面在主轴坐标系中的极坐标方程。,为了更直接地表示与每一个波法线方向 相应的两个折射率，引入折射率曲面。,若以 代入上式，得到其直角坐标方程：,这是一个四次曲面方程。利用这个曲面可以很直观地得到与 相应的二折射率。,对于立方晶体，n1=n2=n3=n0 ，由此

9、可得：,显然其折射率曲面是一个半径为 n0 的球面，在所有的 方向上，折射率都等于n0 ，在光学上是各向同性的。,对于单轴晶体，n1=n2=no, n3=ne ，于是：,或:,可见，单轴晶体的折射率曲面是双层曲面，由半径为 no的球面和以 x3 轴为旋转轴的旋转椭球构成。球面对应 o 光的折射率曲面，旋转椭球对应 e 光的折射率曲面。,对于正单轴晶体：neno，球面内切于椭球；对于负单轴晶体：neno ，球面外切于椭球。两种情况的切点均在 x3 轴上，故 x3 轴为光轴。,对于双轴晶体，n1n2n3, 前面所述的四次曲面在三个主轴截面上的截线都是一个圆加上一个同心椭圆.,双轴晶体的折射率曲面在

10、三个主轴截面上的截线,双轴晶体的折射率曲面在第一卦限中的示意图,折射率曲面上在任一矢径末端处的法线方向，即是与该矢径所代表的波法线方向 方向相应的光线方向 。,3. 菲涅耳椭球 折射率椭球和折射率曲面是相对波法线方向 k 而言。 菲涅耳椭球是相对光线方向 s 引入的几何曲面。 由折射率椭球方程(4.2-65)并利用矢量对应关系，可得：,菲涅耳椭球与折射率椭球的作图方法完全相同，只是以光线方向 s 取代波法线方向 k。,4. 射线曲面 描述与晶体中光线方向 s 相应的两个光线速度的分布。 射线曲面上的矢径方向平行于给定的 s 方向， 矢径的长度等于相应的两个光线速度 vr ，因此可简记为 (s,

11、vr) 曲面。 射线曲面在主轴坐标系中的极坐标方程：,v 与 n 成反比，因此射线曲面两壳层的里外顺序与折射率曲面刚好相反。,(a) 正单轴晶体； (b) 负单轴晶体 图 4 - 23 单轴晶体的射线曲面,图 4 24 双轴晶体射线曲面在三个主轴截面上的截线,图 4 - 25 双轴晶体射线曲面在第一卦限中的示意图,射线曲面上的矢径方向平行于 方向，其矢径末端处的法线方向就是与该 方向相应的波法线方向 。,4.3平面光波在晶体界面上的反射和折射,4.3.1 光在晶体界面上的双反射和双折射 4.3.2 光在晶体界面上反射和折射方向的 几何作图法描述,4.3.1 光在晶体界面上的双反射和双折射,一束

12、单色光入射到各向同性介质的界面上，将分别产生一束反射光和一束折射光，且遵从反射定律和折射定律。 一束单色光从空气入射到晶体表面上，会产生双折射；当一束单色光从晶体内部射向界面上时，会产生双反射。 界面上产生的两束折射光或两束反射光都是线偏振光，其振动方向相互垂直。这种双折射和双反射现象是晶体光学各向异性特性的直接结果。,方解石晶体的双折射现象,方解石晶体中的双反射现象,He-Ne激光束（自然光）,根据电磁场的边界条件， 可得:,入射光、反射光和折射光的波法线均在入射面内，或者说， 、 、 和界面法线共面。,入射光、反射光和折射光具有相同的频率；, i 、r 和t 都是对波法线方向而言，尽管反射

13、光和折射光的波法线均在入射面内，但反射光线和折射光线有可能不在入射面内。, 由于双折射和双反射现象的存在，nr 和 r 以及 nt 和 t 都有两个可能的值。, 光的折射率因传播方向和电场振动方向而异。若光从空气射入晶体，因 nt 不同，t 也不同；若从晶体内部射出，相应的 ni 和 nr不相等，所以在一般情况下入射角不等于反射角。,光在晶体界面上的反、折射与在各向同性介质中的区别：,4.3.2 光在晶体界面上反射和折射方向的 几何作图法描述,1. 惠更斯作图法 2. 斯涅耳作图法,1. 惠更斯作图法 利用射线曲面(即波面)确定反射光、折射光方向的几何作图法。 对于各向同性介质，惠更斯原理“次

14、波包迹是新的波阵面”，说明光波由一种介质进入另一种介质时会发生折射，利用次波面的单层球面特性，作图确定次波包迹波阵面，从而确定折射光的传播方向。,对于晶体，在界面上的次波源向晶体内发射的次波波面是双壳层曲面，每一壳层对应一种振动方式，即射线曲面。对于两种不同振动方式的次波包迹，就是各自的波阵面，它们按不同的方式传播，从而形成两束折射光。,单轴晶体惠更斯作图法,正入射时负单轴晶体中的折射现象,2. 斯涅耳作图法 利用波矢曲面确定反射光、折射光传播方向的作图法。,应当指出的是，菲涅耳作图法所确定的两个反射波矢和两个折射波矢只是允许的或可能的两个波矢，至于实际上两个波矢是否同时存在，要看入射光是否包含各反射光或各折射光的场矢量方向上的分量。,图 4 - 30 斯涅耳作图,单轴晶体双折射的几个特例,1）平面光波正入射光轴与晶面斜交,1）平面光波正入射光轴平行于表面,1）平面光波正入射光轴垂直于晶体表面,3）平面光波斜入射 光轴平行于晶面、入射面垂直于主截面,