ppt第十一章鲁棒与最优控制

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1、第十一章 鲁棒与最优控制,数学基础知识 LQR、LQG问题与 最优控制问题 控制理论 线性定常系统的 最优控制问题 小结,11.1 11.2 11.3 11.4 11.5,返回主目录,由此，引出了如何设计一个合理的控制器，当存在不确定性因素的情况下，使系统仍保持良好鲁棒性的问题。鲁棒控制设计的主要思想是在使系统对不确定性的响应的最大值尽量小的前提下，以满足系统的性能指标。,由前面几章可知，最优控制规律的设计，要求必须能够得到系统的精确数学模型，否则，所谓的最优设计全部都是徒劳的。正因为在实际工程中，被控系统不确定性的存在，导致了人们对这一问题的重新认识。,11.1 数学基础知识,本节简要介绍本

2、章内容所涉及到的数学基础知识。为简明起见，假定读者已经具备工科线性代数、矩阵理论和控制理论的基础知识。,在前面的线性代数和矩阵理论等数学课程中，我们已经知道了向量范数和矩阵范数的概念。实际上，矩阵可以看成是向量空间到向量空间的映射。从几何意义上讲，向量的范数表达的是向量的长度；而矩阵的范数则反映了在这种映射过程中，向量长度被放大或缩小的一种“增益”。,返回子目录,因此，一个系统可以看成是从一个函数空间到另一个函数空间的映射，即算子。与向量和矩阵的情况类似，如果在函数空间引入范数的概念来表述信号在某种工程意义上的强度，以此来描述控制系统的性能，那么，系统作为算子时的范数就反映了系统在传递信号过程

3、中的一种“增益”，它是描述系统性能的一个重要手段。,在控制系统中，经常要面临各种信号，这些信号通常可以表示为时域或者频域内的函数。而系统在这些信号激励下的响应，同样也可以表示为各种函数。,11.1.1 信号的范数,1、时域信号,时域信号 可理解为从 到实数 的一个函数，设 是勒贝格可测函数，下面给出关于函数空间的一些定义。,对于正数 ，元素 为勒贝格可测函数，且满足,的函数空间，称为 空间。,其中 空间中，我们常用的函数空间有,定义11-1,：,：,：,其中， 表示真上确界。所谓函数在点集 上的真上确界是指它在 中除某个零测度集外的上确界。对于连续函数，其上确界就是真上确界。,在空间 中，所有

4、对 除去测度为零的集合上函数的全体所构成的集合记为 ，它是 的一个闭空间。因为实际信号均满足 ，所以我们讨论的信号均属于 空间。需要说明的是：对于函数空间中的元素 可以是单个的函数，也可以是向量函数。,对于时域信号 ，我们常用的范数有：,1-范数：,2-范数：,-范数：,应当指出：2范数的平方实际上是对信号能量的一种度量，而范数则是对信号幅值上界的度量。因此， 中的信号属能量有限信号，如单位脉冲信号（幅值不受限）；而 中的信号则属于幅值有限信号，如单位阶跃信号（能量不受限）。,可见， 和 以及 空间并不是完全等价的。,2、频域信号,频域信号 可看成从 的函数，设 为勒贝格可测函数，则有如下定义

5、。,定义11-2 对于正数 ，元素 在上有定义，取值于复数域 的 为勒贝格可测函数，且满足,的空间，称 空间。,常用的 空间有,对于频域信号 ，常用范数有,由于实际中常遇到的频域信号都是 的（真）实有理函数，因此，我们把 和 中实有理函数的全体给出专门的记号，分别记作 和 。,由定义可知， 是在虚轴上无极点的真实有理函数（向量）的全体。,即：,对于线性算子 的范数 可定义,本书中所讨论的系统，若没有特别说明，均是线性时不变有限维因果系统。我们知道，对于一个系统的作用，实际上可看成对信号进行某种变换。因此，可以把系统看作为一种算子。关于算子，也就是指定义在两个函数空间之间的某种映射关系。这里我们

6、主要把系统作为线性算子来处理。,11.1.2 系统的范数,由该定义可知，系统的范数实际上是单变量增益（信号放大倍数）概念在多变量系统中的推广。,有了算子范数的概念，就可以把 和 扩展为有理函数矩阵空间，相应的实有理函数矩阵空间仍分别记为 和 。,11.2.1 LQR问题与 最优控制问题,11.2 LQR、LQG问题与 最优控制问题,一个反馈系统的性能可以用从扰动输入到参考输出之间的闭环增益来衡量。系统的2-范数代表一个平均增益，可被用来作为一个最优控制问题的代价函数。当被控对象被近似给定以后，关于LQR的最优控制问题也就是使闭环系统的2-范数取最小值的最优问题。,返回子目录,最优控制问题将为下

7、面的被控对象找到线性时不变控制器,把LQR问题明确地叙述为一个系统的2-范数最优化问题可以从另一个角度考察LQR问题，并且可以比较容易得到公式来描述系统的频域特性。,使得由被控对象组成的闭环系统稳定，并且使得系统的2-范数最小。,式中 是从扰动输入到参考输出之间的闭环系统的脉冲响应矩阵。上面所示系统的结构图将在下图中给出。符号 源自全局稳定线性时不变系统的hardy空间 ，下标2代表所应用的系统范数。,图11-1 最优控制方框图,上式就等于稳态随机调节器的指标函数。这个输出的均方值也能通过闭环系统的2-范数来得到。,最优控制问题等价于稳态随机调节器。在这个情况下最优反馈增益是时不变的，并使系统

8、稳定。 最优控制问题和稳态随机调节器的等价性可以通过稳态参考输出的均方值来得出。,通过这两个表达式，随机调节器的指标函数可以看作系统2-范数的平方：,假设谱密度矩阵是单位阵。由于平方运算是单调的，使 最小的控制也使 取最小。这样， 最优反馈控制就等于状态反馈控制，在这里，反馈增益是稳态随机调节器增益，或者等价为稳态LQR增益。,11.2.2 LQG问题与 最优控制问题,带有LQR反馈增益的状态反馈能使 指标取最小。这些额外的结果使得LQR解在一个比较宽阔的控制应用领域中变得非常有用。,稳态线性二次型高斯最优控制问题等价于一个 最优控制问题。这个 最优控制问题按如下的方式给出：,图11-2 把L

9、QG问题作为一个 最优控制问题,给出具有标称干扰输入和参考输出的被控对象：,为了表现出这种等价性，LQG代价函数能用闭环系统2-范数的形式写出：,找到一个反馈控制器，能够使闭环系统内稳定而且使闭环系统2-范数取最小值：,由于平方运算是单调的，使LQG代价函数最小等价于使闭环系统2-范数最小。,LQG问题的 形式表明有可能通过不同的系统范数设计控制器。比如，下面我们将要介绍的无穷范数。,11.3 控制理论,由于各种复杂因素的影响，控制系统本身存在着不确定性。这种不确定性包括数学模型自身的不确定性和外界干扰的不确定性。反馈控制可以克服或减小不确定性的影响，使系统达到要求的性能指标。但是，当系统存在

10、不确定性影响时，所设计的反馈控制器能否使系统达到期望的指标要求，这是一个需要回答的问题。,11.3.1 问题的提出,返回子目录,20世纪30年代开始发展起来的经典控制理论，利用幅频裕度和相频裕度的概念研究反馈系统，使设计的系统在一定范围内变化时能满足所要求的性能。由于充分大的增益裕度和相位裕度，使得系统在具有较大的对象模型摄动时，仍能保证系统性能，并具有抑制干扰的能力。,因此，经典反馈控制本质上是鲁棒的，且方法简单、实用，直至今日，仍在工程设计中得到广泛应用。但是，其不足之处是无法直接用于多输入多输出(MIMO)系统。,20世纪60年代，出现了现代控制理论，提出了许多新的控制理论与方法。这些方

11、法在实际控制系统的设计中并未得到广泛的应用，主要原因是应用这些方法时忽略了对象的不确定性，并对存在的干扰信号作出了苛刻的要求。,如LQG设计方法中要求干扰为高斯分布的白噪声，而在很多实际问题中，干扰的统计特性很难确定；此外，它还要求对象有精确的数学模型。这样，用LQG设计的系统，当有模型扰动时，就不能保证系统的鲁棒性。,针对现代控制理论存在的问题，1981年，Zames提出了著名的 控制思想。他针对一个具有有限功率谱干扰的单输入单输出系统的设计问题，引入了灵敏度函数的 范数作为目标函数，使干扰对系统的影响降到最低限度。,(1) 可以处理LQG优化无法解决的变功率谱干扰 下的系统控制问题;,(2

12、) 范数具有乘法性质 ，这一性质对研究对象不确定影响下，系统的鲁棒稳定性问题相当重要。,采用范数作为性能指标有以下优点：,在基于 控制理论的控制系统设计中，无论是鲁棒稳定还是干扰抑制问题，都可以转化为求反馈控制器使闭环系统稳定且闭环传递函数阵的 范数最小或小于某一给定值。这种同一模式下的 优化问题，即称之为 标准问题。下面我们就来介绍这种目前应用最广泛的 标准问题。,11.3.2 标准问题,设线性定常系统如图11-3所示。其中， 表示输出信号，是应设计需要而定义的评价信号， 表示外部干扰输入信号，包括干扰、噪声、参考输入等，是为了设计而定义的辅助信号， 是控制输入信号， 是测量信号， 表示广义

13、被控对象，包括实际被控对象和为了描述设计指标而设定的加权函数， 表示所设计的控制器。,图11-3 标准控制问题,广义被控对象 的状态方程描述为,其中 表示状态向量，传递函数的形式为,(11-1),将式(11-4)代入式(11-3)，消去 ，得从 到 的闭环传递函数为,由此， 标准问题可表述如下：,输入输出描述为,(11-3),控制器表述为,(11-4),(11-5),对于一个给定的广义被控对象 ，求取一个反馈控制器 ，使闭环系统内稳定，且使闭环传递函数 的 范数达到极小，即,式(11-6)表示 最优控制问题。,(11-6),其中，对应于图11-3中的闭环系统内稳定是指当 时，闭环系统的状态(原

14、开环系统和动态补偿器的状态)趋于零。,若给定 ，求取镇定反馈控制器 ，使得,表示 次优控制问题。,(11-7),11.3.3 不确定系统的 控制问题 1、鲁棒稳定性问题,对于 标准问题，基本框图如图11-3所示。但当被控对象 含有不确定性因素时，通过抽取不确定性部分 后，闭环系统有如图11-4所示结构，,图11-4 不确定性系统的 控制,（1）考虑含加性不确定性，系统框图如图11-5(a)所 示有,(11-8),(11-9),(11-10),(11-11),与图11-4对应，则有,图11-5(a)含加性不确定性和扰动的系统框图,（2）考虑乘性不确定性，如图11-5(b)所示，有,与图11-4对

15、应，则有,图11-5(b)含乘性不确定性和扰动的系统框图;,（3）考虑互质分解描述不确定性，系统框图如图 11-5(c)所示，有,与图11-4对应，则有,图11-5(c)含基于互质分解描述不确定性和扰动的系统框图,综上所述，图11-5所述的各类不确定性系统的控制问题可以用图11-4所示的方式统一描述，从而转换成一般鲁棒控制问题。,结合式(11-8)式(11-10)，有,将式(11-11)代入式(11-12)，得,(11-12),(11-13),不确定性系统的鲁棒稳定性问题，就是寻找反馈控制器 ，使得图11-4所示的闭环系统在任意有界稳定摄动 的作用下内稳定，且满足,其中 是一给定常数。,由式(11-13)给出。 。,其中,(11-14),设有如下一个人造卫星姿态控制的地面试验装置，该装置由于其太阳能电池板的柔韧性，无法将其作为刚体处理。对于该被控对象，设计如图11-6所示的反馈控制系统，进行卫星姿态控制。,下面举例说明这种鲁棒稳定设计问题可以通过设定 性能指标而实现。,被控对象的数学模型为,其中， 是由于被