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1、第三章 平面一般力系,平面一般力系：作用在物体上的所有力的作用线都在同一平面内，作用线既不汇交也不全平行。,若物体的结构与所受力具有相同的对称平面，则可 简化为平面一般力系问题来处理。,3-1 平面一般力系向一点简化,可以把作用在刚体上点 A 的力 F 平行移动到任意一点 B ,但必须同时附加一个力偶。这个附加力偶的矩等于原来的力 F 对于新作用点B的矩。,一、力线平移定理, ,力的平 移定理,为什么钳工攻丝时，两手要均匀用力？,牛腿柱的压、弯组合变形,为什么有时滑轮不给尺寸,二、平面一般力系向一点的简化,1、向简化中心平移得到平面汇交力系和平面力偶系,主矢,主矩,结论：平面一般力系向一点简化
2、，最终得一个力 FR 和一个力偶矩 MO ，即主矢和主矩,2、再简化得到主矢和主矩,（2）主矩与简化中心有关，称为原力系对简化中心的主矩,（1）主矢与简化中心无关，称为原力系的主矢,三、固定端约束,3-2 简化结果的讨论,一、简化结果的几种情况,1）,原力系与一个力等效合力,汇交力系,平行力系,2）,原力系与一个力偶等效合力偶,力偶系等效于合力偶,这种情况下，简化结果与简化中心的位置无关 符合力偶系的等效定理,3）,原力系可转化为情况1）合力,二、平面一般力系的合力矩定理,平面任意力系的合力对平面内任意一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和,水平梁 AB 受按三角形分布的载荷作用。载荷的最
3、大值为 q ，梁长为 l 。试求合力作用线的位置。,解：,取微段 dx ，其上作用力大小 dQ=q(x) dx ，其中 q(x)=(x/l)q 。则分布载荷的合力大小为,设合力作用线距 A 端的距离为 xC ，根据合力矩定理,将 Q 和 q(x) 的数值代入可得,3-3 平面一般力系的平衡方程,欲使平面一般力系平衡，须有：,三个方程能解三个未知数,例3-1 图示结构，在 AB 梁上作用有集中力 Q 和 P , 其位置如图。Q=1 kN , P=8 kN ,杆重忽略不计。求：BC杆内力及A处的约束反力。,解：,取AB梁为分离体,画受力图,解得：,列方程,例：已知AB梁长为l，其上受有均布载荷q，
4、 求：梁A端的约束力。,解：研究AB梁，画受力图。,其中 Q=ql,图示刚架，已知载荷 P=5 kN ，力偶矩 M=2.5 kNm 。求：支座A、B反力。,解：研究刚架AB，画受力图。,代入数据解得：,FAx=3 kN,FAy=5 kN,FB=1 kN,例3-5 自重为P=100 kN的T字型刚架 ABD，置于铅垂面内，尺寸及载荷如图。其中 M=20 kNm ， F=400 kN ， q= 20 kN/m ，l=1 m 。试 求固定端A的约束反力。,解：研究刚架AB，画受力图。,解方程，求得,列方程,例：结构如，已知W，a，求杆A、B处的约束力,3-4 平面一般力系平衡方程的三种形式,方法一(
5、1)+(2)+(3),方法二(1)+(2)+(4),方法三(1)+(2)+(5),方法四(1)+(3)+(4),方法五(2)+(3)+(5),(1),(2),(3),(4),(5),方法六(1)+(4)+(5),方法七(2)+(4)+(5),方法八(3)+(4)+(5),(1),(2),(5),(4),方法六(1)+(4)+(5),方法七(2)+(4)+(5),包含三个未知量的方程组，只有三个方程是独立的；第四个方程与另三个独立方程线性相关，是这三个方程的线性组合。,由（4）、（5）可得,A、B连线与ox轴不垂直,A、B、C三点不共线,一矩式,二矩式,三矩式,平面一般力系平衡方程的三种形式,平
6、面任意力系平衡方程二矩式、三矩式的讨论,平面任意力系简化,例3-5 用三根杆将物体支撑于斜面，不计各杆自重，求各杆对物体的约束反力。,解：,研究物体，画受力图,3-4 平面平行力系的平衡方程,（A、B两点连线不与各力平行）,一矩式,例3-6 水平外伸梁的载荷及尺寸如图所示。已知力偶矩 M=1.6 kNm 、P=2 kN 、q = 2 kN/ m 、a= 0.8 m 。求支座 A、B 处的约束反力。,解得,另一个力矩方程：,例3-7 塔式起重机，机架重P1=700 kN ，作用线通过塔架中心。最大其重量 P2=200 kN ，最大悬臂长 12 m ，轨道A、B间的距离为 4 m 。平衡荷重 P3
7、 ，到机身中心线的距离为 6m 。 （1）保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡荷重 P3应为多少？ （2）当平衡荷重 P3=180 kN 时，求满载时轨道 A、 B给起重机轮子的反力,分析：要使起重机不翻倒，应按临界状态的平衡条件求解。当满载时，为使起重机不绕 B 点翻倒，P3 不可过小，所以即将绕 B 点翻倒的临界状态便对应着 P3 的最小值；当空载时，为使起重机不绕 A 点翻倒， P3 不可过大，所以即将绕 A 点翻倒的临界状态便对应着P3 的最大值。,解：,（1）满载时，考虑起重机即将绕 B 点翻倒的临界状态，此时 FA=0 ，这对应着 P3 的最小值。,解出：,解出：,空载时，考
8、虑起重机即将绕 A 点翻倒的临界状态，此时FB=0 ，这对应着 P3 的最大值。,结论：,(2) 当平衡荷重 P3=180 kN 时, 对起重机列平衡方程,解得,3-6静定与静不定的概念,静不定问题：系统中所求的未知量的数目多于独立方程的数目，仅用静力学平衡方程不能解出全部未知量不可定出,静定问题：系统中所包含的未知量的数目等于独立方程的数目，所有未知量都可用静力学平衡方程解出定出,平面汇交力系的静定与静不定,平面平行力系中的静定与静不定举例,平面一般力系中的静定与静不定举例,静定梁的基本形式,多跨静定梁（复合梁）,下面的内容物体系的平衡问题,空调器的合理安装,3-7 物体系的平衡,物体系：两
9、个或多个物体通过一定的约束方式连接起来而组成的物体系统，简称为物体系。,例4-6 连续梁（多跨梁）由AC和BC在C点铰接而成。已知P1=5 kN ，P2=5 kN ，q=2.5 kN/m ，M=5kN/m 。求A 、B 、D 三支座的约束反力及AC、BC间的相互作用力。,物体系的平衡问题是平面力系问题中的重点和难点，一般既要求系统的外力又要求系统的内力。系统是平衡的，则其整体和每一部分都是平衡的，都可以用来建立平衡方程进行求解。,解：,首先研究 BC 部分，画受力图。,列方程,分别解出：,再研究AC部分，画受力图。列方程,将前面所解出的 、 代入，可 分别解得,方法二,若不需求解中间铰链C处的
10、约束反力，则在研究完BC部分后，还可以研究整体，同样可解出其余未知量。,研究整体，画受力图。,列方程,将前面所解出的 代入，可 分别解得,刚化原理,变形体在某一力系的作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。,副梁的约束较少，未知量少。所以，连续梁的平衡问题总是先对副梁求解，再对主梁或整体求解。,例：已知F=10kN，M =20kNm，a=4m ，F 作用在B点。 求 A、C 的约束力,方法一、先以BC为研究对象，画其受力图,或,再以AB为研究对象，画其受力图,解得,解：,方法二,解得,讨论：如何处理作用在中间铰链上的集中力？,集中力在铰链两侧的分配方式的对两端的约束反力有无
11、影响？,例3-8 三铰拱由两半拱和三个铰链构成。已知每半拱重P=300 kN，l=32 m，h=10 m 。求支座A和B的约束反力。,首先研究整体,再研究AC部分,再研究BC部分,再由方程*解出,再由方程*解出,例3-9 图示人字型折梯放在光滑水平地面上，若载荷、尺寸均已知，试求无重绳索的受力。,能否先研究某一部分？,先研究整体可解出 FA 、FB 。,再研究任一部分，便可利用力矩方程 解出 绳子的拉力。,例3-10 图示结构，若只考虑重物的重量 P、且计算中所需的尺寸均已知，试求支座 A 的约束反力及杆 BC 的受力。,例3-16 颚式破碎机机构，已知工作阻力为FR=30 kN、OE=10
12、cm，BC=CD=AG=40 cm，AB=60 cm，在图示位置时， BC、 CD与水平面夹角为 300、 OE水平、 AB 与BC垂直 。求在此位置时能克服工作阻力所需的力偶矩。,物系平衡的基本解法,基本经验：连续梁问题必然先对副梁求解，其它问题一般 可采用先试整体，后拆开的原则,1） 如整体的外约束反力不超过三个，或虽超过三个， 但不拆开也能求解部分未知量时，可先研究整体。,2） 如必须拆开时，可选受力简单，且有已知力和未 知力共同作用的构件或部分。,3） 一个研究对象上的未知量数目最好不超过相应的平 衡方程数目，这样可以避免解两个或多个分离体的 联立方程。,可利用的条件：刚体系平衡（整体
13、平衡）+ 系统中每个部分平衡,4） 解题思路要明确，杜绝乱选研究对象、罗列方程的不良做法。熟练的受力分析是解题思路的源泉。,例3-12 结构受力、尺寸如图，A，B两端皆为固定铰支座，杆重忽略不计。 求：A，B两支座的约束反力及销钉C对AC杆的反力,解:,1) 首先研究整体,由（3）、（2）可解出,2) 取AC杆为分离体 , 画受力图,列方程,由此三方程可解出,总结：,最后，将 FAx 之值代入方程（1），可得,思考：,能否通过研究杆BC求出销钉C对杆AC的约束反力？,例3-15 结构由 AB、BC和CD三部分组成，所受载荷及尺寸如图，各部分自重不计，求A、D、C和E处的约束反力。,清例3-8,
14、解题步骤,清例3-10,例315 图示组合结构，由横梁AC、BC及五根支杆组成，所受载荷及尺寸如图。试求1、2、3杆的内力。,考虑整体的平衡，画受力图。列方程,解出,拆除 C 铰并做截面，考虑右半部分的平衡，画受力图。,列方程,解出,最后研究铰接点（节点）D，可得,哈题 106,例3-17 组合梁ABC 的支撑及载荷情况如图所示。已知P=1000 N ，M=500 Nm 。求固定端A的约束反力。,物体系平衡问题的分析技巧,例：已知 P=2 kN 。求杆AB在点A、B处所受到的约束反力。,（1）结构是怎么平衡的？谁起主要作用？,（2）那一个构件是次要的？谁可以拆掉？,解法一：,先研究轮O，解出轮
15、在C、D处的约束反力FC 、FD,再研究整体，利用前面解出的FD，同样可求出A、B处的约束反力,解法二：,先研究轮O，解出轮在C、D处的约束反力（同解法一）,再研究杆AB ，利用前面解出的FC，可求出A、B处的约束反力,可拆掉，而不影响其它构件平衡的构件或部分，必可先进行求解。,已知 P=2 KN 。求A处约束反力。,解法一：,先研究杆BD，解出它在D处受到的力FD,再研究杆AC，利用FC=FD，便可求出A处的约束反力,解法二：,先研究BD，解出它在D 处的约束反力FD（同解法一）,再研究整体，利用前面解出的FAx 、FAy ，同样可求出A处的约束反力,首先明确杆CD是二力杆,（方法二不如方法一简捷）,例：已知 P=2 KN 。求D处约束反力。,分解：,（1）结构是怎么平衡的？谁起主要作用？,（2）那一个构件是次要的？谁可以拆掉？,结构的演化,例3-18 组合梁ABC 的支撑及载荷情况如图所示。已知P=1000 N ，M=500 Nm 。求固定端A的约束反力。,结构的演化,如果拆掉任一构件，整个结构便不能保持平衡，可先由整体求解。,对整体与对部分的分析，不分先后。,物体系平衡问题的解题训练,例3-13 一构架由杆AB和BC组成，载荷P=20 kN。已知 AD = DB = 1 m，AC= 2m ；滑轮半径均为 r =0.3m。如不计滑轮和杆的重量，求支座
