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1、归一性,*波函数具有 有限性,单值性,连续性,物质波的波函数 是描述粒子在空间概率分布的“概率振幅”.,* 玻恩的统计解释：,t 时刻在 r 处附近dV 内发现粒子的概率为：,在某一时刻、空间某一地点,粒子出现的概率正比于该时刻、该地点波函数(概率幅)的平方.,上次课内容复习:,德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别:,物质波的波函数 是概率波.它不表示某实在物理量在空间的波动,其振幅无实在的物理意义,不可测量.,概率密度,1. 自由粒子 的薛定谔方程,2. 在有势场中粒子的含时薛定谔方程,3在有势场中粒子定态薛定谔方程,*薛定谔方程,势函数U与时间无关,了解 (定态)薛定谔方程应用,本
2、次课的重点:,掌握一维无限深势阱的定态波函数具体函数形式并会分析和计算粒子在给定区间的概率分布.,掌握一维势垒, 隧道效应,了解电子隧道显微镜的原理,金属体,当微观粒子被限制在一定范围内做一维运动时。例如,一维无限深势阱的势能分布（势函数)为:,原子核,一维无限深势阱,势阱是抽象出来的物理模型,例如:,定态薛定谔方程:,势函数U与时间无关,求一维无限深势阱中粒子运动的特征和规律,求通解,根据波函数应满足的条件：单值、有限、连续和归一化,本征波函数:,能量本征值,概率密度:,定态波函数:,一维无限深势阱中粒子运动的特征和规律:,能量,n=1,n=2,n=3,n=4,n=1, 2, 3,.,定态波
3、函数,n=1,n=2,n=3,n=4,n=1, 2, 3,.,驻波,定态波函数,概率密度,定态波函数:,同理可以求得如下一维无限深势阱的定态波函数:,n=1, 2, 3,.,无限深方势阱,无限深方势阱中粒子的波函数，能级和概率密度,定态波函数,概率密度,如果势阱不是无限深,|(x) | 2,n=1,n=2,n=3,则:阱外不远处概率不为零.,即:当微观粒子被限制在一 定范围内做一维运动时,粒子在E U0,区域出现的概率 0,U0,有:e 0,n=1,n=3,极大值位置：,极大值位置：,课堂提问: 粒子在一维无限深方势阱中运动（势阱宽度为a）， 其波函数为,粒子出现的概率最大的各个位置是,( 0
4、 x a ),课堂提问: 粒子在一维无限深方势阱中运动（势阱宽度为a）， 其波函数为,粒子出现的概率最大的各个位置是,用驻波法求解阱宽为a的一维无限深势阱能量.,由驻波条件,解:,则有,量子化能量式,与前面方程的结果相同!,课堂练习,例:质量为m的微观粒子处在长度为L的一维无限深势阱中,试求:,解:(1),(1)粒子在0 x L4区间内出现的概率,并对n =1和n的情况进行讨论.,(2)在哪些量子态上,L4处的概率密度取极大?,概率密度,定态波函数,粒子在0 x L4区间内出现的概率:,n=1,讨论:,(2) L4处的概率密度,对应于,L4处的概率密度极大.,例：在阱宽为a 的无限深势阱(0x
5、a)中,一个粒子的状态为,多次测量其能量。,问：每次可能测到的能量值和相应概率？,能量的平均值？,解：,的归一化定态波函数,无限深势阱中粒子,多次测量能量(可能测到的值),能量的平均值,概率:,比较经典结果与量子结果,经典结果,量子结果,粒子能量是连续的,能量是量子化的。,粒子在阱内匀速运动或静止,粒子能量不同,速度不同;能量不为零，粒子无法静止。,粒子在各处概率相等,粒子在各处概率为,粒子在x1x2之间的概率为,粒子在x1x2之间的概率为,一 半无限宽势垒,x 0区(E U0) 粒子出现的概率 0,量子： 电子可透入势垒.,经典：,电子可逸出金属表面，在金属表面形成一层电子气.,势 垒 穿
6、透,1.E U0的粒子， 越上势垒。,2.E U0的粒子， 不能越过势垒。,隧道效应,E,1,2,0,a,区,区,区,振幅为 .,波穿过后, 将以平面波的形式继续前进( )，,有限宽势垒,二 有限宽势垒和隧道效应,入射+反射,(potential barrier and tunnel effect),隧道效应： 当粒子的能量EU0 ，微观粒子有概率穿过 有限宽势垒的现象。,振幅,穿透系数:,a；,贯穿系数会非常小. 隧道效应在实际上已经没有意义了. 量子概念过渡到经典了.,当U0E = 5eV，势垒宽度 a 约50nm 以上时，,由于电子的隧道效应，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面
7、以外呈指数形式衰减，衰减长度约为1nm。,量子物理：粒子有波动性，遵从不确定原理,x = a很小时,思考： 怎样理解粒子通过势垒区?,势垒区宽度,势垒穿透,p 很大,很大,课堂提问:,一矩形势垒如图所示，设U0和d都不很大在区中向右运动的微观粒子能量为E 。 如果E U0，可全部穿透势垒进入区; 如果E U0，都将受到x = 0处势垒壁的反射， 不可能进入区; 如果E U0，都不可能穿透势垒进入区 如果EU0，有一定概率穿透势垒进入区, D ,核的衰变,隧道二极管，金属场致发射,1. 核的衰变,通过 隧道效应出来,对不同的核算出的衰变概率和实验一致。,三 隧道效应的应用,不稳定的重原子核自发放
8、射一个粒子而转变为另一种核的过程,鲁斯卡,1932年鲁斯卡发明电子显微镜,1986：,(G.Binning),(Rohrer),STM,罗赫尔,宾尼,发明扫描隧穿显微镜,宾尼、罗赫尔和鲁斯卡 三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖,宾尼和罗赫尔,2.扫描隧道显微镜(STM) (Scanning Tunneling Microscopy),STM是一项技术上的重大发明, 用于观察表面的微观结构(不接触、不破坏样品),原理：利用量子力学的隧道效应,STM使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。,E,A 常量, 10 ,控制i不变，反映表面的起伏情况.
9、,样品表面平均势 垒高度(eV), ,电子密度在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度约为1nm,d变 1 i 变化几十倍.,若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面电子态密度的分布。,针尖只有12个原子！,扫描一步0.4 ， 扫描 12，用0.7s,不足:,STM,STM样品必须具有一定程度的导电性；,在恒流工作模式下有时对表面某些沟槽不能准确探测。,1989年利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧道显微镜（PSTM)。它可用于不导电样品的观察。,1.势函数,m振子质量，固有频率，x位移,2.定态薛定谔方程,*一维谐振子,定态,1).能量本征值,能量量子化,能量间隔 (等间距）,最
10、低能量(零点能),解定态薛定谔方程，并要求波函数满足其标准条件：单值、有限、连续便得到：,常压下，温度趋于零度附近，液态氦也不会变成固体，具有显著的零点能效应。,线性谐振子波函数,线性谐振子位置几率密度,2)本征函数和概率密度 （用图形简易描述）,3 与经典谐振子的比较,1).基态位置概率分布,经典理论中：在 x=0 处速度最大、概率最小,2).,量子概率分布 经典概率分布,能量量子化 能量取连续值,在 x = 0 处概率最大, 量子：,氢原子中的电子在原子核的静电场内势函数,氢原子的在直角坐标系下定态薛定谔方程为:,变为:,氢原子,波函数 ( r, , ),因势场具有球对称性,故改用球极坐标系,氢原子的定态薛定谔方程,氢原子中电子的电势能,可对定态波函数 ( r, , )分离变量,得:,代入球极坐标薛定谔方程,经数学推导可得:,解这三个微分方程,并考虑波函数的标准条件可得定态波函数 (r , , ),并相应得到三个量子数,n,l,ml.,(1)能量量子化和主量子数 n 使R(r)满足标准条件可得:,n:主量子数,n=1,氢原子处于基态,n1氢原子处于激发态.,跃迁频率条件,赖曼系,巴耳末系,帕邢系,布喇开系,氢原子能级图,作业:,用驻波法求解阱宽为a的一维无限深势阱能量.,练习册P151：8; 18.32;18.33,
