数学模型第八章

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1、第八章 离散模型,8.1 层次分析模型 8.2 循环比赛的名次 8.3 社会经济系统的冲量过程 8.4 公平的席位分配 8.5 存在公正的选举规则吗 8.6 价格指数,离散模型,离散模型：代数方程与差分方程（第6章）、整数规划（第4章）、图论、对策论、网络流、,应用较广,是分析社会经济系统的有力工具.,只用到代数、集合及(少许)图论的知识.,8.1 层次分析模型,背景,日常工作、生活中的决策问题.,涉及经济、社会等方面的因素.,作比较判断时人的主观选择起相当大 的作用，各因素的重要性难以量化.,Saaty于20世纪70年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Proc

2、ess),AHP一种定性与定量相结合的、 系统化、层次化的分析方法,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,一. 层次分析法的基本步骤,例. 选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,“选择旅游地”思维过程的归纳,将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C， 方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示.,通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 案对每一准则的权重.,将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 权重.,层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果.,层次分析法的基本步骤,成对比较阵和权向量,元素之间

3、两两对比，对比采用相对尺度,设要比较各准则C1,C2,Cn对目标O的重要性,A成对比较阵,A是正互反阵,要由A确定C1,Cn对O的权向量,选择旅游地,成对比较的不一致情况,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,考察完全一致的情况,成对比较阵和权向量,成对比较完全一致的情况,A的秩为1，A的唯一非零特征根为n,A的任一列向量是对应于n 的特征向量,A的归一化特征向量可作为权向量,一致阵性质,成对比较阵和权向量,2 4 6 8,比较尺度aij,Saaty等人提出19尺度, 即aij 取值1,2,9及其互反数1,1/2, ,1/9,心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个.,用13,15,117,1p

4、9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优.,便于定性到定量的转化：,成对比较阵和权向量,一致性检验,对A确定不一致的允许范围,已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n,可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵,定义一致性指标:,CI 越大，不一致越严重,为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI随机模拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI.,定义一致性比率CR = CI/RI,当CR0.1时通过一致性检验,Saaty的结果如下,“选择旅游地”中准则层对目

5、标的权向量及一致性检验,准则层对目标的成对比较阵,最大特征根=5.073,权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指标,随机一致性指标 RI=1.12 (查表),一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1,通过一致性检验!,组合权向量,记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为,同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量,方案层对C1(景色)的成对比较阵,方案层对C2(费用)的成对比较阵,最大特征根 1 2 n,权向量 w1(3) w2(3) wn(3),组合权向量,RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致

6、性检验,w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110,方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ =0.300,方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T,组合 权向量,第2层对第1层的权向量,第3层对第2层各元素的权向量,构造矩阵,则第3层对第1层的组合权向量,第s层对第1层的组合权向量,其中W(p)是第p层对第p-1层的权向量组成的矩阵.,层次分析法的基本步骤,1）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立.,2）构造成对比较阵,用成对比较法和19

7、尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵.,3）计算权向量并作一致性检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量.,4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据.,二. 层次分析法的广泛应用,应用领域：经济计划和管理、能源政策和分配、 人才选拔和评价、生产决策、交通运输、科研选 题、产业结构、教育、医疗、环境、军事等.,处理问题类型：决策、评价、分析、预测等.,建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决 策层参与.,构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判 断力强的专家给出.,例1 国家实力分析,例2 工作选择,广泛应

8、用,（1）过河效益层次结构,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,广泛应用,（2）过河代价层次结构,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,广泛应用,例4 科技成果的综合评价,广泛应用,三. 层次分析法的若干问题,正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量 是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵 接近一致阵的程度？,怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？,为什么用特征向量作为权向量？,当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用 层次分析法？,1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质,定理1 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应正特征向量w，且,定理2 n阶正互反阵A的最大特征根 n , = n是A为

9、一致阵的充要条件.,2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算,精确计算复杂且不必要.,简化计算的思路一致阵的任一列向量都是 特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都 应近似特征向量，可取其某种意义下的平均.,和法取列向量的算术平均,精确结果: w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010,根法取列向量的几何平均,幂法迭代算法,1）任取初始向量w(0), k:=0，设置精度,2) 计算,3）归一化,5) 计算,简化计算,4）若 ，停止；否则，k:=k+1, 转2,3. 为什么特征向量作为权向量,问题,一致阵A, 权向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wj,A不一致, 应

10、选权向量w使wi/wj与 aij相差尽量小（对所有i,j),非线性 最小二乘,线性化 对数最小二乘,结果与根法相同,按不同准则确定的权向量不同， 选特征向量为权向量的优点：,成对比较,Ci:Cj (直接比较）,aij 1步比较的强度,aisasj Ci通过Cs 与Cj的比较,aij(2) 2步比较的强度,更能反映Ci对Cj 的强度,多步累积效应,定理1,特征向量体现多步累积效应, k步比较强度，反映多步比较效应,4.不完全层次结构中组合权向量的计算,完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联,不完全层次结构,设已知第2层对第1层权向量 w(2) =(w1(2),w2(2)T,及第3层对第2

11、层权向量w1(3) =(w11(3),w12(3),w13(3),0)T w2(3) =(0,0,w23(3),w24(3)T,讨论由w(2),W(3)=(w1(3), w2(3)计算第3层对第1层权向量w(3）的方法.,例: 评价教师贡献的层次结构,P1,P2只作教学, P4只作科研, P3兼作教学、科研.,C1,C2支配元素的数目不等,不考虑支配元素数目不等的影响,仍用 计算,支配元素越多权重越大,用支配元素数目n1,n2对w(2)加权修正,公正的评价应为： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1,再用 计算,支配元素越多权重越小,教学、科研任务由上级安排,教学、科研靠个人积极性,考察一个

12、特例：,C1,C2重要性相同,P1P4能力相同,5. 残缺成对比较阵的处理,miA第i 行中 的个数,6. 更复杂的层次结构,递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和 支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环.,更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响 或支配；层间存在反馈或循环.,例,层次分析法的优点,系统性将对象视作系统，按照分解、比较、 判断、综合的思维方式进行决策系统分析（与机理分析、测试分析并列）；,实用性定性与定量相结合，能处理传统的 优化方法不能解决的问题；,简洁性计算简便，结果明确，便于决策者 直接了解和掌握.,层次分析法的局限,囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案；,

13、粗略定性化为定量，结果粗糙；,主观主观因素作用大，结果可能难以服人.,8.2 循环比赛的名次,n支球队循环赛，每场比赛 只计胜负，没有平局.,根据比赛结果排出各队名次.,方法1. 寻找按箭头方向通过全部顶点的路径.,312456,146325,方法2. 计算得分：,2, 3队 , 4, 5队无法排名!,6支球队比赛结果,32，4 5,1队胜4场，,2, 3队各胜3场，,4, 5队各胜2场，,6队胜1场.,循环比赛的结果竞赛图,3个顶点的竞赛图,名次,1，2，3,(1,2,3)并列,1, 2, 3, 4,2,(1,3,4),(1,3,4), 2,4个顶点的竞赛图,名次,(1,2),(3,4),1

14、, 2, 3, 4?,竞赛图每对顶点间都有边相连的有向图,竞赛图的3种形式,具有唯一的完全路径，如(1)；,双向连通图任一对顶点存在两条 有向路径相互连通，如(4)；,其他，如(2)， (3) .,竞赛图的性质,必存在完全路径；,若存在唯一的完全路径，则由它确定的顶 点顺序与按得分排列的顺序一致，如(1) .,4个顶点的竞赛图,双向连通竞赛图G=(V,E)的名次排序,邻接矩阵,得分向量,双向连通竞赛图的名次排序,对于n(3)个顶点的双向连通竞赛图，存在 正整数r，使邻接矩阵A 满足Ar 0，A称素阵.,排名为1，2，4，3,1, 2, 3, 4?,6支球队比赛结果,排名次序为1，3， 2，5，

15、4，6,32, 4 5,排名 132456?,1:4分; 2,3:3分; 4,5:2分; 6:1分.,v1能源利用量, v2能源价格, v3能源生产率, v4环境质量, v5工业产值, v6就业机会, v7人口总数.,8.3 社会经济系统的冲量过程,系统的元素图的顶点,元素间的直接影响有方向的弧,正面影响弧旁的+号；负面影响弧旁的号,带符号的有向图,符号、 客观规律；方针政策,例 能源利用系统的预测,带符号有向图G1=(V,E)的邻接矩阵A,V顶点集 , E弧集,定性模型,带符号的有向图G1,加权有向图G2及其邻接矩阵W,定量模型,某时段vi 增加1单位导致下时段vj 增加wij单位,v7,冲量过程（Pulse Process),研究由某元素vi变化引起的系统的演变过程,vi(t) vi在时段t 的值； pi(t) vi在时段t 的改变量(冲量),冲量过程模型,或,能源利用系统的预测,简单冲量过程初始冲量p(0)中 某个分量为1，其余为0的冲量过程.,若开始时能源利用量有突然增加，预测系统的演变.,设,能源利用系统的 p(t)和v(t),简单冲量过程S的稳定性,任意时段S的各元素的值和冲量是