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1、1辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 潮汐对船舶入港的影响内容提要：潮汐影响天气、经济 ，尤其 对船舶的停靠产生至关重要的影响。根据人教版数学必修 4 中的建模资料，通过 分析，建立了某港口的 时间与水深的函数关系，选择了最佳拟合函数正弦函数 ，通 过分析 F(x)，从理论上可以解决以下三Fx=Asin+h（ ） （ ）个问题：（1）由函数模型可以给出任意时刻的水深近似数值；（2）由函数模型可以得到不同类型船舶（吃水深度）的进港时刻以及停留时间；（3）通过模型分析，当港口水深在 发生变化时，船舶的入港时间以及安全离港时间。主题词：潮 汐 ；二 次
2、函 数 ；正 弦 函 数 ；数 学 建 模 1. 问题陈述凡是到过海边的人们，都会看到海水有一种周期性的涨落现象：到了一定时间，海水推波助澜，迅猛上涨，达到高潮；过后一些时间，上涨的海水又自行退去，留下一片沙滩，出现低潮。如此循环重复，永不停息。海水的这种运动现象就是潮汐。潮汐这种自然现象，是由于日、月引潮力的作用，使地球的岩石圈、水圈和大气圈中分别产生的周期性的运动和变化。在不考虑其他星球的微弱作用的情况下，月球和太阳对海洋的引潮力的作用是引起海水涨落的原因。根据潮汐的周期，可分为以下三类：（1）半日潮型：一个太阳日内出现两次高潮和两次低潮，前一次高潮和低潮的潮差与后一次高潮和低潮的潮差大致
3、相同，涨潮过程和落潮过程的时间也几乎相等（6 小时 12.5 分）。我国渤海、东海、黄海的多数地点为半日潮型，如大沽、青岛、厦门等。（2）全日潮型：一个太阳日内只有一次高潮和一次低潮。如南海汕头、渤海秦皇岛等。南海的北部湾是世界上典型的全日潮海区。（3）混合潮型：一月内有些日子出现两次高潮和两次低潮，但两次高潮和低潮的潮差相差较大，涨潮过程和落潮过程的时间也不等；而另一些日子则出现一次高潮和一次低潮。我国南海多数地点属混合潮型。如榆林港，十五天出现全日潮，其余日子为不规则的半日潮，潮差较大。不论哪种潮汐类型，在农历每月初一、十五以后两三天内，各要发生一次潮差最大的大潮，那时潮水涨得最高，落得最
4、低。在农历每月初八、二十三以后两三天内，各有一次潮差最小的小潮，届时潮水涨得不太高，落得也不太低。潮汐影响天气、经济，尤其对船舶的停靠产生至关重要的影响。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。那么，如何选择恰当的时机停靠船舶呢？本学期我们学习了数学必修 4，在章末的数学建模活动中给了一组某港口在某季节每天的时间与水深的关系表（见表一）：2表一：某港口时间与水深关系时 刻（ t） 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00水深（h 米） 5 7.5 5 2.5 5 7.5 5 2.5 52. 情况分析及模型建
5、立通过时刻与水深的关系（图一）可以看出，此函数在定义域内不单调，所以不能用单调函数去拟合。3用光滑的曲线去逼近这些散点，得到了图二。根据图二中的曲线，可以用二次函数（分段）和三角函数中的正弦、余弦函数去模拟。图一：时间与水深关系42.1 选用函数模型（1）二次函数模型根据图二中的曲线，用二次函数 ，25-xx09183y， ，拟合图二中的曲线25-x1-983y（ ） ， ，（2）正弦函数 模型F=Asinx+h（ ） （ ）根据图二中的曲线，用正弦函数 去拟合此曲线。以时间F=Asinx+h（ ） （ ）为横坐标，水深为纵坐标，由直角坐标系中的散点图，可以确定函数中的参数的取值，其中： ，从
6、而得到h、 、 、 0562.5， ， ，所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为： 。Fx=2.sinx+56（ ） （ ）根据此函数解析式，可以看出函数曲线比较逼近港口的水深与时间关系曲线（图三）。.sinxFx（5由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：4. 模型应用应用（一）：根据模型可以得到此港口任意时刻的水深的近似数值；应用（二）：由函数模型可以得到不同类型船舶（吃水深度）的进港时刻以及停留时间例如，一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4 米，安全条例规定：至少要有1.5 米的安全间隙（船底与海底的距离） ，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？时刻 0:00 1:00
7、 2:00 3:00 4:00 5:00水深 5 6.25 7.165 7.5 7.165 6.25时刻 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00水深 5 3.754 2.835 2.5 2.835 3.754时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00水深 5 6.25 7.165 7.5 7.165 6.25时刻 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00水深 5 3.754 2.835 2.5 2.835 3.754图三6由已知：安全水深为 4+1.5=5.5（m ）所以，令 =5.5解得：xA0.3848
8、, xB5.6152由 x0,24,函数周期为：12所以 xC12+0.3848=12.3848 ，xD 12+5.6152=17.6152因此，货船可以在 0:30 左右进港，早晨 5:30 左右出港；或在中午 12:30 左右进港，下午 17:30 左右出港，每次可停留 5 个小时左右应用（三）：通过模型分析，当港口水深在发生变化时，船舶的入港时间以及安全离港时间例如，某船的吃水深度为 4 米，安全间隙为 1.5 米，该船在 2:00 开始卸货，吃水深度以每小时 0.3 米的速度减小，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？设在时刻 x 船舶的安全水深为 y，那么 y=5.5-
9、0.3(x-2)(x2),在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在 6 时到 7 时之间两个函数图象有一个交点.当 x=6 时，y=4.3；x=6.5 时， y=4.2，安全水深为 4.1；当 x=7 时，y=3.8 ，安全水深为2.5sin6yx图四74. 因此为了安全，船舶最好在 6.5 时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域.参考文献：1袁震东、蒋鲁敏、束金龙。数学建模简明教程。上海：华东师范大学出版社，2002年。2刘来福、曾文艺。数学模型与数学建模。北京：北京师范大学出版社，1997 年。3 袁震东等。数学建模。上海：华东师范大学出版社，2002 年。4 袁震东、赵小平、吴长江。数学建模。上海：华东师范大学出版社，2009 年。5王尚志，李延林主编: 中学生数学建模论文集，东北师范大学出版社，2003 年。6 叶其孝，数学建模（1-4），北京：高等教育出版社，2000。
