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1、第2章 集合与函数 2.1 集合 2.2 函数的概念及性质 2.3 反函数 2.4 指数函数 2.5 对数函数 2.1 集合 一个家庭 一篮鲜花一次考试的科目 共同点：组成它们的事物（整体的成 员）是被指定的。 集合的概念 在数学里，我们用集合（简称集）这个概念来表示 由一些指定的事物组成的整体。集合中的每个事物称为 该集合的元素。 通常，事物a是集合M的一个元素记作aM ， 读作a属于M；事物a不是集合M的一个元素记作 a M ，读作a不属于M。 在数学中，由数字组成的集合称为数集、由方程 或不等式的解组成的集合称为解集。 把含有有限个元素的集合称为有限集。 把含有无限个元素的集合称为无限集
2、。 把没有任何元素的集合称为空集，记作。 一些常用的数集都有特定的记法，如下表所示 集 合 表 述集 合 名 称集 合 符 号 自然数（即非负整数 ）的全体 自然数集（非负整数 集） 正整数的全体正整数集 整数的全体整数集 有理数的全体有理数集 实数的全体实数集 正实数的全体正实数集 负实数的全体负实数集 1、将符号或 填入空格中。 7 ， 7.2 ， 11.4 ， ， 3.7 ， 。 2、课本P39 知识巩固1 集合的表示方法 列举法 通过列举集合的每个元素来表示集合的方法叫做列 举法。 李明、张静、李俊、李虹 数学、物理、语文、英语、机械设计、金属加工 2、4、6、8 描述法 用特定条件指
3、定集合的元素，从而表示集合的方法 叫做描述法。 xx是本节“导入”所举例中花束内的花 xx5 例题解析 例 用适当的方法表示下列集合： （1）地球上的四大洋组成的集合。 单击鼠标继续 例题解析 （2）所有大于或等于3的整数组成的集合。 单击鼠标继续 例题解析 （3）使分式 有意义的所有x组成的集合 。 单击鼠标继续 例题解析 （4）一次函数 的图像上所有的点组成的集合 。 单击鼠标继续 例题解析 （5）所有的平行四边形组成的集合。 单击鼠标继续 提高练习 单击鼠标继续 1用列举法表示下列集合： （1）大于3小于10的整数的全体。 （2）方程2x-3=0的解集。 2用描述法表示下列集合 ： （1
4、）不等式x2的解集。 （2）大于0小于1的实数的全体。 课本P41 知识巩固2 1、（1）（2）（3）（6 ） 集合与集合的关系 通常，对于集合A和集合B，如果A的任何一个元 素都是B的元素，那么两者的关系就是集合A包含于 集合B（或集合B包含集合A），记作 A B（或B A） 集合A包含于集合B也可说成集合A是集合B的子集。 集合与集合之间还存在相等的关系。如 xx21=0=-1，1 2、4、6、84、2、6、8 例题解析 例 分别写出下列各题中两个集合之间的关系： （1）A2、4、6，B2、0、2、4、6、8 （2）A2、5， Bx | (x)(x) 解 （2）集合B的元素是方程(x5)(
5、x2)=0的解，应该 是5，2。可见，集合B的每个元素都属于集合A；反之， 集合A的每一个元素都属于集合B。所以这两个集合的关系 是 A = B （1）因为集合A的每一个元素都是集合B的元素，而 集合B的元素并不都是集合A的元素（比如0），所以两者 的关系是 A B 单击鼠标继续 用适当的符号 填入空格 。 Q R， Z ， a b、c、d 2 2 x | x29 3、3 区间的概念 设服务员身高为x米，根据上表，这四家饭店提出的 要求可表示为 饭店A：1.65x1.75 ； 饭店C：1.65x1.75 ； 饭店B：1.65x1.75 ； 饭店D：1.65x1.75 。 四家饭店（A、B、C、
6、D）招聘女服务员对身高的 要求： 饭饭 店 1.65米1.75米 A包括包括 B不包括不包括 C包括不包括 D不包括包括 将这四家饭店的要求推广到一般的情况。设身高的 下限为a米，身高的上限为b米（ab），则这四种要求 可表示为 axb axb axb axb 上述四种不等式可以对应实数x的四种集合。这四 种集合都可用区间来表示，实数a和b称为相应区间的端 点。我们对这四种集合的具体规定如下： 除上面提到的四种集合外，符合不等式xa，xb， xa，xb的实数x的集合也可用区间表示，其表示方法 与上面四种区间类似。 需注意的是，这些区间只有一个 端点，另一端对应数轴的无穷远处。 为此，我们规定：
7、符号“”表示无穷大，“+”表示 正无穷大，“”表示负无穷大。 用区间的形式表示下列各集合： （1）x5x2 （2）x | 3x8 （3）xx1 （4）xx5 2.2 函数的概念及性质 水的高度表示体积 水的上表面面积表示半径 V15h (圆柱的体积等于底面积乘以高) h的取值范围就是0，10 Sr2 r的取值范围就是4，7 函数的概念 一般地，设x、y是两个变量，当x在某个数集D（ 即x的取值范围）内取任意一个确定的值，按照某个确 定的对应关系f ，y都有唯一的值与x对应，那么我们就 说x是自变量，y是变量x的函数，数集D是这个函数的 定义域。 通常将y是x的函数记作 yf（x），xD 当自变
8、量x在定义域中取确定的值a时，它所对应的 函数值记作 f (a) 所有函数值组成的集合叫做函数的值域。 如果一个函数的定义域没有被特别指出，那么我们就认为这 个函数的定义域是使函数表达式有意义的所有实数构成的集合。 例题解析 例1 设f(x)x22x3，求f (0)、f(3)、f (3)、f(a)。 解 f(0)022033 f(3)322336 f(3)(3)22(3)318 f(a)a22 a3 单击鼠标继续 例2 求函数f(x) 的定义域 。 解要使函数f(x)有意义，则 x20 即 x2 因此，f (x)的定义域是 2，） 单击鼠标继续 1设f (x)2x21，求：f(1)、f(1)，
9、f(0)、f(b)。 2求函数f(x) 的定义域。 函数的表示方法 表示一个函数的方法有：解析法、列表法和图像法。 解析法 用代数式来表示两个变量间的关系表示的方法叫做 解析法。如，yx2，y2x，y 。 列表法 所谓列表法是指用表格来表示两个变量之间函数关 系的方法。例如， 学期 序号 123456789101112 成绩959088928783948593899496 上表中，学期序号和成绩是两个变量。表中列出了 不同学期序号对应的成绩。 图像法 所谓图像法是指用图像来表示两个变量之间函数关 系的方法。 从图中可看出玉米单价（即每吨玉米的价格）随着时间 的的变化而不断起伏；任意时刻都对应着
10、唯一的玉米单价。 所以，在这里玉米单价是时间的函数。 例题解析 例 画出函数y6x（x(0，10）的图像。 解 y6x是一次函数，而定义域是（0，10，由此可知 图像是一条直线段。所以只要描出函数y6x图像上的两 个端点，然后用直尺将这两个端点连接起来即可。 列表 y010 x060 描点：描出以（0，0）为坐标的点 ，再描出以（10，60）为坐标的点。 连线：通过点和点画出 一条直线段。这条直线段AB就是 函数y6x ， x(0，10的图像。 应特别注意的是，由于图像中不 包括点（，），因此，点 用空心点表示。 单击鼠标继续 1试举出一个用列表法表示函数的例子。 2画函数yx3（x(，)）的
11、图像。 函数的单调性 观察yx2的图像，总结函数值随自变量取值的变化规律。 1y轴左侧，即在区间（，0上，自变量越大 函数值越小。 2y轴右侧，即区间0，）上，自变量越大函 数值越大。 一般地，在函数f（x）定义域内某个给定区间 I上 ，任选两个自变量的取值x1、x2 ，如果当x2x1时，总 有f（x2）f（x1），我们就说函数f（x）在区间 I上是 增函数； 如果当x2x1时，总有f（x2）f（x1），我们 就说函数f（x）在区间I上是减函数。 如果函数yf（x）在区间I上是增函数或减函数， 那么我们就说函数yf（x）在区间I上具有单调性，区 间I叫做函数yf（x）的单调区间。 单调区间上，
12、增函数的图像是上升的，减函数的图 像是下降的。 类 型（区间I上的）增函数（区间I上的）减函数 条 件 当x2x1时，有 f（x2）f（x1） 当x2x1时，有 f（x2）f（x1） 图像特 征 沿x轴正方向图像上升沿x轴正方向图像下降 图 例 例题解析 例 函数yf（x）的定义域是10，10，下图是它的 图像，根据图像指出函数yf（x）的单调区间，以及在每 一个单调区间上函数yf（x）是增函数还是减函数？ 解 函数yf（x）的单调区间有10，4)、4， 1)、1，2)、2，8)、8，10。 其中函数yf（x）在区间 10，4)、1，2)、8 ，10上是减函数； 在区间4，1)、2，8)上是增
13、函数。 1画出下列函数的草图，指出下列函数的单调区间， 并判别它们在各单调区间的增减性。 （1） （2） （3） （4） 2.3 反函数 研究水位高随体积变化的规律 V15h（h0，10） （V0，150）反函数 研究水面半径随水面面积变化 的规律 Sr2 （r4，7） （S16，49）反函数 图形 函数关系 式 自变量定义域值域 V15hh0，100，150 V0，1500，10 Sr2r4，716，9 S16，494，7 通常，在函数yf(x)（x）中，设它的值域为 ，根据该函数中x、y的关系，用 y 把 x 表示出来，得 到xg(y)。如果xg(y)（y）也是一个函数，那么 就把函数xg
14、(y)（y）叫做函数yf(x)（x）的 反函数，记作 xf1(y) 一般情况下，将函数xf1(y)改写成 yf1(x) 函数yf(x)与函数yf1(x)互为反函数。 函数yf(x)的定义域是它的反函数yf1(x)的值域； 函数yf(x)的值域是它的反函数yf1(x)的定义域。 例题解析 例 求下列函数的反函数，并画出题（1）中函数和反 函数的图像，观察它们的对称性。 （1）y2x1（xR） （2）yx21（x） （3） （x1） 解 （1）由y2x1，解得 ，所以， 函数y2x1的反函数是 （xR） 通过描点法可画出函数图像。 （2）由yx21（x），解得 x2=y1 由此推出 这里，一定有y+1，从而推出y1。所以，函数yx21（x ）的反函数是 （x1） （3）解得 ，所以所求反函数为 （x2） 单击鼠标继续 一般地，在平面直角坐标系xOy中，函数yf（x） 的图像和它的反函数yf1（x）的图像关于直线 yx 对称。 1求函数y2x4（xR）的反函数，并且在同一个 平面直角坐标系中画出函数y2x4（xR）和它的反函数 的图像。 2求下列函数的反函数： （1） （xR） （2）
