《高等代数考研复习[矩阵]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数考研复习[矩阵]（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等代数考研复习 2014年8月 第二章 矩阵 矩阵是高等代数研究的主要对象之一，也是数 学及许多科学领域中最重要的工具.矩阵问题 丰富多彩，技巧性高.在高等代数中扮演着重 要角色. 本章主要复习内容: (1)矩阵运算与特殊矩阵 (2)初等变换与矩阵 的逆 (3)矩阵的秩 (4)分块矩阵及应用 1.矩阵的运算与特殊矩阵 (1)矩阵的线性运算 (a)矩阵的加法 设 是数域 P上的矩阵，和定义为 . (b)数乘矩阵 设 ， 与 的乘积 定义为 矩阵加法与数乘称为矩阵的线性运算，且满足运算 律. (2)矩阵的乘法 (a)设 定义 与 的乘积为 ： 其中， 注：两个矩阵只有当前面矩阵的列数与后面矩阵的
2、 行数相等时才能相乘. 满足的运算律有：结合律；分配律；数与乘法的结 合律即： 但是，乘法一般不 满足交换律即: 有三种原因，你是否知道？ (b)方阵的幂及矩阵多项式 称为矩阵的方幂. 矩阵多项式：设 为方阵，称 为矩阵 的多项式。 对任意的 都有 (3)矩阵的转置 (a)将矩阵 的行列互换，所得到的矩 阵称为 的转置。记为 或 (b)转置的性质 特别 (4)特殊矩阵 (a)对角矩阵 对角矩阵的和、 差、积、方幂为主对角线上元素的和、差、积、方 幂. 它的逆为 (b)对称阵与反对称阵 若方阵 满足 ，即 则称A 为对称矩阵. 若方阵 满足 ，即 则称A 为反对称矩阵. 结论1：任一方阵都可表示
3、为对称矩阵与反对称矩阵 的和即 结论2：奇数阶反对称矩阵的行列式为零；偶数阶反 对称矩阵的行列式可能为零也可能非零. (c)基本矩阵 形如 的矩阵称为基本矩阵. 结论1：任一矩阵都可由基本矩阵线性表出. 结论2：与任意矩阵可换的矩阵一定是数量矩阵.证明 可利用基本矩阵. (d)正交矩阵，幂等矩阵，幂零矩阵，对合矩阵 (e)可换矩阵 若方阵满足 则称矩阵A与B可换. 结论1：与对角阵(主对角元互不相等)可换的矩阵 只能是对角矩阵. 结论2：与 可换的矩阵只能 是同型的准对角矩阵. 当A与B可换时，下面结论成立. 的展开式成立.特别，当 时，上述公式应用广泛. 题型分析： 例1 设 ,求 . 求矩
4、阵的方幂一般有三种方法： (1)归纳法， (2) 可换公式法，(3)相似对角化法. 由于矩阵A是特殊矩阵，所以使用可换公式法简单！ 例2 设 为任意多项式， 求出 的表达式. 例3 设A、B为n阶方阵，且 证明： 分析：证明A、B可换，联想到可逆定义即可获结论. 例4 设 求所有与A可换的矩阵. 提示：先化简，后计算. 例5 设 均为n阶方阵，其中 的元素均为1，证 明方程 仅有零解. 注意：这种元素均为1的矩阵有特殊性质 ,以 后还会遇到！ 2.初等变换与矩阵的逆 (1)初等变换 (a)交换矩阵的两行(列). (b)矩阵的某一行(列)同乘一个非零数. (c)矩阵的某一行(列)的常数倍加到另一
5、行(列 ). (2)初等矩阵 对单位矩阵 作一次初等变换得到的矩阵称为初 等矩阵. 初等矩阵有三种形式： 结论1：初等矩阵都是可逆的，且 结论2 (变换与矩阵乘积的关系)在矩阵A的左(右)侧 乘初等矩阵，相当于对矩阵A作一次相应的行(列)初 等变换. (3)矩阵的等价 对矩阵A做初等变换得到矩阵B，则称矩阵A与矩阵 B等价. 若 则矩阵 与矩阵 等价，称为 的等价标准形.即存在可逆矩 阵 使 结论1 ： 等价标准形在处理矩阵问题中有重要应用！ 结论2：可逆矩阵的等价标准形是 结论3：矩阵A与B等价的充要条件是 (4)逆矩阵 (a)逆矩阵的定义 对于方阵 如果存在方阵 使得 则称 矩阵 可逆，
6、为 的逆矩阵，记为 (b)逆矩阵的性质 (c)伴随矩阵及相关公式 设 称 为A的伴随矩阵，下 面公式成立： (d)矩阵可逆的判别条件 矩阵 可逆的充分必要条件为： 也有等价条件 (e)求逆矩阵的方法 伴随矩阵法： 此法仅限于二阶矩阵. 初等变换法： 题型解析:(a)与逆矩阵定义及性质相关问题. (b)与伴随矩阵有关问题. （c）矩阵方程解法. 证明A 可逆，并求 方法一：初等变换法. 方法二：利用矩阵的特殊性及运算性质. 例2 设A为n阶方阵,若 可逆且 求证:(1) (2) 例3 设A 满足 证明： 与 可逆 ， 并求逆. 例1 设 例4 已知 均可逆，证明： 可逆，并 求逆. 例5 已知
7、可逆，证明： 可逆，且 这是一个较难的问题，可以灵活地从几个方面去考虑 ： (a)利用逆的定义 (b)利用反证法，构造齐次方程组 (c)利用增补项方法构造 下面问题与伴随矩阵有关，四个结论是重要的. (a) (b) (c) (d) 要求会证明四个公式，清楚他们的联系. 且 求矩阵 例2 已知A为3阶非零方阵，且 证明，A可逆 ，并求 例1 已知A的伴随矩阵 例3 设n阶矩阵A满足 又矩阵 其中为A中元素的代数余子式，证明 例4 证明：与任意n阶可逆矩阵可交换的矩阵 一定与任意n阶矩阵可交换. 例5 如果可逆的n阶方阵A的每行元素之和为 a，试证明： 的每一行元素之和为 矩阵方程是线性代数研究的
8、重要对象.矩阵方程求解 大致分为两步进行：先化简方程，然后求解.如果所 求未知矩阵只有一个，通过移项，合并同类项提取 公因子等使之变形为 或 或 的形式，再通过左乘或右乘可逆矩阵，即可求出未 知矩阵. 如果矩阵方程除含有所求的未知矩阵外，还 含有未知伴随矩阵、未知可逆矩阵、未知矩阵的转 置等形式时，常常先利用公式进行转化，转化为第 一种形式. 例1 设3阶矩阵A与B满足 若 求矩阵B. 例2 设3阶方程A与B满足 若 求矩阵B. 例3 已知矩阵A、B如下， 且满足 求 例4 设A为 矩阵，证明：矩阵方程 必有解. 证明：设 则存在可逆矩阵P、Q使 得 令 于是有 3.矩阵的秩 (1)矩阵秩的两
9、种定义： a)矩阵A的行秩等于列秩，称为A的秩.记为 b) 的充分必要条件为A至少有一个 阶子式 非零，但是所有 阶子式全为零. 注：掌握子式、主子式、顺序主子式的概念. (2)矩阵秩的求法 依据：初等变换不改变矩阵的秩. 对矩阵 作初等变换将它化为阶梯形，则阶梯形矩阵 非零行的个数为矩阵的秩. (3)矩阵秩的性质 a) b)若矩阵 可逆，则 c) d) e) f) 特例，若 则 g)设 则 h)设 则 题型分析：1)矩阵秩的求法与简单性质应用 例1 讨论矩阵 的秩. 例2 设A是一个 矩阵，B是 矩阵，如果 试求 并证明 例3 设A,B是n阶方阵，且 求 例4 设A为n阶方阵，且 证明: (
10、1) (2) 若 则 2) 利用齐次线性方程组的解处理矩阵秩的问题 例1设 ，证明： 例2 证明： 例3 证明： 的充分必要是 与 同解. 例4 设A、B、C是三个n阶矩阵，如果 则 例5 设A为任意n阶方阵，证明： 3) 秩不等式的证明 例1 (西尔维斯特不等式) 证明： 熟悉分块矩阵的应用！ 例2 设 都是n阶方阵，且 证明： 例3 设 证明： 4.分块矩阵 1)分块矩阵乘法与转置 a) b) 设 则 2) 常见分块法 a)行、列分块. b) 二分块 c) 四分块 d）准对角矩阵 3) 分块矩阵的初等变换与初等矩阵 a)交换两行，b)某一行(列)左(右)同乘一个可逆矩 阵. c)某一行(列
11、)的矩阵倍加到另一行. 分块初等矩阵：将 作一次初等变换得到的矩 阵称为分块初等矩阵. 结论：对分块矩阵做一次行初等变换，相当于在它的 左边乘上相应的分块初等矩阵. 题型分析: (1)分块及分块乘法的应用. (2)分块初等变换的应用. 例1 设B为 矩阵，C为 矩阵，且 证明 ：1) 如果 那么， 2) 如果 那么， 例2 设 ，若 则存在秩为r的矩阵 与 使得 例3 设A是n阶方阵，证明：存在可逆矩阵B及一个幂 等矩阵C使得 例4 设 当 可逆时，求 两种方法，定义法，初等变换法。 例5 设 都是n阶方阵，且 当A可 逆时，证明： 例6 设 证明: (1) (2)若 则 上面结论在 时称为降
12、阶公式，在行列式计算 中扮演重要角色.下面两个例子说明它的应用. 例 计算行列式 (1) (2) 例7 证明：设A为n阶方阵，证明: 的充分必要 为 注：本题的充分性主要说明构造分块矩阵解决要证 明的问题! 例8 设A是 矩阵,证明： 例9 设 且A的列向量组线性无关，证明 ： 的任意 个列向量有相同的相关性. 下次再见！ 行列式是高等代数中的一个基本概念，它不仅是研究线性 方程组理论的有力工具，而且在求逆矩阵、求矩阵的秩、 判断向量组的线性相关性以及求矩阵的特征值、判断二次 型的正定性等方面都起着重要的是作用. 本章复习内容分三个部分： (1)行列式定义(2)行列式性质(3)行列式计 算.
13、定义是基础，性质是关键，计算是核心. 第一章 行列式 二阶三阶行列式是使用对角线法定义的，四阶以上 的行列式对角线法不成立.n阶行列式是通过对二阶 三阶行列式定义的分析、归纳总结得到的. 1.1 行列式的定义 (1)项的构成 (2)项的个数 (3)每项的符号 1 行列式的定义 其中 是 的一个排列. 例1 已知求 与 的系数. 1.2 排列的性质 (1)对换改变排列的奇偶性. (2)奇偶排列各半. (3)任一排列都可通过一系列对换变为自然排列，并且所做 的对换次数的奇偶性与排列的奇偶性相同. 例2 求 2. 行列式的性质 (1) (对称性) . 反应了行与列具有相同的性质. (2)(互换性)行
14、行互换行列式反号. (3)(比例性)两行对应成比例，行列式为零. (4)(数量性)行有公因子可提到行列式之外.(或数K乘行列 式等于数K 乘行列式的某一行.) (5)(倍加性)某一行的倍数加到另一行，行列式不变. (6)(拆分性) (7)行列式展开定理-降阶定理 两个概念：余子式 ，代数余子式 关系： 定理： 推论： (8) Laplace定理 K 阶子式 ( )，K 阶代数余子式， 主子式， 顺序 主子式. 定理：在行列式D 中，任意选定K 行 ，由这K 行元 素所组成的一切K 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于 行列式D。 例1 设 求 D 的第K行元素的代数 余子式之和，即 例2 计算 例2推广为 3.行列式计算中常用的结论 (1)对角线行列式 (2) 三角形行列式 下三角 (3) 范德蒙德行列式 由一组数的连续方幂(从0到n)构成的行列式称为范德蒙德 行列式. 对范德蒙德行列式要求会证明！方法：用逐行想减法降阶得 递推公式，然后使用数学归纳法证明. (4)对称行列式、反对称行列式 若 或 则称 为对称行列式. 若 或 则称 为反对称行列式. 结论：奇数阶反对称行列式为零. (5)分块行列式 A为n阶方阵 ，B为m阶方 阵. (6) 行列式乘积公式： (i)
