克里金插值克里金插值 第二讲 克里金方法（Kriging）, 是以南非矿业 工程师D.G.Krige (克里格)名字命名的一项 实用空间估计技术，是地质统计学 的重要 组成部分，也是地质统计学的核心 地质统计学地质统计学 主要是为解决矿床储量计算和误差估计问题而 发展起来的 由法国巴黎国立高等矿业学院G．马特隆教授于 1962年所创立 H. S. Sichel (1947) D.G. Krige (1951) Kriging法（克里金法，克立格法） :“根据样品空间位置不同、样品间 相关程度的不同，对每个样品品位 赋予不同的权，进行滑动加权平均 ，以估计中心块段平均品位” G. Materon(1962) 提出了“地质统计学”概念 (法文Geostatistique) 发表了专著《应用地质统计学论》 阐明了一整套区域化变量的理论 ，为地质统计学奠定了理论基础 区域化变量理论 克里金估计 随机模拟 应用统计学方法研究金矿品位 1977年我国开始引入 克里金插值方法 井眼 地震 （普通克里金） （应用随机函数理论） 不仅考虑待估点位置与 已知数据位置的相互关 系，而且还考虑变量的 空间相关性。
为一个实值变量，可根据概率分布取不同的值 每次取值（观测）结果z为一个确定的数值，称 为随机变量Z的一个实现 P 一、随机变量与随机函数一、随机变量与随机函数 第一节第一节 基本原理基本原理 1. 随机变量 连续变量： 累积分布函数（cdf） cumulative distribution function 条件累积分布函数（ccdf）后验 conditional cumulative distribution function 离散变量（类型变量）： Z (u) P P 不同的取值方式：估计（estimation） 模拟（simulation） 连续型地质变量 构造深度 砂体厚度 有效厚度 孔隙度 渗透率 含油饱和度 离散型地质变量 （范畴变量） 砂体 相 流动单元 隔夹层 断层 类型变量 ①设离散型随机变量ξ的所有可能取值为 x1，x2，…，其相应的概率为 P (ξ=xk)= pk, k=1,2,…. 随机变量的特征值： (1)数学期望 是随机变量ξ的整体代表性特征数 则当级数 绝对收敛时，称此级数的 和为ξ的数学期望，记为E(ξ)，或Eξ E(ξ) = ②设连续型随机变量ξ的可能取值区间为(-∞，+∞)， p(x)为其概率密度函数，若无穷积分 绝对收敛，则称它为ξ的数学期望，记为E(ξ)。
E(ξ) = 数学期望是随机变量的最基本的数字特征， 相当于随机变量以其取值概率为权的加权平均数 从矩的角度说，数学期望是ξ的一阶原点矩 对于一组样本： 为随机变量ξ的离散性特征数若数学期望E[ξ -E(ξ)]2存在，则称它为ξ的方差，记为D(ξ)，或 Var(ξ)，或σξ2 σξ= 从矩的角度说，方差是ξ的二阶中心矩 (2)方差 其简算公式为 D(ξ)=E(ξ2) –[E(ξ)]2 D(ξ)= E[ξ-E(ξ)]2 方差的平方根为标准差，记为σξ 研究范围内的一组随机变量 简记为 随机场： 当随机函数依赖于多个 自变量时，称为随机场 如具有三个自变量(空 间点的三个直角坐标)的 随机场 2. 随机函数 条件累积分布函数（ccdf） P 二个随机变量ξ，η的协方差为二维随机变量(ξ ，η)的二阶混合中心矩μ11，记为Cov(ξ，η)，或σ ξ,η 协方差(Variance)： Cov(ξ,η) = σξ,η = E[ξ-E(ξ)][η-E(η)] 其简算公式为 Cov(ξ,η) = E (ξη)-E(ξ) ·E(η) 随机函数的特征值 二、统计推断与平稳要求二、统计推断与平稳要求 P 任何统计推断（cdf，数学期望等）均要求重复取样。
但在储层预测中，一个位置只能有一个样品 同一位置重复取样，得到cdf，不现实 考虑邻近点，推断待估点 空间一点处的观测值可解释为一个随机变量在该点 处的一个随机实现 空间各点处随机变量的集合构成一个随机函数 区域化变量： 能用其空间分布来表征一个自然现象的变量 （将空间位置作为随机函数的自变量） （可以应用随机函数理论解决插值和模拟问题） 考虑邻近点，推断待估点 ----空间统计推断要求平稳假设 严格平稳 对于单变量而言： 可从研究区内所有数据的累积直方图推断而得 （将邻近点当成重复取样点） 太强的假设，不符合实际 P 当区域化变量Z(u)满足下列二个条件时，则称其 为二阶平稳或弱平稳： E[Z(u)] = E[Z(u+h)] = m(常数) xh 随机函数在空间上的变化没有明显趋势， 围绕m值上下波动 ① 在整个研究区内有Z(u)的数学期望存在， 且等于常数，即： 二阶平稳 ② 在整个研究区内，Z(u)的协方差函数存在且平稳 (即只依赖于滞后h，而与u无关)， 即 Cov{Z(u),Z(u+h)} = E[Z(u)Z(u+h)]-E[Z(u)]E[Z(u+h)] = E[Z(u)Z(u+h)]-㎡ = C(h) 特殊地，当h=0时，上式变为 Var[Z(u)]=C(0), 即方差存在且为常数。
协方差不依赖于空间绝对位置，而依赖于相对位置 ， 即具有空间的平稳不变性 u u+h ①在整个研究区内有 E[Z(u)-Z(u+h)] = 0 本征假设 当区域化变量Z(u)的增量[Z(u)-Z(u+h)]满足下列二 条件时，称其为满足本征假设或内蕴假设 可出现E[Z(u)]不存在， 但E[Z(u)-Z(u+h)]存在并为零的情况 intrinsic hypothese E[Z(u)]可以变化,但E[Z(u)-Z(u+h)]=0 （比二阶平稳更弱的平稳假设） ② 增量[Z(u)-Z(u+h)]的方差函数 (变差函数,Variogram) 存在且平稳 (即不依赖于u)，即： Var[Z(u)-Z(u+h)] = E[Z(u)-Z(u+h)]2-{E[Z(u)-Z(u+h)]}2 = E[Z(u)-Z(u+h)]2 = 2γ(u,h) = 2γ(h), 相当于要求：Z(u)的变差函数存在且平稳 例：物理学上的著名的布朗运动是一种呈现出无限 离散性的物理现象，其随机函数的理论模型就是维 纳-勒维(Wiener-Levy)过程(或随机游走过程)。
布朗运动: 可出现协方差函数不存在，但变差函数存在的情况 既不能确定验前方差，也不能确定协方差函数 但是其增量却具有有限的方差： Var[Z(x)-Z(x+h)] = 2 = A·|h| (其中，A是个常数)， 变差函数= ·|h|，且随着|h|线性地增大 若区域化变量Z(x)在整个区域内不满足二阶平 稳(或本征假设) ，但在有限大小的邻域内是二阶平 稳(或本征)的，则称Z(x)是准二阶平稳的(或准本征 的) 准二阶平稳假设及准本征假设 设 为区域上的一系列观测点， 为相应的观测值区域化变量在 处的值 可 采用一个线性组合来估计： 三、克里金估计三、克里金估计( (基本思路基本思路 Z*(x0) 无偏 最优 无偏性和估计方差最小被作为 选取的标准 ----以普通克里金为例 从本征假设出发, 可知 为常数,有 可得到关系式: （1）无偏条件 Z*(x0) （在搜寻邻域内为 常数，不同邻域可 以有差别） （2）估计方差最小 应用拉格朗日乘数法求条件极值 Z*(x0) 进一步推导，可得到n+1阶的线性方程组, 即克里金方程组 当随机函数不满足二阶平稳,而满足内蕴（本征）假设时 ,可用变差函数来表示克里金方程组如下: Z*(x0) 最小的估计方差,即克里金方差可用以下公式求解: Z*(x0) 变差函数(或叫变程方差函数，或变异函数)是地 质统计学所特有的基本工具。
它既能描述区域化变 量的空间结构性变化，又能描述其随机性变化 跃迁现象 1. 变差函数的概念与参数 四、变差函数及其结构分析四、变差函数及其结构分析 假设空间点x只在一维的x轴上变化，则将区域化 变量Z(x)在x，x+h两点处的值之差的方差之半定义 为Z(x)在x轴方向上的变差函数，记为 一维情况下的定义： Var[Z(x)-Z(x+h)] E[Z(x)-Z(x+h)]2-{E[Z(x)-Z(x+h)]}2 = = 半变差函数(或半变异函数) 在二阶平稳假设，或作本征假设，此时： 地质统计学中最常用 的基本公式之一 E[Z(x)-Z(x+h)] = 0h Var[Z(x)-Z(x+h)] E[Z(x)-Z(x+h)]2-{E[Z(x)-Z(x+h)]}2 = = E[Z(x)-Z(x+h)]2 = 则： （二阶平稳假设条件下边查函数与写防查的关系） 变程(Range) ：指区域化变量在空间上具有相关性的 范围在变程范围之内，数据具有相关性；而在变 程之外，数据之间互不相关，即在变程以外的观测 值不对估计结果产生影响 具不同变程 的克里金插 值图象 块金值(Nugget) ：变差函数如果在原点间断，在地质统计学中称 为“块金效应”，表现为在很短的距离内有较大的空间变异性，无 论h多小，两个随机变量都不相关 。
它可以由测量误差引起，也 可以来自矿化现象的微观变异性在数学上，块金值c0相当于变 量纯随机性的部分 如果品位完全是典型的随机变量，则不论 观测尺度大小，所得到的实验变差函数曲线总 是接近于纯块金效应模型 当采样网格过大时，将掩盖小尺度的结构， 而将采样尺度内的变化均视为块金常数这种 现象即为块金效应的尺度效应 块金效应的尺度效应 12 11 133 3 3 基台值(Sill)：代表变量在空间上的总变异性大小即为变 差函数在h大于变程时的值，为块金值c0和拱高cc之和 拱高为在取得有效数据的尺度上，可观测得到的变异性幅 度大小当块金值等于0时，基台值即为拱高 = C(0) – C(h) 几何各向异性：变差函数 在空间各个方向上的变程 不同，但基台值不变（即 变化程度相等）这种情 况能用一个简单的几何坐 标变换将各向异性结构变 换为各向同性结构 带状各向异性：不同方向 的变差函数具有不同的基 台值，其中变程可以不同 ，也可以相同这种情况 不能通过坐标的线性变换 转化为各向同性，因而结 构套合是比较复杂的 地质变量相关性的各向异性 12 11 133 3 3 (2) 2. 变差函数的理论模型 设Z(x)为满足本征假设的区域化变量，则常 见的理论变差函数有以下几类： 球状模型 指数模型 高斯模型 幂函数模型 空洞效应模型 接近原点处，变差函 数呈线性形状，在变 程处达到基台值。
原点处变差函数的切 线在变程的2/3处与 基台值相交 球状模型： c为基台值，a为变程， h为滞后距 指数模型： 变差函数渐近地逼近 基台值 在实际变程处，变差 函数为0.95c 模型在原点处为直线 高斯模型： 变差函数渐近地逼近 基台值 在实际变程处，变差函 数为0.95c 模型在原点处为抛物线 幂函数模型： 幂函数模型为一种无基 台值的变差函数模型这 是一种特殊的模型 当=1时，变差函数为一 直线，即为线性模型，这 一模型即为著名的布朗运 动（随机行走过程）的变 差函数模型； 当 1时，变差函数为抛 物线形状，为分数布朗运 动(fBm)的变差函数模型 布朗运动 分数布朗运动 分数布朗运动 h 空洞效应模型(Hole Effect)： 变差函数并非单调增加 ，而显示出一定周期性的 波动 模型可以有基台值，也 可以无基台值；可以有 块金值，也可以无块金 值。