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1、第 1 页 共 5 页 G gR M R Mm Gmg 2 2 ? 第六章第六章 万有引力与航天万有引力与航天 开普勒行星定律开普勒行星定律 1、开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳 处在椭圆的一个焦点上。 2、开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相 等的时间内扫过相等的面积。 3、开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道半径的半长轴的三次方跟它 的公转周期的二次方的比值都相等，即。 3 2 a k T ? 说明说明： （1）开普勒行星运动定律适用于一切行星（卫星）绕恒星（行星）运动的情况 ； （2）不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同
2、的； （3）行星在近日点的速率远大于在远日点的速率； （4）表达式中，k值只与中心天体有关。 3 2 a k T ? 引力和重力的关系引力和重力的关系 1、在两极或不考虑地球自转：重力和万有引力相等 2 R Mm Gmg ? 2、赤道位置 向 Fmg R Mm G? 2 3、重力加速度与高度的关系 万有引力定律万有引力定律 1内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引 力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反 比。 2公式：（G=6.67×10-11 N·m2/kg2）。 12 2 m m FG r ? G 物理意义：
3、引力常量在数值上等于两个质量都是 1 kg 的质点相距 1 m 时的相 互吸引力。 3适用范围： （1）质点间引力的计算； （2）质量分布均匀的球体，r是球体球心间的距离； （3）一均匀球体与球外一个质点间的万有引力的计算，r是球心到质点的距离 ； （4）两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，r为两物体质心间的距离。 计算天体的质量和密度计算天体的质量和密度 2 R Mm Gmg ? 2 )(hR Mm Ggm ? ? 第 2 页 共 5 页 1、忽略天体自转，天体表面重力和万有引力相等： 2、测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 （1）由得天体的质量。 2 22 4Mmr Gm
4、rT ? 23 2 4 r M GT ? （2）若已知天体的半径R，则天体的密度。 3 23 3 3 = 4 3 MMr VGT R R ? 若卫星绕中心天体表面运行，轨道半径r=R，则有，。 2 3 GT ? 2 2 4 R M GT ? 人造地球卫星人造地球卫星 一、卫星的动力学规律一、卫星的动力学规律 由万有引力提供向心力，。 22 2 n 22 4Mmvr Gmammrm rrT ? 二、卫星的各物理量随轨道半径变化的规律二、卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 1线速度v：由得，可见，r越大，v越小；r越小，v 2 2 Mmv Gm rr ? GM v r ? 越大。 2角速度：由得，
5、可见，r越大，越小；r越小 2 2 Mm Gmr r ? 3 GM r ? ，越大。 3周期T：由得，可见，r越大，T越大；r越小 2 2 2 () Mm Gmr rT ? 3 2 r T GM ? ，T越小。 4向心加速度an：由得，可见，r越大，an越小；r越小 n 2 Mm Gma r ? n 2 GM a r ? ，an越大。 以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。 三种宇宙速度三种宇宙速度 宇宙速度 数值（km/s ） 意义 第一宇宙速 度 7.9 卫星的最小发射速度，若 7.9 km/sv11.2，物体绕地 球运行 第二宇宙速 度 11.2 物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。若
6、 11.2 km/sv 16.7 km/s 物体绕太阳运行 第三宇宙速 度 16.7 物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v16.7 km/s ，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行 学.科.+网 注意：（1）第一宇宙速度的推导有两种方法：由得 2 1 2 00 Mmv Gm RR ? 1 0 GM v R ? 第 3 页 共 5 页 ； 由得。 2 1 0 v mgm R ? 10 vgR? （2）第一宇宙速度的公式不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M、R0、 g必须与之相对应，不能套用地球的参数。 卫星变轨问题卫星变轨问题 人造地球卫星发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以 下几个方面
7、讨论： 1变轨原理及过程 （1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道上。 （2）卫星在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道 上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道。 （3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆轨道。 2一些物理量的定性分析 （1）速度：设卫星在圆轨道和上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道上 过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vAvB，在B点加速，v3 vB，又因v1v3，故有vAv1v3vB。 （2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道还是轨 道上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速
8、度也相同。 （3）周期：设卫星在、轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径 分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律可知T1T2T3。 3 2 r k T ? 极地卫星和近地卫星极地卫星和近地卫星 1极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全 球覆盖。 2近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道 半径可近似认为等于地球的半径，其运行的线速度约为 7.9 km/s。 同步卫星同步卫星 同步卫星是指相对地球“静止不动”的卫星。 同步卫星的六个“一定”： 赤道上的物体与同步卫星以及近地卫星的运动规律赤道上的物体与同步卫星以及近地卫星的
9、运动规律 轨道平面一定轨道平面与赤道平面重合 高度一定距离地心的距离一定，h=4.225×104 km；距离地面的高度为 3.6×104 km 环绕速度一定v=3.08 km/s，环绕方向与地球自转方向相同 角速度一定 5 7.3 10rad/s? ? ? 周期一定与地球自转周期相同，常取T=24 h 向心加速度一 定 a=0.23 m/s2 第 4 页 共 5 页 1地球赤道上的物体，静止在地面上与地球相对静止，随地球的自转绕地轴做 匀速圆周运动。地球赤道上的物体受到的地球的万有引力，其中的一个分力提 供物体随地球自转做圆周运动的向心力，产生向心加速度a，另一个分力为重
10、力，有Gmg=ma（其中R为地球半径）。 2 Mm R 2近地卫星的轨道高度约等于地球的半径，其所受万有引力完全提供卫星做圆 周运动的向心力，即G=ma。 2 Mm R 3同步卫星与赤道上的物体具有与地球自转相同的运转周期和运转角速度，始 终与地球保持相对静止状态，共同绕地轴做匀速圆周运动。 4区别： （1）同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近 地卫星的周期。 （2 近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球的半径，而不等于同 步卫星运动的半径。 （3）三者的线速度各不相同。 求解此类试题的关键求解此类试题的关键 1在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速
11、度的比例关系时应依据 二者角速度相同的特点，运用公式a=2r而不能运用公式a=。 2 GM r 2在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度的比例关系时，仍要依据 二者角速度相同的特点，运用公式v=r而不能运用公式v=。 GM r 3在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有 引力提供的向心力，故要运用公式v=，而不能运用公式v=r或v=。 GM r gr 双星系统双星系统 1在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者 连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。 2双星系统的条件： （1）两颗星彼此相距较近； （2）两颗星靠相互之间的
12、万有引力做匀速圆周运动； （3）两颗星绕同一圆心做圆周运动。 3双星系统的特点： （1）两星的角速度、周期相等； （2）两星的向心力大小相等； （3）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1r2=L，轨道半径与行星 的质量成反比。 4双星问题的处理方法： 双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 ，由此得出： 22 12 1122 2 m m Gmrmr L ? 第 5 页 共 5 页 （1）m1r1=m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比； （2）由于=，r1r2=L，所以两恒星的质量之和。 2 T 23 12 2 4 L mm GT ? 经典力学的局限性经典力学的局限性 1只适用于低速低速运动，不适用于高速运动； 2只适用于宏观宏观世界，不适用于微观世界； 3只适用于弱引力弱引力，不适用于强引力。
