有限元2弹性力学平面问题(2.3程序设计)汇编

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1、土木工程学院 有限单元法 第2章 弹性力学平面问题有限单元法 2.1 三角形单元 2.2 三角形单元中几个问题的讨论 2.3 平面问题有限元程序设计 2.4 矩形单元 2.5 六结点三角形单元 2.6 四结点四边形单元 2.7 八结点曲线四边形等参元 2.8 几个问题的补充 1 土木工程学院 有限单元法 2.3 平面问题有限元程序设计 2 土木工程学院 有限单元法 一、程序设计方法与结构分析程序的特点 1程序设计方法论简述 借助计算机来完成某项工作，通常都要先编 写相应的计算机程序，或叫程序设计。完成 一个结构分析或结构CAD系统也必然要经过 程序设计才能实现。 程序设计要使用专门的程序语言。

2、我国结构 程序设计中所采用的语言，在60年代和70年 代初以ALGOL语言为主。此后逐步广泛使用 的主要是BASIC语言和FORTRAN语言，随 着CAD和人工智能技术的发展，PASCAL、 C、LISP、 PROLOG等有着各自特长的程序 语言也逐步进入土木工程领域的计算机程序 设计中。 3 土木工程学院 有限单元法 过去人们通常认为，程序设计的中心问题就 是学会使用一种程序语言，用以编写程序。 然而学会用程序语言编程只是整个程序设计 中的一部分。据有关资料介绍，编写程序在 整个系统的研制过程中仅占15的工作量。 在一个大型程序系统的整个存在阶段的工作 量中，在系统投入使用后的维护工作量为原

3、 来研制工作量总和的两倍。 维护工作量是如此之高，这就使我们必须注 意到，在程序研制阶段便即应当考虑为以后 的维护工作提供方便，哪怕是为此要增加一 些额外的工作量也是值得的。 4 土木工程学院 有限单元法 要编制一个好的程序系统并没有一种绝对的 规则，就象是工程设计没有一种绝对规则一 样。但对于程序设计的好坏现在已逐渐形成 了一套评价的客观标准。这些标准大致分为 以下几个主要方面： (1) 程序的可读性; (2) 正确性与可靠性; (3) 使用方便且效率高; (4) 软件的可移置性; (5) 易于调试与维护。 5 土木工程学院 有限单元法 直到1970年代中期人们才认识到软件的维 护是软件研究

4、的一个关键领域。造成软件维 护工作量大的原因之一是与程序研制过程中 所采用的设计方法不够科学化有关。为了解 决这一问题，人们开展了对于程序设计方法 论的研究与实践，其目标是使软件正确、可 靠和降低整个软件研制活动的费用。总的来 说，程序设计已从强调灵活的技巧和局部效 率向着强调程序结构化和整体功能的方向发 展。这实际上就是逐步发展起来的关于程序 设计编写与调试的一套方法论，其要点可归 纳为以下几方面： 6 土木工程学院 有限单元法 (1) 编程结构化 为了使程序设计者能按照一定的结构形式， 而不是随心所欲地设计和编写程序，使编制 的程序易读、易修改，以提高程序设计和维 护工作的效率，荷兰学者D

5、ijkstra提出了“结 构化程序设计方法”。结构化程序规定了三种 基本的结构形式，他们是顺序结构、分支选 择结构和循环结构。编程结构化又称结构化 程序设计，他可使编写的程序层次分明，逻 辑清楚，容易阅读。 7 土木工程学院 有限单元法 (2) 分层处理技术 为了解决现实世界中的许多复杂问题，人们 往往需要根据问题的内在联系将其分割成有 层次的一系列问题来分别求解。对于一个大 型程序系统设计来说，也需采用分层的办法 来处理，在每一层里集中解决一个问题，并 为下一层的执行作好准备。分层处理技术的 主要内容是将程序划分为多个层次的若干模 块，每个模块完成一个（或几个）预定的功 能。 为了保证模块的

6、独立性，各模块之间只能通 过接口与其他模块连接。另外，对于一个较 大的软件系统要由多人合作才能完成，模块 化也为此提供较好的合作条件。模块化的一 种典型结构形式就是子程序结构。 8 土木工程学院 有限单元法 (3) 避免过多使用GOTO语句，特别是逆转的 GOTO语句。 这是结构化程序设计的基本要求之一。 （4）可移植性 对于应用软件，特别是大型的CAD软件，可 移植性高低同样是衡量软件的质量的重要指 标。因为研制一个大型应用软件系统不但要 耗费大量的人力物力，而且还要花费相当长 的时间才能研制成功。在其研制和应用期间 ，不可避免地发生运行环境的变化计算机 硬件设备的换代和系统软件的更新。可移

7、植 性强即等于延长了软件的生存期，从而可节 省新的开发投资。 9 土木工程学院 有限单元法 可移植性主要体现在软件对支撑环境的独立 性和软件本身的封闭性。例如，用 FORTRAN、BASIC 、C等语言编写，并尽 量避免采用非标准语句和函数。此外，在软 件中采用统一的I/O 模块，也是提高可移植 性的手段之一。 应当指出，程序设计方法论仍在发展探索之 中，千万不能把上述有关内容当成一成不变 的教条套用，而应当通过实践来发展和丰富 其内容。然而程序设计发展到今天，已经奠 定了很多必要的理论基础。我们正在达到一 个可以谈论程序设计是一门科学而不仅仅是 一种技巧的阶段。 10 土木工程学院 有限单元

8、法 2、结构化程序设计 结构化程序设计，又称结构程序设计 (Structured Programming)是 荷兰学者E. W. dijkstra首先提出来的，简称SP。人们对SP有 各种定义和解释:有人说它是: 指导程序员编程 的一般方法；有人说它是: 不使用goto语句的 程序设计;有人说它是: 自顶向下的程序设计。 有人把层次结构、顺序结构、选择结构和重 复结构定义为SP的全部内容，而把一个程序 结构模块定义为上述四种基础结构的某种集 合，即：结构模块(程序)(层次结构, 顺序结 构, 选择结构, 重复结构)，认为SP就是定义为 这些基本结构在软件开发和维护中的严格应 用。 11 土木工

9、程学院 有限单元法 3、程序的正确性及其验证 程序正确性(Program Correctness)被定义为 一个程序和它打算要实现的功能之间的一次 符合(a correspondness) Gries说，在程序设计的初期阶段，人们很 少看到程序正确性方面的问题，那时人们往 往着重于调试(debugging),但是后来发现调 试好的程序并不能表示错误不存在。于是人 们就不得不考虑程序的正确性证明问题。 12 土木工程学院 有限单元法 什么是程序正确性证明呢？从词义上讲，“证 明”就是提供一种有力的证据使人们在思想上 不得不接受一条真理或一件事实。但是在程 序设计中要做到这一点并不容易，因为现在

10、还没有找到一种象数学一样非常完整的形式 。目前主要还是通过选择较好的算法，大量 考题，与已有结果比较等办法来证明一个程 序的正确性。但不管怎样，程序正确性理论 已经被提出来，并有了一些实际想法。 13 土木工程学院 有限单元法 程序的验证(Program Verification)实际上就 是检验程序的正确性。一个程序如果有错误 ，主要是两方面的：一方面是语法错误，这 部分比较好解决，一般是在调试阶段（编辑 阶段）完成。但是一个语法完全没问题的程 序并不一定是正确的。因为程序中的许多部 分往往是靠逻辑关系来达到所要实现的目的 。目前应用程序的验证主要靠针对程序每一 功能，每一逻辑分支进行各种类

11、型的考题， 包括考题的规模。 14 土木工程学院 有限单元法 4、结构分析程序的特点 1. 规律性、 通用性好。 2. 计算工作量大、运算时间长（形成单、总 刚、解方程、动力、非线性）。 3. 矩阵阶数高，与微机的存贮量发生矛盾。 15 土木工程学院 有限单元法 二、平面问题有限元程序设计（三角形单元） 三角形单元是平面问题中最简单的单元形式 ，但其他单元形式的有限元程序与三角形单 元程序的结构基本相同，并无本质区别。故 本节通过一个FORTRAN 源程序，详细介绍 三角形单元的程序设计。 下面总框图左边主线对应着源程序中的主程 序流程。 现按照总框图中的10个子框图，结合详细的 子框图设计，

12、介绍 “平面问题三角形单元源 程序”。 16 土木工程学院 有限单元法 输入结构控制参数 输入其它数据 形成整体刚度阵 引入支承条件 解方程，输出位移 求应力，输出应力 形成节点荷载向量 开始 结束 1 单元面积 求弹性矩阵 单元刚度矩阵 位移-应变矩阵 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 土木工程学院 有限单元法 2子框图1（SDATA）输入其他数据并 计算半带宽 输入5个控制参数(结点数、单元数、支承数 、荷载数、类型)后，程序运行中所需的其他 原始数据均放在该子程序中输入。其框图如 下： 18 土木工程学院 有限单元法 19 土木工程学院 有限单元法 20 土木工程学院 有限单元

13、法 半带宽的计算： 如图所示结构，9个单元10个结点。将单刚 按结点分块，采用直接刚度法以子块对号入 座的方式可形成图示总刚。 21 土木工程学院 有限单元法 图中整体刚度矩阵K的非零元素分布在以主 对角线为中心的斜带形区域内(图中用粗线标 明),这种矩阵称作带形矩阵。在半个斜带形 区域中(包括主对角线元素在内)，每行具有 的元素个数称为半带宽，用d表示。由图中 看出，在半带中，每行有五个子块，即十个 元素，因此半带宽d=10。半带宽d的一般公 式是： 半带宽d=(相邻结点码的最大差值+1)结点 位移未知量数 三角形单元： 半带宽d=(相邻结点码的最大差值+1)2 图中相邻结点码的最大差值是4

14、,故 d=(4+1)2=10 22 土木工程学院 有限单元法 根据带形矩阵的特点，并利用矩阵的对称性 ，则在计算机中可只存贮上半带的元素。这 种存贮方式称为半带存贮。 如下面左图总刚，半带存贮时，只从K中取 出上半部斜带中的元素，存贮在右图的矩阵 K*的竖带中，矩阵K *为n行d列，只有nd 个元素。因此，实际存贮量与K中元素总数 之比为d/n。由此可见，d值愈小，则存贮量 愈省。 由K改成K*时，元素的行码不变，新的列 码改为： 新列码=原列码-行码+1 （存上三角） 新列码=? （存下三角）？ 23 土木工程学院 有限单元法 24 土木工程学院 有限单元法 3子框图2（STE） 计算单元刚

15、度矩阵KE 两个矩阵 相乘 25 土木工程学院 有限单元法 须调用子程序3，4，5，输出参数KE 26 土木工程学院 有限单元法 4子框图3（AE） 计算单元面积AE 对应子程序ATE，被子框图2，7，10调用 27 土木工程学院 有限单元法 5子框图4（DTE） 计算弹性参数矩阵D 28 土木工程学院 有限单元法 6子框图5（BTE） 计算几何矩阵B 29 土木工程学院 有限单元法 30 土木工程学院 有限单元法 7子框图6（STIFF） 形成总刚度矩阵KS 节点循环 自由度 循环 31 土木工程学院 有限单元法 单元列码 整体列码 半带列码 32 土木工程学院 有限单元法 (1) 结点局部

16、码与总码的对应关系（结点换码 ） 图示为单元3个结点的两种编码，某个结 点的局部码如果是i(1),则它在总刚中的对应 总码是LND(IE,1)。 33 土木工程学院 有限单元法 （2）同一子块在单刚KE和总刚KS的对应 位置（子块搬家） (a)矩阵KE 34 土木工程学院 有限单元法 （3）同一元素在KE、总刚KS和带状总刚 KS*中的对应位置（元素搬家） 形成总刚中某个元素的搬家问题： 设该元素属于单刚矩阵KE中的I行J列子块,该 元素在这个子块中的位置是II行JJ列。则此元素 在单元刚度矩阵KE的位置应为： 单元行码：IH=2*(I-1)+II 单元列码: L =2*(J-1)+JJ I行J列子块 KE 35 土木工程学院 有限单元法 此元素在整体刚度矩阵KS中的位置为： 整体行码: ID=2*(LND(IE,I)-1)+II 整体列码: IL=2*(LND(IE,J)-1)+JJ 36 土木工程学院 有限单元法 此元素在半