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1、数学分析（1，2，3）教案第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明1. 关于实数的基本定理前面我们粗略地了解了实数集的确界原理和数列的单调有界定理，给出了数列的柯西收敛准则.这三个命题以不同方式反映了实数集R的一种特性，通常称为实数的完备性、实数的连续性或实数的稠密性。有关实数集完备性的基本定理，除上述三个外，还有区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理，在本节中将阐述这三个基本定理。共有六个基本定理：1实数戴德德公理 确界原理2数列的单调有界定理3区间套定理4聚点定理致密性定理5数列柯西收敛准则6有限覆盖定理一 子列定义 设为数列，为正整数集的无限子集，且则数列称为数列的一个子列,简
2、记为.注1 保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列。注2 由定义可见，的子列的各项都选自，且保持这些项在中的先后次序中的第项是中的第项，故总有实际上本身也是正整数列的子列 例如，子列由数列的所有偶数项所组成，而子列则由的所有奇数项所组成又本身也是的一个子列，此时，注3 数列本身以及去掉有限项后得到的子列，称为的平凡子列；数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限不是平凡子列的子列，称为的非平凡子列例如和都是的非平凡子列 注4 子列的下标不是表示在子列的第k项。所以子列收敛的定义是针对k的。 定理 数列收敛的充要条件是：的任何非平凡子列都收敛 证 必要性 设，是的任
3、一子列任给，存在正数，使得当时有由于，故当时更有，从而也有，这就证明了收敛(且与有相同的极限) 充分性 考虑的非平凡子列，与按假设，它们都收敛由于既是，又是的子列，故由刚才证明的必要性， （9）又既是又是的子列，同样可得 （10）(9)式与(10)式给出所以收敛 若数列的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与必收敛于同一个极限于是，若数列有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列一定发散例如数列，其偶数项组成的子列收敛于1，而奇数项组成的子列收敛于1，从而发散.再如数列，它的奇数项组成的子列即为，由于这个子列发散，故数列发散.由此可见，定理是判断数列发散的有力工具例：证明 不收敛。推
4、论：若对任何：都有收敛，那么在的极限存在。证明：若存在着两个不同的极限，选两个不同的子列，共同组成一个数列，则此列不收敛，与前提矛盾。注意与归结原则的区别。二 上确界和下确界1 区间与邻域设、 R，且我们称数集引为开区间，记作()；数集称为闭区间，记作；数集和都称为半开半闭区间，分别记作)和(以上这几类区间统称为有限区间 无限区间:) ,都称为无限区间 有限区间和无限区间统称为区间设，集合称为点的邻域，记作，或简单地写作.点的空心邻域定义为或简单地记作 ，注意的差别在于: 不包含点 此外，我们还常用到以下几种邻域： 点的右邻域，简记为 点的左邻域，简记为去除点后，分别为点的空心左、右领域，简记
5、为) 邻域，其中M为充分大的正数(下同)； 邻域，领域 2 有界集.确界原理 定义 设为R中的一个数集若存在数M(L)，使得对一切，都有M(L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)若数集既有上界又有下界，则称为有界集若不是有界集，则称为无界集 例 证明数集为正整数有下界而无上界 证 显然，任何一个不大于1的实数都是的下界，故为有下界的数集 为证N+无上界，按照定义只须证明：对于无论多么大的数M，总存在某个正整数，使得事实上，对任何正数(无论多么大)，取，则，且这就证明了无上界 同样可以证明：任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集
6、定义 设是R中的一个数集若数满足： （i）对一切，有，即是的上界； （ii）对任何存在，使得即又是的最小上界则称数为数集的上确界，记作 定义 设是R中的一个数集若数满足： （i）对一切，有，即是的下界 （ii）对任何，存在，使得即又是的最大下界，则称数为数集的下确界，记作 上确界与下确界统称为确界 例 设为区间中的有理数.试按上、下确界的定义验证： 解 先验证 （i）对一切，显然有即是的上界 ii对任何，若，则任取都有；若，则由有理数集在实数集中的稠密性，在中必有有理数即存在，使得类似地可验证 定理2 由上(下)确界的定义可见，若数集存在上(下)确界，则一定是唯一的又若数集存在上、下确界，则有
7、 注2 数集S的确界可能属于，也可能不属于 例 设数集有上确界证明: 证 设，则对一切有，而，故是数集中最大的数，即， ，则；下面验证 （i）对一切，有，即可是的上界；（ii）对任何，只须取，则从而满足的定义 可达与不可达 定理3(确界原理) 设为非空数集若有上界，则S必有上确界；若有下界，则必有下确界 证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明 为叙述的方便起见，不妨设含有非负数由于有上界，故可找到非负整数，使得 对于任何有; 存在,使. 对半开区间作等分,分点为,则存在中的一个数,使得 对于任何有； 存在，使 再对半开区间作等分，则存在中的一个数使得 对于任何有存在，使 继续不断
8、地等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在中的个数，使得 对于任何有 存在，使 将上述步骤无限地进行下去，得到实数以下证明为此只需证明： （i）对一切有；（ii）对任何，存在使 倘若结论（i）不成立，即存在使，则可找到的位不足近似，使，从而得，但这与不等式相矛盾于是（i）得证 现设，则存在使的位不足近似，即，根据数的构造，存在使，从而有，即得到，这说明（ii）成立 例 设为非空数集，满足：对一切和有证明：数集有上确界，数集下确界，且 证 由假设，数集中任一数都是数集的上界，中任一数都是的下界，故由确界原理推知数集有上确界，数集有下确界 现证不等式对任何，是数集的一个上界，而由上确界的定
9、义知，是数集的最小上界，故有而此式又表明数是数集的一个下界，故由下确界定义证得 例 设为非空有界数集，证明： （i）； （ii）.证 由于显然也是非空有界数集，因此的上、下确界都存在（i）对任何，有或或，从而有，故得. 另一方面，对任何，有；同理又有所以 综上，即证得 (ii)可类似地证明 推论：若把和补充到实数集中，并规定任一实数与、的大小关系为：，,则确界概念可扩充为：若数集无上界，则定义为的非正常上确界，记作；若无下界，则定义为的非正常下确界，记作相应地，前面定义和定义中所定义的确界分别称为正常上、下确界推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的).定理4 单调有界数列
10、必收敛. 证明 不妨设为有上界的递增数列由确界原理，数列有上确界，记下面证明就是的极限事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中某一项，使得又由的递增性，当时有另一方面，由于是的一个上界，故对一切都有所以当时有，即同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界三 区间套定理区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 对, 有 ; .则称该闭区间序列为闭区间套，简称区间套。 这里性质（）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式： （1）注：区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.例：和都是区间套.但不是.定理5（区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中
11、存在唯一的一点，使得，即 ， （2） 证 由（1）式，为递增有界数列，依单调有界定理，有极限，且有 （3）同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（）有 ， （4）且 （5）联合（3）、（5）即得（2）式。 最后证明满足（2）的是唯一的。设数也满足 则由（2）式有 由区间套的条件（）得 ，故有 由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质： 推论 若是区间套所确定的点，则对任给的0，存在N0，使得当N时有 注 区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于开区间列，如，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且，但不存在属于所有开区间的公共点.四 致密性定理 定义2 设S为数轴上的点集，为定点(它可以属于S，也可以不属S)的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点 例如，点集有两个聚点和；点集只有一个聚点；又若S为开区间，则内每一点以及端点、都是S的聚点；而正整数集没有聚点，任何有限数集也没有聚点 聚点概念的另两个等价定义如下： 定义2 对于点集S，若点的任何邻域内都含有S中异于的点，即，则称为S的一个聚点 定义2” 若存在各
