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1、行置换算子集: 杨盘T的所有的行置换算子组成的集合.,第五章 对称群,列置换算子集: 杨盘T的所有的列置换算子组成的集合.,杨算子:,引理1: 设T和T是两个杨盘, 由置换r相联系, 即T=rT. 置换s作用于杨盘T上将T中任一位置(i,j)处的数字变 到sT中的(k,l)处, 则s=rsr1作用在T上将T中位于(i,j) 处的数字变到sT中的(k,l)位置.,推论: 设T和T是由置换r相联系的两个杨盘, 即T=rT, 则有下列关系成立,引理2: 设T是杨盘, p和q分别是T的任意行置换和列 置换, T 与 T 通过置换 pq 相联系, 即T=pqT. 则T中位于同一行的任意两个数字不可能出现
2、 在 T 的同一列. 设两个杨盘由置换 r 相联系,即T=rT. 如果 T 中 任意两个位于同一行的数字不出现在即T 的同 一列, 则置换 r 必可表示为 r = pq.,引理3: 设 T 和 T 是属于不同杨图 和 的两 个杨盘, , 则总能找到两个数字同时出现在 T 的同一行和 T 的同一列.,引理4: 如果存在两个数字同时位于杨盘T的同一行 和杨盘 T 的同一列, 则这两个杨盘的杨算子满足,推论: 属于不同杨图的两个杨盘 T 和 T , 必有,引理5: 设,是置换群 Sn 的群代数中的一个向量. 如果对于杨盘 T 的任意 行置换 p 和列置换 q, 满足 则 x 与杨算子 E(T) 差一
3、个常数因子, 即,引理6: 对应于杨盘 T 的杨算子 E(T) 是一个本质的本原幂等元. 相应的不变子空间 RG 是对称群 Sn 的一个不可约表示空间, 其维数是 n! 的因子.,引理7: 同一杨图的不同杨盘对应的表示是等价的. 不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的.,5.2 对称群的不可约表示,定理: 杨算子E(T)是本质幂等元, 相应的不变子空间 RG E(T) 是对称群Sn 的一个不可约表示空间, 给 出Sn 的一个不可约表示; 由同一杨图的不同杨盘 给出的表示是等价的, 而不同杨图的杨盘给出的 表示是不等价的.,标准杨盘: 在杨图上, 每一行数字按从左向右增大, 每一列数字按从上到下增大
4、的顺序来填充, 得到的杨盘称为标准杨盘. 记作,定理: 杨图对应的不可约表示的维数等于该杨图的标准杨盘的个数 f .,杨图的标准盘个数的计算公式:gij为杨图上位置(i,j)处的钩长.,半正则表示:,标准盘系列: 从 Sn 的一个标准杨盘Tr出发, 作标准盘系列:,相应杨算子为,相应本原幂等元为,半正规单位(半正则母单位): 定义算子,为本原幂等元, 且满足,半正规单位(半正则母单位)定义: 设属于同一杨图的标准盘 和 由置换 相联系, 即 定义算子 . 为杨算子.,构造 Sn 群代数 RG 的一组基,其中,上述这组基矢称为 Sn 群代数的半正规单位, 满足,1) 半正规单位共有n!个, 在群
5、代数空间是完备的. 2) 每一个杨图对应与对称群 Sn 的一个不等价不可约表示.3) Sn 群元s作用在半正规基矢上给出表示矩阵. 4) 在半正规基矢下, 表示约化为5) Sn 任意群元可写为相邻数字对换的乘积.,求表示矩阵元V(s)的规则, 其中s=(k 1,k) :,1) 当数字k 1和k在Tr的同一行时,对角元,2) 当数字k 1和k在Tr的同一列时,对角元,当数字k 1和k不在Tr的同一行和同一列时, 设 Tu = s Tr, 则,其中为Tr中数字k 1到k 的轴距离的倒数.,4) 其它情况矩阵元为零.,酉表示:,定义对称群代数 RG 的新基矢,其中,是由杨图和r决定的数, 称为盘函数
6、.,如果盘函数取为,C是标准盘Tr中数字n与第行最后一个数字的轴距离的倒数, n是数字n所在行数. 上述基矢给出对称群的酉表示.,李代数: 设g是数域K上的线性空间, 对于任意X,Yg, 定义李积X,Yg, 如果李积满足下述条件: 1) 双线性. 即对任意a,bK, X,Y,Zg, 有,2) 反对称. 即对任意X,Yg,有,3) 雅可比关系,则称代数g为李代数.,以李群的无限小生成元为基矢张开的线性空间g=X=aiXi|aiR中,若定义李积为对易关系X,Y=XY-YX, 则构成一个李代数.,第六章 李代数基础,6.1 基本概念, 子代数: 设g1是李代数g的一个子集, 如果对任意X,Yg1,
7、李积运算都满足,则g1称为李代数g的一个子代数.,群的乘法: 两个置换的乘积rs为先进行s置换,再进行r置换., 理想子代数: 设g1是李代数g的一个子集, 如果对任意Xg1, Yg, 都有,则g1在李积运算下是不变的, 称为李代数g的一个理想子代数, 或简称理想., 中心: 李代数g中所有与李代数对易的元素组成的集合, 称为李代数g的极大可交换理想, 或简称为李代数g的中心, 即, 直和: 李代数g的两个理想g1和g2如果满足条件,则称李代数g是理想g1和g2的直和. 记为g=g1g2., 半直和: 李代数g的两个子代数g1和g2如果满足,则称李代数g是g1和g2的半直和. 记为g=g1Sg
8、2., 同构: 设g1和g2是两个李代数, 如果存在一个从g1到g2的一一对应的满映射P, 且对任意a,bK和X,Yg 满足,则称李代数g1和g2同态., 同态: 设g1和g2是两个李代数, 如果存在一个从g1到g2的满映射P, 且对任意a,bK和X,Yg 满足,则称李代数g1和g2同构., 单纯李代数: 如果李代数g不具有非平庸理想, 则称g为单纯李代数, 或单李代数., 半单李代数: 如果李代数g不具有非平庸可交换理想, 则称g为半单李代数., 半单李代数的判据:,判据1 李代数g是半单李代数的充要条件为: g可以写作其理想的直和, 即,且gi均为单李代数.,李代数的内导子: 李代数g上的
9、内导子是李代数g上的线性变换, 设Xg, 则内导子ad(X)定义为,半单李代数的嘉当判据: 李代数g为半单李代数的充要条件是:,李代数的基林型(基林度规张量): 定义为下述对称张量,其中,是李代数g关于基矢 X1, X2, , Xn 的结构常数, 即,即基林度规张量不退化, 存在逆张量,李代数的卡塞米尔算子:,半单李代数g的卡塞米尔算子C与g的所有元素可对易.,推广的卡塞米尔算子:,李代数的内导子与基林度规张量的关系:,李代数的导出代数-子代数链:,1. a)李代数g的导出链,b)可解李代数: 如果存在一个正整数 k , 使得,则g称为可解李代数.,c) 可解李代数的每一个子代数都是可解李代数
10、.d) 可解李代数不含任何单纯李代数.,b)幂零李代数: 如果存在一个正整数 k , 使得,则g称为幂零李代数.,2. a)李代数g的降中心链,c) 幂零李代数的每一个子代数都是幂零李代数.幂零李代数不含任何单纯李代数.幂零李代数必为可解李代数,定理:任意一个李代数g都可以表示为一个可解李代数与一个半单李代数的直和.,例: so(3)李代数,b)卡塞米尔算子,a) 基林度规张量,6.2 复半单李代数的正则形式, 李代数基底 (线性变换)- 另一组基底,1. 李代数上的本征值问题,李代数 g 是 r 维复李代数, X 是 g 的一组基底, 满足,因 X 是李代数 g 的一组基底, 是 g 上一组
11、线性无关的向量,是关于 x 的本征方程, 有非平凡解条件为,在复数域上有 r 个非平凡解, 每个解称为李代数的一个根.,2. 李代数的嘉当子代数,如果 (1) 选择 A , 使 A 的不同根的数目最大; (2) 李代数 g 是半单李代数. 则 (a) 只有 =0 的根是简并的, 而其余的非零根都是单的; (b) 半单李代数的秩 : 零根 =0 的简并度 l 称为 g 的秩; (c) 嘉当子代数: 对零根 =0 , 有 l 个线性无关的本征向量与之对应, 记为 Hi (其中 i = 1,2, l ), 则,l 向量 Hi 张开 r 维李代数 g 的一个 l 维子代数, 称为嘉当子代数,(d) 其
12、余的 ( r l ) 个非零根对应的本征向量 E 满足 A, E = E, 张开 一个(r l ) 维子空间, 称为嘉当子代数的补空间.,3. 李代数的根的性质,(1) 设 Hi 是半单李代数 g 的嘉当子代数的基, 满足 Hi , Hj =0; E 是 A = i Hi 的非零本征值 ( g的 非零根对应的本征矢, 满足 A, E = E, 则,i 可看作 l 向量空间中向量 的协变分量. 根 则表示 l 向量空间中分量为i 的向量, 称为根向量.,对李代数的根进行分类,证明:, Hi , E 是A的属于同一本征值的本征向量, 是非简并的,(2) 如果 E 和 E是g的两个非零根, 则,证明
13、:,半单李代数非零根是单根,(3) 根的对称性质 定理: 对于半单李代数的每一个非零根 , 必有一个根 存在.,证明: 考虑基林度规张量,根据根的性质(1)和(2), 有,所以, 如果 不是根, 则基林度规张量的本征值 对应的行中所有元素为零, 故 det ( g ) = 0 . 与半单李代数前提相矛盾.,(1)规定 E的归一化因子, 使,(2) gik 看作向量 张开的 l 维空间的度规张量, 且有,(3) 全反对称张量,4. 嘉当-韦尔基,则基林度规张量为,i 为 的逆变分量.,(4) 半单李代数 g 的嘉当-韦尔基底(正则形式),正则形式下对易关系(结构常数),卡塞米尔算子:,(1) 如
14、果 和 是半单李代数的非零根, 则,(2) 如果 是半单李代数的根, 则 的整数倍m 中,只有 , 0 , 才是根.,5. 关于根的几个定理,且存在一个 的根链,或,(3) 如果 和 是半单李代数的非零根, 则,6. N 的确定,设半单李代数的根链为,则,7. 根向量的图形表示,(1) 半单李代数根向量的性质,如果 是根向量, 则 也是根向量;如果 和 是根向量(非零根), 则,c) 如果 和 是根向量(非零根), 则,d) 定义两个根向量 和 之间的夹角和长度比分别为,取 为长度较长根向量; 考虑到 和 均为根向量, 只需取锐角. 可得下述几种情况,秩 l 2的单李代数: 典型李代数的根系 l 维根空间中, 引进 l 个相互正交的单位向量,根向量的图形表示,1秩单李代数: 李代数 A1 , l =1.,(2) 2秩半单李代数:,(4) 例外李代数及其根系,8. 素根和邓金图,对于给定的半单李代数, 有关其根向量的信息, 可以从所有根向量集合的一个子集合得到.,正根: 在某个任意选定的基底下, 如果根 + 的第一个 不为零的坐标是正的, 则称+ 为正根. 通常, 组成根图 的一半非零根是正根. 所有正根和的一半记为,
