逻辑学第六讲：命题逻辑的自然演绎系统三四节

第三节：条件证明规则 第四节：间接证明规则 规则概述 规则应用 第六讲：命题逻辑的自然演绎系统概论 第三节：条件证明规则 （一）条件证明规则概述 § AB /AAB § 该推论的有效性可以用真值表方法予以验证 § 我们引如一条新的推演规则，即条件证明规则（PA-CP）： § 如果从前提PR和假设P推出Q，那么，仅从前提PR可以推得 PQ § PR 前提 § P 假设 §   § Q 由PR或P推得的命题 § PQ 结论 假设域 § （1）AB PR § （2）A PA-CP § （3）A （2），DN § （4）B （1）、（3）， § （5）AB （2）、（4） § （6）AAB （2）—（5），CP § 条件证明规则与其它规则相比，它的最大特点在于，先引入 假设然后撤出假设。

§ 显然，条件证明规则实际上就是对移出律的运用 § 在证明过程中，无论增加多少前提，都必须撤出，而撤出的 目的在于保证结论仅由前提得出的 § 由条件证明所得的结论一定是蕴涵式，可见，条件证明规则 最适合那些结论为蕴涵式的推论 （二）条件证明规则的应用 § 例1： § PQ § RP /QR （证明略 ） § 例2： § P（QS） § RP § Q /RS （证明如下） § 证明： § （1）P（QS） PR § （2）RP PR § （3） Q PR § （4）R PA-CP § （5）R （4），DN § （6）P （2）、（5）， § （7）QS （1）、（6），MP § （8）S （3）、（7），MP § （9）RS （4）—（8），CP § 证毕 § 证明过程中局部使用条件证明规则。

§ 需要注意的是，假设一旦被撤出，假设域内的任何一行都不 能再被使用，否则，就不能保证结论独立于假设 § 例3： § 如果外出忘记锁门则家里被盗，那么社会秩序不好；或者家 里被盗或者安心工作；然而，如果外出忘记锁门，那么不安 心工作；所以，社会秩序不好 § P：外出忘记锁门 § Q：家里被盗 § R：社会秩序好 § S：安心工作 （PQ）R QS PS /R § 证明： § （1）（PQ）R PR § （2）QS PR § （3） PS PR § （4）P PA-CP § （5）S （3）、（4），MP § （6）Q （2）、（5）， § （7）PQ （4）—（6），CP § （8）R （1）、（7），MP § 证毕 § 有的推论的证明只需一次使用条件证明规则，但是有的却需 要多次使用条件证明规则。

§ 例4： § P（QR） § R § Q（PS） /PQ § 例5： § ABC § CDE /A（DEC） §（例4，结论： PQ ） §证明： §（1）P（QR） PR §（2）R PR §（3）Q（PS） PR §（4）P PA-CP §（5）QR （1）、（4），MP §（6）Q （2）、（5），MT §（7）PQ （4）—（6），CP §（8）Q PA-CP §（9）PS （3）、（8）， §（10）P （9）， §（11）QP （8）—（10），CP §（12）（PQ）（QP） （7）、（11）， §（13）PQ （12），Ep §证毕 §例5，结论： A（DEC） §证明： §（1）ABC PR §（2）CDE PR §（3）A PA-CP §（4）D PA-CP §（5）AB （3）， §（6）C （1）、（5），MP §（7）CD （4）、（6）， §（8）E （2）、（7），MP §（9）EC （6）、（8）， §（10）DEC （4）—（9），CP §（11）A（DEC） （3）—（10），CP §证毕 条件证明规则小结： § 一般来说，使用条件证明规则的推论具有如下形式： P1（P2（（Pn  Q））） § 那么，我们可以把P1，P2 ， Pn这n个前件依次作为假设 ；由这些假设和前提PR推出Q后，再按相反的次序依次撤除 它们。

§ PR 前提 § P1 条件假设 § P2 条件假设 §   § Pn 条件假设 §   § Q 由前提或假设推出 § PnQ 条件证明 §   § P2（（PnQ）） 条件证明 § P1（P2（（PnQ）））结论 第四节：间接证明规则 （一）间接证明规则概述 § 间接证明又叫做归谬证明或反证法（PA-RAA） § 当我们要证明某一定理时，先引入该定理的否定为假设，然 后由这一假设推出矛盾由于矛盾是不可能的，所以假设一 定错误，即该定理的否定不成立，由此就间接证明了该定理 成立。

§ 间接证明规则可以表达为如下模式： PR 前提 P 假设  AA 由前提或假设推出的逻辑矛盾 P 结论 § 所谓的逻辑矛盾，主要有以下这些： § 1，推出的结果与已知条件矛盾 § 2，推出的结果与已知定义矛盾 § 3，推出的结果与已知公理矛盾 § 4，推出的结果与已知定理矛盾 § 5，推出的结果与所做假设矛盾 § 6，推出两个互相矛盾的结果 § 一般来说，如下类型的待证命题更适合采用间接证明规则： § 1，某些初始命题 § 2，否定性命题 § 3，以简单命题为结论的命题 § 4，结论与前提没有关系，结论是重言式的命题 （二）间接证明规则应用 例1 （证明略） PQR （RS） PT /TS 例2 （证明略） P（QR） RP /QR 例3： PQ（DP） （QR）P /（P（DR）） 例4： PQR S （PTR ）（ IRS） /（ IT） §证明： §（1）PQ（DP） PR §（2）（QR）P PR §（3）P（DR） PA-RAA §（4）P （3）， §（5）P （4），DN §（6）（QR） （2）、（5），MT §（7）QR （6），Impl、DeM §（8）Q （7）， §（9）PQ （4）、（8）， §（10）DP （1）、（9），MP §（11）R （7）， §（12）DR （3）， §（13）D （11）、（12）， §（14）P （10）、（13），MP §（15）PP （4）、（14），  §（16） （P（DR）） （3）—（15），RAA §证毕 §证明： §（1）PQR PR §（2）S PR §（3） （PTR ）（IRS） PR §（4） （IT） PA-RAA §（5） IT （4），DN §（6）P PA-CP §（7）PQ （6）， §（8）R （1）、（7），MP §（9）T （5）， §（10）TR （8）、（9）， §（11） PTR 。