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1、第四章第四章 二次曲面的一般理论二次曲面的一般理论 4.1 4.1 空间直角坐标变换空间直角坐标变换 一、一些常见的记号 表示的曲面叫二次曲面 在空间中,由三元二次方程 为了以后讨论的方便，我们引进一些记号： 利用矩阵法可以写成 二、直角坐标变换 从而有： 两个式子 都称为点的 直角坐标变换公式 六个关系式为正交的条件，则T也是正交矩阵 三、移轴变换 四、转轴变换 解：将原方程变形为 则在新坐标系中，曲面方程变为： 表示一个双曲抛物面 原方程可化为： 解：把所给方程改写为： 做 平 移 变 换： 代入上式得： 也知曲面是二次锥面 4.2 4.2 利用转轴化简二次曲面方程利用转轴化简二次曲面方程
2、 利用矩阵法可以写成 一、在转轴变换下二次曲面方程的系数变化情况一、在转轴变换下二次曲面方程的系数变化情况 二、二次曲面的特征方程、特征根、主方向二、二次曲面的特征方程、特征根、主方向 上述矩阵中只有对角线的项不为零，其他项均为零 将上述三式统一成矩阵形式为： 定义： 它的根称为二次曲面的特征根 命题1：二次曲面的三个特征根都是实数 命题2：二次曲面的三个特征根不全为零 命题3：二次曲面的两个相异的特征根对应的 主方向一定垂直 定理1：对于任意的二次曲面，至少存在三个 两两互相垂直的主方向 4.2.3 4.2.3 利用转轴消去二次曲面方程中的交叉项利用转轴消去二次曲面方程中的交叉项 对于任意的
3、二次曲面的方程，通过空间直角坐标变换 总可以把方程化为简单的形式，即标准方程， 二次曲面共可以分为十七类，标准方程分别是： 4.3 4.3 二次曲面的分类二次曲面的分类 从而可以化成十七中标准方程之一 化简主要分为下面三种情况： 就可以得到（一）中形式 就可以得到（二）中形式 就可以得到（三）中形式 4.4 4.4 二次曲面的不变量二次曲面的不变量 由方程表示的二次曲面经直角坐标变换后，曲由方程表示的二次曲面经直角坐标变换后，曲 面方程这一表现形式虽然发生了变化，但决定曲面面方程这一表现形式虽然发生了变化，但决定曲面 几何特征的内在性质并未改变，而后者是用不变量几何特征的内在性质并未改变，而后
4、者是用不变量 来刻画的，这种不变量用二次曲面方程的系数来表来刻画的，这种不变量用二次曲面方程的系数来表 达，并且不因直角坐标变换而发生变化，也叫正交达，并且不因直角坐标变换而发生变化，也叫正交 不变量不变量 5.4.1 5.4.1 不变量与半不变量不变量与半不变量 5.4.2 5.4.2 应用不变量化简二次曲面方程应用不变量化简二次曲面方程 4.5 4.5 二次曲面的中心与渐近方向二次曲面的中心与渐近方向 一、一、 二次曲面与直线的相关位置二次曲面与直线的相关位置 将参数方程代入曲面方程得：将参数方程代入曲面方程得： 当当00时，方程有两个不等实根，故时，方程有两个不等实根，故l l与与S S
5、有两个不有两个不 同实交点同实交点 当当=0=0时，方程有两个相等实根，故时，方程有两个相等实根，故l l与与S S有两个相有两个相 重实交点重实交点 当当00时，方程有一对共轭虚根，故时，方程有一对共轭虚根，故l l与与S S有一对共有一对共 轭虚交点轭虚交点 二、渐近方向二、渐近方向 定义定义1 1：满足：满足(X,Y,Z)=0(X,Y,Z)=0的方向的方向X:Y:ZX:Y:Z叫做二次曲叫做二次曲 面面S S的的渐近渐近方向，否则叫做方向，否则叫做S S的非的非渐近渐近方向方向 三、二次曲面的中心三、二次曲面的中心 线心曲面，面心曲面和无心曲面都称为非中心二次曲面 定义3：通过中心二次曲面
6、的中心并具有渐近渐近方向的 直线称为渐近渐近线，以二次曲面的中心为顶点的渐近 渐近方 向锥面叫做二次曲面的渐近渐近锥面 4.6 4.6 二次曲面的径面二次曲面的径面 命题1：二次曲面的一族平行弦的中点所成的轨迹在一个平面上 定义1：二次曲面沿非渐近渐近方向X：Y：Z的所有平行弦中点所在 平面叫做二次曲面共扼于方向X：Y：Z的径面 推论1：中心二次曲面的任何径面必须通过它的中心；线心 二次曲面的任何径面通过它的中心直线；面心二次曲面的 径面与它的中心平面重合 定义3：如果二次曲面的径面垂直于它所共扼的方向，那么 这个径面就叫做二次曲面的主径面。 命题4：二次曲面至少有一个主径面。 4.7 4.7
7、 二次曲面的切线和切平面二次曲面的切线和切平面 4.8 4.8 平面二次曲线简介平面二次曲线简介 4.8.1、二次曲线方程的化简和分类 定理4.8.1、平面上的二次曲线方程经过平面直角 坐标变换可以化为下面的三个简化方程之一 二次曲线的九种标准形式为 4.8.2、二次曲线与直线的相关位置 4.8.3、二次曲线的中心、主方向与主直径 无心曲线和线心曲线统称非中心二次曲线 定义4.8.3、通过中心曲线的中心并具有渐近方向的直线称为渐近线 定义4.8.5、如果二次曲线的直径垂直于它所共扼的方向， 那么这条直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向 以及垂直于主直径的方向都叫二次曲线的主方向 命题4.8.3、 （1）二次曲线的两个特征根都是实数，而且 至少一个不为零 （2）二次曲线的两个不同的特征根对应的主方向相互垂直 （3）非零特征根对应非渐近主方向，零特征根对应的渐近 主方向 命题4.8.4、中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线 只有一条主直径 4.8.4、二次曲线的不变量 命题4.8.5、一般二次曲面被一组平行平面所截，得到的诸截线 是属于同一类型的二次曲线 是位于平面z=k上的二次曲线
