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1、3.2平面向量基本定理内容要求1.理解平面向量基本定理及其意义(重点).2.体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题(难点)知识点1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底【预习评价】(1)0能不能作为基底？提示由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底(2)平面向量的基底唯一吗？提示不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底题型一对向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，
2、那么下列说法中不正确的是_e1e2(、R)可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个；若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)；若存在实数，使得e1e20，则0.解析由平面向量基本定理可知，是正确的对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的对于，当两向量的系数均为零，即12120时，这样的有无数个答案规律方法考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来【训
3、练1】设e1，e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1e2_a_b.解析由题意，设e1e2manb.因为ae12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以答案【例2】设D为ABC所在平面内一点，3，则()A. B.C. D.解析由题得.故选A.答案A【迁移1】在例题中将“3”改为“”试用、表示.解2.【迁移2】在例题中将“3”改为“3”试用，表示向量.解由题.规律方法应用平面向量基本定理时的关注点(1)充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角
4、形中确定向量的关系(2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等分点等(3)一个重要结论：设a、b是同一平面内的两个不共线的向量，若x1ay1bx2ay2b，则有题型三平面向量基本定理的应用【例3】如图，ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设a，c.(1)用a，c表示向量；(2)若点F在AC上，且ac，求AFCF.解(1)ca，(ca)，()a(ca)ca.(2)设，a(ca)(1)ac.又ac，AFCF41.【训练2】设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若
5、4e13e2ab，求，的值(1)证明设ab(R)，则e12e2(e13e2)由e1，e2不共线得即不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底(2)解设cmanb(m、nR)，则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.即c2ab.(3)由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.即故所求、的值分别为3和1.课堂达标1设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()Ae1e2和e1e2B3e14e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2De1和e1e2解析B中，6e18e22(3e14e2)，(6e
6、18e2)(3e14e2)，3e14e2和6e18e2不能作为基底答案B2.如图，已知a，b，3，用a，b表示，则等于()Aab B.abC.ab D.ab解析()ab.答案B3如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中、R，则_.解析设a，b，则ab，ab，又ab，()，即，.答案4已知G为ABC的重心，设a，b.则用a、b表示向量_.解析如图，连接AG并延长，交BC于点D，则D为BC的中点，()()ab.答案ab5设M、N、P是ABC三边上的点，它们使，若a，b，试用a，b将、表示出来解如图，()ba.同理可得ab.()ab.课堂小结1对基底的理解(1)基底的特
7、征基底具备两个主要特征：一组基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故基底中的向量不是零向量2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.基础过关1设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：与；与；与；与，其中可作为表示这个平行四边形所在
8、平面内所有向量的基底的是()ABCD解析由基底的定义知，中两向量不共线，可以作为基底答案B2如图所示，在矩形ABCD中，5e1，3e2，则等于()A.(5e13e2) B.(5e13e2)C.(3e25e1) D.(5e23e1)解析()(5e13e2)答案A3在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A长方形B平行四边形C菱形D梯形解析8a2b2 ，故为梯形答案D4已知10，20，e1，e2是一组基底，且a1e12e2，则a与e1_，a与e2_(填共线或不共线)解析若a与e1共线，则存在实数使ae11e12e2，则e1与e2共线，这与e1，e2不共线矛盾答案不
9、共线不共线5已知e1、e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使a、b能作为平面内的一组基底，则实数的取值范围为_解析若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线ae12e2，b2e1e2，由akb得4.答案(，4)(4，)6.如图，已知ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若a，b，用a、b表示、.解a(ba)ab；a(ba)ab；a(ba)ab.7设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)已知c3e14e2，以a，b为基底，表示向量c.(2)若4e13e2ab，求，的值解(1)设cab，则3e14e2(e12e2)(e13e2)()e1(32)e2，所以
10、解得所以ca2b.(4)4e13e2ab(e12e2)(e13e2)()e1(32)e2，所以解得3，1.能力提升8设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，则实数y的值为()A3B4CD解析因为3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，所以(3x4y7)e1(10y2x)e20，又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，所以解得故选B.答案B9若D点在三角形ABC的边BC上，且4rs，则3rs的值为()A. B. C. D.解析4rs，()rs，r，s.3rs.答案C10在ABC所在平面上有一点P，满足4，则PBC与PAB的面积比为_解析4A，所以42，即P在AC边上，且AP2PC，所以PBC与PAB的面积比为12.答案1211设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC，若12(1，2为实数)，则12的值为_解析易知()，所以12.答案12.如图所示，在OAB中，a，b，M，N分别是边OA，OB上的点，且a，b，设与交于点P，以a、b为基底表示.解，设m，n，则mam(1m)amb，n(1n)bna.a与b不共线，n，m，ab.13(选做题)如图，在ABC中，AD为三角形BC边上的中线且AE2EC，BE交AD于G，求及的值解设，.，即，()又()，.又，即()，(1)，.又，.，不共线，解得4，.
