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1、一、 一阶线性微分方程及其解法 二、 一阶线性微分方程的简单应用 三、 小结及作业 6.2 一阶线性微分方程 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程： 一、一阶线性微分方程及其解法 例1 在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次 的，则称其为一阶线性微分方程。 1. 一阶线性微分方程的定义 （1）、（4）是一阶线性的，其余的是非线性的.解 2. 一阶线性微分方程的一般式 3. 一阶线性微分方程的分类 当 时，方程（1）称为一阶线性齐次微 分方程。 当 时，方程（1）称为一阶线性非齐次 微分方程。 （1）一阶线性齐次微分方程 分离变量法 4. 一阶线性微分方程的解法 1）一般式 2）解法
2、3）通解公式 解 例2 则通解 （2）一阶线性非齐次微分方程 常数变易法 1）一般式 2）解法 3）通解公式 齐次的 通解 非齐次 的特解 为非齐次线性方程的解，则 4）常数变易法 通解 解 例3 则通解为 解 例4 则通解为 原方程变形为其中 因此方程满足初始条件的特解为 二、一阶线性微分方程的应用 1. 分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。 2. 建立微分方程。 3. 确定方程类型,求其通解. 4. 代入初始条件求特解. 应用微分方程解决实际问题的步骤: 例5 解 设所求曲线方程为 从而 即其中 则通解为 因此所求曲线方程为 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落 的速度成正比(比例系数 ，起跳时的速度为0， 求下落的速度与时间 的函数关系。 例6 设速度与时间的函数关系为：解 由牛顿第二定律知： 即其中 则通解为 三、小结 1. 一阶线性齐次微分方程 2. 一阶线性非齐次微分方程 （1）一般式 （2）通解公式 （1）一般式 （2）通解公式
