第八章 导行电磁波(二)

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1、第八章 导行电磁波（二） 圆柱形波导管也是应用较广泛的一种波导管， 它可以用于天线馈线和多路通信中，可以构成微 波谐振腔、旋转式移相器和衰减器，还可以构成 微波管的输出腔，以及其它方面的应用。本节所 讲的圆柱形波导管，是指横截面为圆形的空心金 属波导管（普通圆波导管） 8-3 圆柱形波导 四个场分量 求圆柱形波导内场量分布的方法与矩形波导内 场量分部的方法完全一样，但以采用下图所示， 圆柱坐标较为方便。 如果用两个纵向场分量Ez和Hz来 表示其它场分量。则四个横向 分量表达式（8-22）式表示成 圆柱坐标： 另一方面，由波动方程 按圆柱坐标系把 分成纵向和横向分量： 故可得圆柱导波装置中的电场

2、微分方程： TM波 仍先求Ez分量，得标量波动方程 。由 算子，得： 用分离变量法求解上式，令： 式中的R表示只含变量r的函数， 表示只含变量 的函数。因子 均被省略。 将 代入 式中,可得: 上式可以改写为 : 此式等号左边只含与r有关的项,右边只含与有 关的项.欲使此式对一切的r, 值均成立,等式两 边应分别等于同一常数m2 .即有: 式 的通解为: 式 可写成: 这是贝塞尔方程,它的解为: 式中Jm是m阶第一类柱贝塞尔函数,Nm是m 阶第二类贝 塞尔函数.由于r的变化范围可由0变到圆柱行波导的 半径a,为了使Ez在r=0处不改变为无限大,应取第一类 柱贝塞尔函数,即令C=0,式 此时可写

3、成: 可设 (常数),则: 将先前 所求EZ代到TM波的纵横场关系式得四个 分量.并考虑到 =j=jkz,TM波的Hz=0.可得到圆柱 形波导中TMmn波的场量为: 式中E0为常数-由激励源决定. 同样的方法,可得圆柱形波导中TE波的各场量表达式 为: 式中H0常数-由激励源决定. TE波 三个常用模 1，主模TE11模 TE11模，m=1，n=1则： 最小。 截止频率fc最低： 故c最长，是圆柱波导中的最低次模，也是主模。 2，圆对称TM01模 m=0，n=1则： 具有最低fc，故TM01是圆柱波导的第一个高次模 。 3，低损耗的TE01模 它是圆柱波导的高次模式，与TM11模是简并模， 下

4、图表示圆柱形波导中 的分布： 截止区域 TM02 TE12 TM21 TE01、TM11 TE21 TM01 TE11 广义而言,凡能够限定电磁能量在一定体积内振 荡的结构可构成电磁振荡器. 1,在低频无线电技术中采用LC回路(谐振)产生电磁 振荡.大约在300MHz以下,谐振器是用集总的电容器C 和电感器L做成. LC并联振荡回路 8-4 谐振腔 一般概念 当激励信号频率f与LC回路固有(谐振)频率f0相等 时,即发生并联谐振. 此时磁场能量WL集中在电感线 圈中,电场能量 WC集中在电容器内,并且电场能量最 大时,磁场能量为零;WL最大,WC=0,电能与磁能随时 间不停地相互转换,转换的过

5、程即谐振过程.用来描述 谐振性能的参量有谐振频率(f0唯一),品质因素Q及 R,L,C等. 2,当f增高(高于300MHz)时,即在微波波段,为何不用 LC谐振回路?原因有以下: (1),fL,C元件尺寸-结构加工困 难机械强度 使用困难 不能正常工作 (2), (L,C元件几何尺寸与 可相比似时) -欧姆损耗,介质损耗,辐射损耗 -回路Q-降低了回路的谐振质量. 3,由此可见,在微波范围内,必须研制新型的谐振器(谐 振 回路) 微波谐振器(腔)可以用作振荡器或调谐放大器的振 荡回路,微波滤波器,倍频器频率预选器,回波箱等;另 外,谐振腔还在微波管和加速器中得到了某些应用. 下面以同轴谐振器为

6、例分析谐振腔中电场能和磁 场能的相互转换: 如右图所示的同轴谐振器(腔)电路. 在此谐振器内,电场能量最大时,磁 场能量为零;磁场能量最大时,电场 能量为零,电能与磁能随时间不停地 相互转换,其能量转换关系与LC谐振 器一致.所不同的是电能和磁能分布 在整个结构中,不能截然分开,这主 要是由于传输线上分布参数作用的 结果.因此在微波波段,一段两端短 路(或开路)的传输线所起的作用与 LC串并联谐振电路所起的作用完全 一样,故称这样的结构为微波传输线 型谐振器,若是由波导或同轴传输线 构成,也称其为谐振腔. 微波谐振器的分类 微波谐振器的种类很多,按其结构型成可分为 传输线型谐振器和非传输线型谐

7、振器两类. 1,传输线型谐振器-是一段由两端短路或开路的前 述三类微波导行系统构成的.大多数实用微波谐振器 属于此类,如矩形波导空腔谐振器,圆波导空腔谐振 器,同轴线谐振器,微波线谐振器,介质谐振器. 2,非传输线型谐振器(或称复杂形状谐振器)-不是 由简单的传输线或波导段构成的,而是一些形状特殊 的谐振器.这种谐振器通常在坐标的一个或两个方向 上存在不均匀性,如环形谐振器,混合同轴线型谐振 器等. 本章只研究传输线型微波谐振器 微波谐振器与LC谐振回路的异同点: 1,相同点: 它们的本质均为电磁振荡,即电磁能量的相互转换, 电场能量与磁场能量的最大值相等. 2,不同点: LC回路是集总参数电

8、路,而微波谐振器是分布参 数的概念. LC回路只能有一个谐振频率f0,但尺寸一定的微波 谐振器有无穷多个谐振频率,即微波谐振器具有多谐 性. 1,谐振波长0(或频率f0) 谐振波长0是微波谐振器最主要的参数,它表征微 波谐振器的振荡规律,即表示微波谐振器内振荡存在 的条件. 当电场和磁场沿x,y,z三个方向都形成驻波时,即达 到谐振条件,依波动方程: 如果在矩形谐振腔中,场量所满足的波动方程简化成: 谐振器的基本参数 用来描述微波谐振器的基本参数则是谐振波长 0(或谐振频率f0),品质因数Q0,和等效电导G0,下 面分别讨论这三个参数及其一般表达式. 代入谐振腔中任一场分量于上式 上式即为谐振

9、腔中能够存在电磁振荡时,角频率 所必须满足的条件.由它可得到谐振频率 (当m,n,p 取不同值时),故写成: 由 得: 其对应的谐振波长为: 这表明,当腔尺寸a,b和L(长度)给定时,随着m,n和L 取一系列不同的整数,即得出腔内的一系列不连续的 f0.f0的不连续性是封闭的金属空腔中电磁场的一个重 要特性.这是由于边界条件的要求,腔内电磁场的频率 只能取一系列特定的,不连续的数值,这是约束在空间 有限范围内的波的普遍性.这一点又与无限空间中的 电磁波不同,无限空间中波的频率由激发它的源的频 率决定,因而可连续变化. 在这里把具有相同f0的不同模式叫做简并模式. 对于给定的谐振腔尺寸,谐振频率

10、最低的模式称为主 模. 当腔的尺寸abL时,最低频率的谐振模式为 (1,1,0),其谐振f0为: 此波长与谐振腔的几何尺寸同数量级.在微波技 术中通常用谐振腔的最低模式来产生特定频率的电 磁振荡. 2,品质因素Q0 谐振腔可以储存电场和磁场能量,在实际的谐振 腔中,由于腔壁的电导率是有限值,这样将导致能 量的损耗.和其它振荡回路一样,谐振腔的品质因 素Q0定义为: 其中:W-腔内储能,WT-为一周期内腔中损 耗能量,改PL为谐振腔内的时间平均功率损耗,则 一个周期 内腔损耗的能量 故有: 确定谐振腔在谐振f0的Q值时,通常是假设损耗 足够少,以致可以应用无损耗时的场分布. 3,等效电导G0 等

11、效电导G0表示谐振腔损耗的参量 微波谐振器的等效电路 定义为: 式中Um为广义传输线模式电压,由于模式电压不唯 一,所以G0也不是单值量,因此严格讲,一般情况下,微 波谐振器的G0值是难以确定的,尽管如此,我们还是可 以设法在谐振器内表面选择两个固定点a和b,并在固 定时刻沿所选择路径进行电场的线积分,并以此积分 值作为等效电压Um的值,据此得到: 则: 显然,G0与所选择的点a和b有关,这有别于Q0,Q0对每 个给定尺寸的谐振器来说是固定不变的. ( -电场强度矢量的幅值) 矩形腔 由前节所述，低频无线电技术中采用回路产生 电磁振荡当频率很高时（例如微波范围），这种振 荡回路有强烈的辐射损耗

12、和焦耳损耗，不能有效的产 生高频振荡因此，必须用另一种振荡器-谐振腔 来激发高频电磁振荡谐振腔是一种适用于高频的谐 振元件，它是用理想导体围成的任意形状的空腔，凡 是用理想导体围成的任意形状的空腔都有共振现象具 有回路的性质，称为谐振腔 谐振腔可以将电磁振荡全部约束在空腔内，电磁场 没有辐射，也没有介质损耗，金属导体的焦耳损耗 很小，因此具有较高的品质因数 它在微波频段中广泛用于波长计，滤波器等器件， 这一节将以矩形谐振腔为例，讨论谐振腔的性质 一，谐振腔中的场结构 一段长为 的矩形波导，两端用金属板将它封闭 起来就构成了矩形谐振腔，如下图所示： 由于这两个导体端面对电 磁导波的反射作用，波将

13、 在其间来回反射，而形成驻 波驻波不能传输电磁能量 ，它只能产生电磁能的相互 转换，在能量转换过程中表 现出了振荡现象所以封闭 的导体空腔可用来作电磁振 荡的谐振器 对于矩形谐振腔，可不按普遍方法来解，而是从 矩形波导管的解出发，利用波的反射定律来讨论， 这里要简单的多现在选择z轴为参考的“传播方向 ”，按相对于Z轴的模，模来分别讨论 二，振荡模式 此时 ，由前面讨论可知，无线长矩形 波导中的电磁波沿x，y方向都是驻波，沿z方向为行 波但在谐振腔内，由于位于 处的导体端面的 反射，出现沿（z）方向的反射波因此，由矩形 波导的解： 不难得矩形谐振腔内振荡模式的 的表达式为 ： 式中和分别为正子和

14、负子方向传播的波 的振幅常数 在z处，由于 有： 所以（8-89）式写为： 在 处，由于 则有： 必须取 即： 于是，得振荡模式的场分量 的表达式为： 根据电磁场基本方程组，振荡模式的其它场分 量可以由 求得如下： 式中的 即： 式 说明：谐振腔中存在着无穷多个 振荡模式对于不同的（m，n，p）值，有不 同的场分布因此，为表示谐振腔内的振荡模 式，需要用三个下标（m，n，p），并以mnp表 示 这两个表示式还说明，矩形谐振腔中的电磁波 沿x，y和z方向都是驻波，表现出振荡现象 三，振荡模式 此时, 类似地,可以求得到TM振荡模 式的各个场分量为: 式中的 由 给出, 谐振腔中也存在着无穷多个T

15、M振荡模式,并以TMmnp 表示. 四,举例 例2, 有一填充空气的矩形谐振腔,其沿x,y,z方 向的尺寸分别为 (1)试确定相应的主模和谐振频率. (2)写出该主模的场分量表达式 解: 选择z轴作为参考方向的”传播方向”. 首先,对TMmnp模式,m和n均不可为零,而p为零. 其次,对于TEmnp模式，m或n均可为零(但不能同时 为零),因此,最低阶的模式为: TM110,TE011,TE101 (1)当 时,最低谐振频率为: 于是得TE101为主模 (2)因为主模是TE101，所以有m=1,n=0,p=1,故可求 出TE101的场分量表达式： 圆形波导谐振腔简称圆柱形腔,是一段长度为 两端短路的圆波导构成的,如图所示: 圆柱腔由于它具有教高的 品质因数,调谐方便,结构坚 固和易于加工制作等优点,因 此得到了广泛的应用. 例如,可用作微波频率计或波长计,回波箱等. 圆柱形腔 与矩形类似,圆柱形腔可由一段圆波导和两端 短路板组成,由于圆波导中主模是TE11模,因此,圆 柱腔中的主模一般是TE111模(当腔 时,例外 .) 对应于不同的m,n,p值,腔中