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1、第二节 命题及其关系、充要条件 考点梳理考纲纲速览览命题题解密热热点预测预测 1.四种命 题题及其关 系. 2.充分条 件与必要 条件. 1.理解命题题的概念. 2.了解“若p，则则 q”形式的命题题及 其逆命题题、否命 题题与逆否命题题， 会分析四种命题题的 相互关系. 3.理解必要条件、 充分条件与充要条 件的意义义. 1.考查查四种命题题逆 否关系的判断. 2.考查查四种命题题真 假的判断. 3.考查查充分必要条 件的判定及根据充 要条件求解字母参 数的范围围. 4.命题题以客观题观题 的 形式出现现. 四种命题间题间 的 逆否关系、四种命 题题的真假判断及充 要条件的判定等是 高考的热
2、热点.同时时兼 顾对顾对 命题题真假性的 考查查，尤其要注意 以其它数学知识为识为 载载体来考查查充分条 件、必要条件. 知识识点一 四种命题题及其关系 1.命题题 (1)命题题：把用语语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈陈述 句称为为命题题. (2)真命题题与假命题题：判断为为真的语语句称为为真命题题，判断为为假 的语语句称为为假命题题. (3)命题题的形式：若p，则则q.也可写成“如果p，那么q”的形式或 “只要p，就有q”的形式. 2.四种命题题及其关系 (1)四种命题题的关系 若q则p 若q则p 若綈q则綈p (2)四种命题题的真假关系 两个命题题互为为逆否命题题，它们们有相同的真
3、假性； 两个命题题互为为逆命题题或互为为否命题题，它们们的真假性没有关系. 知识识点二 充分条件和必要条件 pq pq p是q的 条件p是q的 条件 q是p的 条件q是p的 条件 q的充分条件是pq的必要条件是p p的必要条件是qp的充分条件是q 若“pq且pq”，则则p是q的 条件 充分 必要 充分必要 充要 【名师师助学】 1.本部分知识识可以归纳为归纳为： (1)三种关系：互逆、互否、互为为逆否关系； (2)两个等价：等价命题题和等价转转化： 逆命题题与否命题题互为为逆否命题题，互为为逆否命题题的两个命题题同真 假； 当判断原命题题的真假比较较困难时难时，可以转转化为为判断它的逆否命 题
4、题的真假. (3)三种判断充要条件的方法：定义义法(用“”符号)，集合法(用 “”符号)，转换转换法(用逆否命题题). 2.判断条件之间间的关系要注意条件之间间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q”等语语言. 方法1 四种命题题及其真假的判断 (1)直接法：利用相关知识识直接判断命题题的真假. (2)间间接法：不正确的命题题可通过举过举 反例加以说说明；利用 原命题题与其逆否命题题的真假一致性间间接判断原命题题的真假； 利用充要条件与集合关系判断命题题的真假. 【例1】 (2014浙江金华华模拟拟)已知函数f(x)在(，)上是增 函数，a，bR，对对命题题：“若ab0，则则f(
5、a)f(b)f(a) f(b)”.写出其逆命题题和逆否命题题， 判断真假，并证证明你的结结 论论. 解 逆命题题：若f(a)f(b)f(a)f(b)， 则则ab0真； 逆否命题题：若f(a)f(b)f(a)f(b)， 则则ab0真. 先证证原命题题：“若ab0，则则f(a)f(b)f(a)f(b)”为为真. ab0ab，baf(a)f(b)，f(b)f(a)f(a) f(b)f(b)f(a). 故其逆否命题题也为为真. 再证证否命题题“若ab0，则则f(a)f(b)f(a)f(b)”为为真. ab0ab，baf(a)f(b)，f(b)f(a)f(a) f(b)f(b)f(a).又两个命题题互为
6、为逆否命题题，其真假性相 同，故其逆命题题也为为真. 点评评 当一个命题题有大前提而要写出其他三种命题时题时，必 须须保留大前提，也就是大前提不动动. 方法2 充分条件与必要条件的判定 (1)定义义法：若pq，则则p是q的充要条件. (2)逆否法：若证证綈p是綈q的充要条件，只需证证明q是p的充要条件. (3)集合法：从集合的观观点出发发，建立与命题题p、q相应应的集合：A x|p(x)，Bx|q(x). 若AB，则则p是q的充分条件； 若BA，则则p是q的必要条件； 若AB，则则p是q的充要条件. 【例2】 (2014潍潍坊模拟拟)a，b为为非零向量，“ab”是“函数f(x) (xab)(x
7、ba)为为一次函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 函数f(x)x2ab(b2a2)xab为为一次函数，则则即ab且 |a|b|.因此“ab”是“函数f(x)为为一次函数”的必要不充分条件. 答案 B 点评评 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件 p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对对于带带有否定性 的命题题或比较难较难判断的命题题，除借助集合思想把抽象、复杂问题杂问题 形象化、直观观化外，还还可利用原命题题和逆否命题题、逆命题题和否命 题题的等价性，转转化为为判断它的等价命题题. 方法3 利用充要条
8、件求参数 对对于条件或结论结论 中含有参数的命题题，可先将其转转化为为最简简形式 ，利用充分条件、必要条件或充要条件揭示命题题和结论结论 之间间的从 属关系，借助于Venn图图或数轴轴的直观观性列方程或不等式，即可 求出参数的值值或取值值范围围. 【例3】 已知集合Mx|x5，Px|(xa)(x 8)0. (1)求实实数a的取值值范围围，使它成为为MPx|5x8的充要条件 ； (2)求实实数a的一个值值，使它成为为MPx|5x8的一个充分但 不必要条件. 解题题指导导(1)从考点上：本题题考查查充要条件的应应用问题问题 ； (2)从思路上：先化简简两个集合，再利用充要条件的定义义，结结合数 轴
9、寻轴寻 找a的范围围. 解 (1)由MPx|5x8，得3a5， 因此MPx|5x8的充要条件是a|3a5； (2)求实实数a的一个值值， 使它成为为MPx|5x8的一个充分但不必要条件， 就是在集合a|3a5中取一个值值， 如取a0，此时时必有MPx|5x8； 反之，MPx|5x8未必有a0， 故a0是MPx|5x8的一个充分不必要条件. 点评评 本例涉及参数问题问题，直接解决较为较为困难难，先用等价转转 化思想，将复杂杂、 生疏的问题转问题转化为简单为简单、熟悉的问题问题来解决 .一般地，在涉及字母参数的取值值范 围围的充要关系问题问题中，常 常要利用集合的包含、相等关系来考虑虑，这这是破解此类问题类问题的 关键键.
