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1、椭圆经典精讲 1、基本概念、基本图形、基本性质题1、题面：集合的关系可表述为（ ）.A. B. C. D.AB = 答案：D. 变式一题面：设双曲线的左，右焦点为F1，F2，左，右顶点为M，N，若PF1F2的一个顶点P在双曲线上，则PF1F2的内切圆与边F1F2的切点的位置是()A在线段MN的内部B在线段F1M的内部或NF2内部C点N或点MD以上三种情况都有可能答案：C.详解： 若P在右支上，并设内切圆与PF1，PF2的切点分别为A，B，则|NF1|NF2|PF1|PF2|(|PA|AF1|)(|PB|BF2|)|AF1|BF2|.所以N为切点，同理P在左支上时，M为切点变式二题面：若直线mx
2、ny4和圆O：x2y24没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为()A至多1个 B2个C1个 D0个答案：B.详解：由题意得2，即m2n24，则点(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆1的内部题2、题面：如图，倾斜圆柱形容器，液面的边界近似一个椭圆。若容器底面与桌面成角为，则这个椭圆的离心率是 。答案：解题步骤： 由图，短轴就是内径，长轴为，即：，.变式一题面：已知椭圆1(ab0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A. B.C. D.答案：B.详解： 由题意得a2b2a2(ac)2，即c2ac
3、a20，即e2e10，解得e.又e0，故所求的椭圆的离心率为.变式二题面：(2012新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A. B.C. D.答案：C.详解：由题意可得|PF2|F1F2|，22c，3a4c，e.题3、题面：椭圆与圆 的公共点个数是 。答案：1.变式一题面：已知椭圆C1：1(a1b10)和椭圆C2：1(a2b20)的焦点相同且a1a2.给出如下四个结论：椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；aabb；a1a2b1b2.其中，所有正确结论的序号是()A BC D答案：C.详解： 由已知条件
4、可得abab，可得aabb，而a1a2，可知两椭圆无公共点，即正确；又aabb，知正确；由abab，可得abba，则a1b2，a2b1的大小关系不确定，不正确，即不正确；a1b10，a2b20，a1a2b1b20，而又由(a1a2)(a1a2)(b1b2)(b1b2)，可得a1a2b1b2，即正确综上可得，正确的结论序号为.变式二题面：设椭圆1(ab0)的离心率e，右焦点为F(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()A必在圆x2y22内B必在圆x2y22上C必在圆x2y22外D以上三种情形都有可能 答案：A,详解：由已知得e，则c.又x1x2，x1x2，
5、所以xx(x1x2)22x1x22，因此点P(x1，x2)必在圆x2y22内2、关注几何（甚至就是平面几何）题4、题面：设AB是经过椭圆中心的弦，F是椭圆的一个焦点，则ABF的面积最大值为 .答案：.变式一题面：(2012天津高考)设m，nR，若直线l：mxny10与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2y24相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则AOB面积的最小值为_答案：3.详解：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为，即，所以m2n22|mn|，所以|mn|，又A，B，所以AOB的面积为3，最小值为3. 变式二题面：已知椭圆方程为x21，斜率为k(k0)的直线l过椭圆的上
6、焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0，m)(1)求m的取值范围；(2)求MPQ面积的最大值答案：(1) 0m.(2) .详解：(1)设直线l的方程为ykx1，由可得(k22)x22kx10.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.可得y1y2k(x1x2)2.设线段PQ的中点为N，则点N的坐标为，由题意有kMNk1，可得k1，可得m，又k0，所以0m.(2)设椭圆的焦点为F，则SMPQ|FM|x1x2|，所以MPQ的面积为(0mb0)的左，右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；
7、(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值答案：(1) e.(2) a10，b5. 详解：(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e.(2)法一：a24c2，b23c2，直线AB的方程为y(xc)将其代入椭圆方程3x24y212c2，得B，所以|AB|c.由SAF1B|AF1|AB|sin F1ABaca240，解得a10，b5.法二：设|AB|t.因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240知，a10，b5. 题6、题面：过椭圆C：上一点向圆
8、O：引两条切线PA、PB，（A，B为切点），若 ，则P点的坐标是 .答案：.解题步骤： 连接，；（几何思考的意识、辅助线添加习惯）；标注三个垂直符号；（把初中的习惯恢复起来）看出是矩形；进一步明确是正方形；，且意识到；椭圆上到中心的距离等于半长轴的点只有长轴端点。变式一题面：设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1PF2，则点P的横坐标为()A1 B.C2 D.答案：D.详解：由题意知，点P即为圆x2y23与椭圆y21在第一象限的交点，解方程组得点P的横坐标为. 变式二题面：已知圆的半径为2，椭圆的左焦点为，若垂直于x轴且经过F点的直线与圆M相切，则a的值为（ ）AB1C2D4答案：C.详解：由题意得，即（m0）,则圆心M的坐标为（1,0）直线l与圆M相切，即有，9
