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1、衡阳市八中2020届高三月考（二）数学（理）试题测试时间：120分钟 卷面总分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为2已知集合若，则实数的取值范围为ABCD3已知为锐角，则的值为ABCD4周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小
2、寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为315尺，前九个节气日影长之和为855尺，则立夏日影长为A15尺B25尺C35尺D45尺5已知函数，则定积分的值为ABCD6已知，则的值为ABCD7若定义在R上的偶函数满足且时，则方程的零点个数是A5个 B6个 C7个 D8个8已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则=A B2 C D19已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是ABCD10设函数f(x)sin(2x)，若方程f(x)a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3(x
3、1x2x3)，则x12x2x3的值为A B. C. D.11已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是A. B. C. D.12. 设AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，则ASn为递减数列 B.Sn为递增数列C.S2n1为递增数列，S2n为递减数列D.S2n1为递减数列，S2n为递增数列 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13设函数图像上点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是_.14已知平面向量(1,2)，(4,2)，m(mR)，且与的夹角等于与的夹角，则m_.15已知分别为三
4、个内角的对边，a=1，且则面积的最大值为_16已知函数，若方程恰有3个互异的实数根，则实数的取值集合为_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分）已知函数f(x)sin(x+)b.(1)若函数f(x)的图象关于直线x对称，且0,3，求函数f(x)的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围18.（本小题满分12分）衡阳市八中学生食堂的伙食质量在广大同学中有口皆碑，高三某同学尤其爱吃肉包。他一直在八中二食堂买肉包，面点师声称卖给学生的包子平均质量是100g,上下浮动0.5g.在这位同学眼中，这运用数学语言表达
5、就是：肉包的质量服从期望为100g,标准差为0.5g的正态分布。（1）假设面点师没有撒谎，现该同学从该食堂任意买两个肉包，求每个肉包的质量均不少于100g的概率。（2）出于兴趣，该同学每天将买来的肉包称重并记录得到25个肉包质量（X）的数据（单位：g）如下表：98.397.296.6101.0100.895.495.296.996.899.8101.199.799.2100.1100.695.795.096.997.197.595.295.998.7100.096.1设从这25个肉包中任取2个，其质量不少于100g的肉包个数记为，求的分布列及E（）；（3）该同学计算这25个肉包质量(X)的平均
6、值=97.872g,标准差是2.016g,他认定面点师在制作过程中偷工减料，并果断举报给学校后勤部门。食堂管理人员对面点师做了惩罚，面点师也承认自己的错误,并同意作出改正。该同学在接下来的一段时间里每天都去该食堂买肉包。他又认真记录了25个肉包的质量，并算得他们的平均值为100.26g,标准差是0.508g.于是该同学又一次将面点师举报了。请你根据两次平均值和标准差的计算结果及其统计学意义，说说该同学又一次举报的理由。19 （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，PA底面ABCD，ADAB，ABCD,AD=DC=AP=2,AB=1.点E为棱PC的中点。（1）证明：PD面ABE；（2）若F为棱PC
7、上一点，满足BFAC，求二面角F-AB-D的余弦值。20（本小题满分12分）如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成， 的公共点为，其中的离心率为.（）求的值；（）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的斜率的范围.21（本小题满分12分）已知函数(1)当时，取得极值，求a的值(2)当函数有两个极值点，且1时总有成立，求m的取值范围（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修4一4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心的极坐标为（）且
8、经过极点的圆（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的普通方程；（2）已知射线 分別与曲线C1，C2交于点A，B（点B异于坐标原点O），求线段AB的长.23选修4一5：不等式选讲：（10分）已知函数，且的解集为.（1）求的值；（2）若，是正实数，且，求证：.衡阳市八中2020届高三月考（二）数学（理科）试题参考答案题号123456789101112答案BDDDCCDCACCB13 14.m= 15 16【解析】试题分析：（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为与图象恰有三个交点当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点把代入，得，即，由，得，解得或（方法二）显然，令，则，结合图象可得或。考
9、点：方程的根与函数的零点17、解：(1)函数f(x)sin(x+)b，且函数f(x)的图象关于直线x对称，k(kZ)，且0,3，2.由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，函数f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)由(1)知f(x)sinb.x，2x.当2x，即x时，函数f(x)单调递增；当2x，即x时，函数f(x)单调递减又f(0)f，当f0f或f0时，函数f(x)有且只有一个零点，即sinbsin或1b0，.故实数b的取值范围为.18、 （1）由已知可得该同学从该食堂购买任意一个肉包，其质量不少于 100g 的概率为 ，所以该同学从该食堂任意购买 2 个肉包，其质量不少于100g的肉包
10、数概率为。（2） 的取值可以是0,1,2.P（=0）= P（=1）= + + = P（=2）=012P0.570.380.05（3） 该同学经过仔细思考，认为标准差代表了肉包重量的误差，可以理解成面点师手艺的精度，这个数字在短时间内很难改变，这对面包师的手艺是个巨大的飞越，显然并不合理，该同学断定只能是随机性出现了问题也就是肉包的来源不是随机的，而是人为设定的，最大的可能就是每当该同学到来时，面点师从现有肉包中挑选一个较大的给了该同学，而面点师的制作方式根本没有改变肉包质量的平均值从 97.872g 提高到了100.26g 也充分说明了这一点.19(1)证明见解析.(2) .详解：依题意，以点
11、A为原点，以AB、AD、AP为轴建立空间直角坐标系如图，可得由E为棱PC的中点，得（1）向量故,又AB面PAD.所以AB面PD。故PD面ABE（2）由点F在棱PC上，设故由，得因此，即设为平面FAB的法向量，则，即不妨令，可得为平面FAB的一个法向量取平面ABD的法向量，则所以二面角F-AB-D的余弦值为点睛：本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）
12、根据定理结论求出相应的角和距离.20() ; ().【解析】1）由上半椭圆和部分抛物公共点为，得，设的半焦距为，由及，解得；（2）由（1）知，上半椭圆的方程为， ，易知，直线与轴不重合也不垂直，故可设其方程为，并代入的方程中，整理得： ，由韦达定理得，又，得，从而求得，继而得点的坐标为，同理，由得点的坐标为，最后由,解得，21（）;（）.【解析】试题分析：求导后，代入，取得极值，从而计算出的值，并进行验证(2)由函数有两个极值点算出，继而算出，不等式转化为，构造新函数，分类讨论时三种情况，从而计算出结果解析：（），则检验时，所以时，为增函数；时，为减函数，所以为极大值点（）定义域为，有两个极值
13、点，则在上有两个不等正根所以，所以.所以，所以这样原问题即且时，成立即即即，即且设时，所以在上为增函数且，所以，时，不合题意舍去.时，同舍去 时（）0，即m1时可知h(x)0，在(0,2)上h(x)为减函数且h(1)=0，这样0x0，1x2时h(x)0成立（）0，即lm1开口向下，且1的函数值为2(m-1)0令a=min12-m,2，则x(1,a)时，h(x)0，h(x)为增函数，h(1)=0所以，h(x)0故舍去综上可知：m1点睛：本题考查了含有参量的函数不等式问题，在含有多个参量的题目中的方法是要消参，从有极值点这个条件出发推导出参量a及x1的取值范围，在求解m的范围时注意分类讨论，本题综合性较强，题目有一定难度22 (1) ;.(2) .（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数得，又代入得的极坐标方程为，由曲线是圆心的极坐标为且经过极点的圆.可得其极坐标方程为，从而得的普通方程为.（2）将代
