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1、四、四、 多自由度体系的振动多自由度体系的振动 多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 振型的正交性振型的正交性 多自由度的受迫振动多自由度的受迫振动 杆系结构有限元动力分析杆系结构有限元动力分析 多自由度时程分析方法多自由度时程分析方法 结论与讨论结论与讨论 虽然有些工程问题可以化为单自由度虽然有些工程问题可以化为单自由度 问题计算，但为了有足够的分析精度，更问题计算，但为了有足够的分析精度，更 多的问题必须作为多自由度进行分析。多的问题必须作为多自由度进行分析。 本章介绍多自由度系统与频率、模态本章介绍多自由度系统与频率、模态 相关的基本理论。相关的基本理论。 先求无阻尼自由振动的频
2、率、振型等先求无阻尼自由振动的频率、振型等 动力特性，然后利用振型的正交性，在假动力特性，然后利用振型的正交性，在假 定阻尼矩阵也正交条件下，将多自由度分定阻尼矩阵也正交条件下，将多自由度分 析通过振型分解化为单自由度问题的组合析通过振型分解化为单自由度问题的组合 来解决。来解决。 4.1 4.1 多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 多自由度运动方程为多自由度运动方程为 无阻尼自由振动运动方程为无阻尼自由振动运动方程为 设其解为设其解为 A Asinsin t t ，代入运动方程可得代入运动方程可得 (- (- 2 2 MM+K K) ) A Asinsin t=t=00 为使系统有
3、非零的振动解答，必须为使系统有非零的振动解答，必须 - - 2 2 MM+K K =0 =0 （1 1） 或者或者 (- (- 2 2 MM+K K) ) A A=0 =0 （2 2） 上述两式分别称为频率和特征方程。上述两式分别称为频率和特征方程。 由式（由式（1 1）展开可得双）展开可得双n n次方程，对一般建筑工程结次方程，对一般建筑工程结 构，求解可得到构，求解可得到n n个实的不等的正根，它们即为系统个实的不等的正根，它们即为系统 的频率。但一般更多是从式（的频率。但一般更多是从式（2 2）出发。）出发。 式（式（2 2）可改写为）可改写为 2 2 MM A A=K K A A （3
4、 3） 数学上称作广义特征值问题。为了将其化为标准实对数学上称作广义特征值问题。为了将其化为标准实对 称矩阵特征值问题，作如下改造：称矩阵特征值问题，作如下改造： 设设 MM=L =L LLT T （4 4） 2 2 L LL L T T A A=K K A A （5 5） 2 2 LL T T A A=L=L-1 -1 K K A A （6 6） 2 2 LL T T A A=L=L-1 -1 K K(L (L-T -TL L T T ) )A A （7 7） 2 2 LL T T A A=L=L-1 -1 K KL L-T -TL L T T A A （8 8） 令：令： x x =L=L
5、 T T A A ，D=LD=L-1 -1 K KL L-T -T， ， D D 是对称矩阵是对称矩阵 有：有： 2 2 x x= = D D x x （9 9） 式式 2 2 X X=D D X X （9 9） 就是实对称矩阵标准特征值问题的方程，利用线性代就是实对称矩阵标准特征值问题的方程，利用线性代 数所介绍的特征值问题解法就可求得数所介绍的特征值问题解法就可求得 D D 矩阵的特征对矩阵的特征对 2 2 ， X X ，再由式（再由式（5 5）可求得广义特征问题的振型）可求得广义特征问题的振型 矩阵矩阵 A A 。 由数学可知，对建筑工程一般问题，从由数学可知，对建筑工程一般问题，从n
6、n阶的特征阶的特征 方程（方程（3 3）可求得）可求得n n个特征对，也即有个特征对，也即有n n个频率个频率 i i 以及以及 和和 i i 对应的振型对应的振型 A A i i 。按按 i i 从小到大排列可得结构的频从小到大排列可得结构的频 谱，谱， 1 1 和和 A A 1 1 分别称为第一频率（基本频率或基频）分别称为第一频率（基本频率或基频） 、第一振型。其他依次称第二、第三等等频率、振型、第一振型。其他依次称第二、第三等等频率、振型 。 有了任意有了任意n n自由度问题自由振动解法、结论，两自自由度问题自由振动解法、结论，两自 由度问题可以作为它的特例，按上述解法、思路进行由度问
7、题可以作为它的特例，按上述解法、思路进行 分析。分析。 4.1 4.1 多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 基本结论基本结论: : 1 1）在无阻尼自由振动下）在无阻尼自由振动下- - MM =K K u u ，也即惯性力也即惯性力 和弹性恢复力平衡，且它们同相位。因此如果设振幅和弹性恢复力平衡，且它们同相位。因此如果设振幅 为为 A A ，式（式（3 3）也可通过列惯性力、恢复力的幅值方）也可通过列惯性力、恢复力的幅值方 程得到。程得到。 2 2）对于一个具体问题，关键是正确确定）对于一个具体问题，关键是正确确定 MM 、 K K 或或 f f （柔度）。有了它们不管什麽结构，由统
8、一格式可写（柔度）。有了它们不管什麽结构，由统一格式可写 出式出式: : 2 2 MM A A=K K A A 。 3 3）两自由度问题）两自由度问题n=2n=2。展开特征方程将得到双二次频。展开特征方程将得到双二次频 率方程，解此频率方程即可得频率率方程，解此频率方程即可得频率 1 1 和和 2 2 。 4.1 4.1 多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 4 4）将频率）将频率 1 1 和和 2 2 代回特征方程只能得到和某频率对代回特征方程只能得到和某频率对 应的位移比值（齐次方程只能得到比值），对应的位移比值（齐次方程只能得到比值），对它可以它可以 进行进行“ “规格化规格化”
9、 ”, ,一般使最大值等于一般使最大值等于1 1，即可得振型。，即可得振型。 5 5）自由振动的通解可由各频率的简谐振动解答叠加）自由振动的通解可由各频率的简谐振动解答叠加 得到，振幅、相位由质量的初位移、初速度（得到，振幅、相位由质量的初位移、初速度（n n个自个自 由度有由度有2 2n n个初始条件）来确定。个初始条件）来确定。 综上可见，有了综上可见，有了 MM 、 K K 或或 f f ，剩余工作主要是数剩余工作主要是数 学运算了。学运算了。 4.2 4.2 振型的正交性振型的正交性 因为因为 i i 2 2 MM A A i i =K K A A i i 、 j j 2 2 MM A
10、 A j j =K K A A j j 前一式前一式 左乘左乘 A A j j T T 、后一式左乘后一式左乘 A A i i T T ，再将两式相减，由于质再将两式相减，由于质 量、刚度的对称性，可得量、刚度的对称性，可得 ( ( i i 2 2 - - j j 2 2 ) )A A j j T T MM A A i i =0 (11)=0 (11) 由此可得由此可得 A A j j T T MM A A i i =0 (12)=0 (12) 上式乘上式乘 j j 2 2 ，考虑到考虑到 j j 2 2 MM A A j j 物理意义是第物理意义是第j j振型对应振型对应 的惯性力幅值，因此
11、式（的惯性力幅值，因此式（1212）表明第）表明第j j振型对应的惯性振型对应的惯性 力在第力在第i i振型位移上不做功，反之亦然。振型位移上不做功，反之亦然。 从式（从式（1212）和特征方程立即可证）和特征方程立即可证 A A j j T T K K A A i i =0 (13)=0 (13) 它表明第它表明第j j振型对应的弹性恢复力在第振型对应的弹性恢复力在第i i振型位移上不振型位移上不 做功。做功。 4.2 4.2 振型的正交性振型的正交性 式式(12)(12)和式和式(13)(13)从数学上说，是不同振型对质量、从数学上说，是不同振型对质量、 刚度加权正交。也即振型具有正交性。
12、刚度加权正交。也即振型具有正交性。 从第从第i i振型幅值方程，立即可得振型幅值方程，立即可得 i i 2 2 A A i i T T MM A A i i = = A A i i T T K K A A i i (14) (14) 记记 MM i i * * = = A A i i T T MM A A i i (15) (15) 称作第称作第i i振型广义质量，记振型广义质量，记 K K i i * * = = A A i i T T K K A A i i (16) (16) 称作第称作第i i振型广义刚度。则振型广义刚度。则 i i 2 2 = =K K i i * * /M/M i i * * (17) (17) 也即第也即第i i频率的平方可象单自由度一样，由广义刚度和频率的平方可象单自由度一样，由广义刚度和 质量来求。质量来求。 式式(12)(12)和和(13)(13)是是最基本、最常用的正交关系最基本、最常用的正交关系。 4.2 4.2 振型的正交性振型的正交性 因为因为 i i 2 2 MM A A i i =K K A A i
