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1、3.4.2 函数模型及其应用 1.解函数应用题的基本步骤 (1)阅读理解、认真审题. (2)引进数学符号,建立函数模型. (3)利用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答, 求得结果. (4)根据具体问题作出合理解答. 交流1 在数学应用题中,所建立的函数如何确定其定义域? 提示可从两个方面确定函数的定义域:一是函数自身对自变量的 要求;二是实际问题中对自变量的限制,如时间、长度、面积等一 般均大于零. 2.常见函数模型 一次函数模型:y=kx+b(k0),二次函数模型y=ax2+bx+c(a0),分 段函数模型,指数函数模型y=abx+c(a0,b0,且b1),对数函数模型 y=
2、mlogax+n(m0,a0,且a1),幂函数模型y=axn+b(a0)以及y=ax+ 函数模型等. 交流2 对于具体的数学应用题,应怎样选择函数模型? 提示一是根据题目中给出的函数类型,用待定系数法求解;二是 根据题目中的对应关系列式表达;三是利用数据拟合法,选择最优 函数类型. 3.解实际问题的程序 实际问题建立数学模型得到数学结果解决实际问题,其中 建立数学模型是关键. 交流3 (1)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个现有2个 这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是 . (2)汽车的油箱是长方体形状容器,它的长是a cm,宽为b cm,高为c cm,汽车开
3、始行驶时油箱内装满汽油.已知汽车的耗油量是n cm3/km,则汽车行驶的路程y(km)与油箱内剩余油量的液面高度x cm的函数关系为 . 提示(1)y=2x+1 典例导学即时检测一二三 一、一次、二次函数模型 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时,可全部 租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维 护费50元. (导学号51790119) (1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大 月收益是多少? 思路分析(1
4、)由已知可以求出未租出的车辆数,从而可求出租出的车 辆数. (2)要求最大收益,可先把收益表示为月租金的函数,建立函数模型 再求解该函数的最大值. 典例导学即时检测一二三 典例导学即时检测一二三 1.已知A、B两地相距150 km,某人开汽车以60 km/h的速度从A地 到达B地,在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地,把汽车离开 A地的距离x表示成时间t的函数,表达式是 . 典例导学即时检测一二三 2.有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料在一边靠墙 的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的 矩形(如图),则围成的矩形最大面积为 m2.(围墙厚度不计)
5、 (导学号51790120) 答案:2 500 解析:设矩形宽为x m, 则矩形长为(200-4x)m, 则矩形面积为S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500(0x50). x=25时,S有最大值为2 500 m2. 典例导学即时检测一二三 分析与解答应用问题时的思维过程: 典例导学即时检测一二三 二、指数、对数函数模型 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬,研究燕子的科学家发现 ,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 ,单位是m/s,其中Q 表示燕子的耗氧量.(导学号51790121) (1)燕子静止时的耗氧量是多少个单位? (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少
6、? 思路分析由题意可知,飞行速度是耗氧量的对数型函数,由函数 表达式分别给变量赋值,求出另外的量即可. 典例导学即时检测一二三 典例导学即时检测一二三 某林区2015年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林 、严禁采伐的措施,使木材蓄积量的年平均递增率达到5%. (导学号 51790122) (1)若经过x(xN*)年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求f(x) 的解析式. (2)约经多少年后,林区的木材蓄积量达到300万立方米? 典例导学即时检测一二三 解(1)现有木材蓄积量为200万立方米. 经过1年后,木材蓄积量为200+2005%=200(1+5%)万立方米; 经过2年后,木
7、材蓄积量为 200(1+5%)+200(1+5%)5%=200(1+5%)2万立方米; 经过x年后,木材蓄积量为200(1+5%)x万立方米. f(x)=200(1+5%)x(xN*). (2)由题意,若经x年后,林区的木材蓄积量达到300万立方米,则有 200(1+5%)x=300, 故约经过9年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米. 典例导学即时检测一二三 指数函数模型在生活中应用比较广泛,如增长率(减少率) 、存款利率、复利计算等.指数类型的函数在实际问题中的应用主 要有以下两类:平均增长率问题:若原来产值的基数为N,平均增 长率为P,则对于时间x的总产值或总产量y=N(1+P)x;
8、储蓄中的复 利问题:若本金为a元,每期利率为r,本利和为y,存期为x,则 y=a(1+r)x. 典例导学即时检测一二三 三、模拟函数类型的建立 某地西红柿从2月1日起开始上市.通过调查,得到西红柿种植成 本Q(单位:元/102 kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:(导学号 51790123) (1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成 本Q与上市时间t的变化关系. Q=at+b;Q=at2+bt+c; Q=abt;Q=alogbt. (2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最 低种植成本. 典例导学即时检测一二三 思路分析分析表格中的数据(50,15
9、0),(110,108),(250,150)可知函 数模型. (2)当t=150天时,西红柿种植成本最低为100元/102 kg. 典例导学即时检测一二三 经过调查发现,某种新产品在投放市场的100天中,前40天,其价格 直线上升(价格是一次函数),而后60天,其价格则呈直线下降趋势.现 抽取其中4天的价格如表所示:(导学号51790124) (1)写出价格f(x)关于时间x的函数表达式(x表示投放市场的第x天 ); (2)若销售量g(x)与时间x的函数关系是g(x)= (1x100,xN),求日销售额的最大值,并求第几天销售额最高. 典例导学即时检测一二三 典例导学即时检测一二三 典例导学即
10、时检测一二三 建立实际情境函数的模型时,可采用以下步骤: 典例导学即时检测12345 1.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个),则 这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过 ( ). A.2小时 B.3小时C.4小时D.5小时 答案:B 解析:设共分裂了x次,则有2x=4 096, 2x=212,即x=12. 又每15分钟分裂一次, 1512=180(分),即3小时. 典例导学即时检测12345 2.受国际经济衰退影响,某型号产品今年连续两次降价,单价由原来 的2 000元降到1 280元,则这种产品平均每次降价的百分率是( ). A.10%B.20%C.30%D.40%
11、 答案:B 解析:设平均每次降价的百分率为x, 则2 000(1-x)2=1 280,x=0.2=20%. 典例导学即时检测12345 3.某种茶杯,每个2.5元,把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个) 的函数,则y= . 答案:2.5x(xN) 典例导学即时检测12345 4.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0x240,xN*),若每台产品的售价为25万元,则生 产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为 台. 答案:150 解析:设生产者恰好不亏本时的产量为x台,依题意,得25x-3 000- 20x+0.1x2=0,即x2+50x-30 000=0. 解得x=-200(舍去)或x=150, 生产者不亏本时的最低产量为150台. 典例导学即时检测12345 5.一家庭(父亲、母亲和孩子们)计划去某地旅游.甲旅行社说:“如果 父亲买全票一张,其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说:“家庭旅行 为集体票,按原价的 优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家 庭里不同的孩子数,分别建立表达式,计算两家旅行社的收费,并讨 论哪家旅行社更优惠.(导学号51790125) 解设家庭中孩子数为x(x1,xN*),旅游收费为y,旅游原价为a.
