刚体平动、定轴转动和平面运动

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1、第第 6 6 章章 刚体的平动、定轴转动刚体的平动、定轴转动 与平面运动与平面运动 刚体的平行移动刚体的平行移动 转动方程、角速度与角加速度转动方程、角速度与角加速度 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度 求求平面图形内各点速度的基点平面图形内各点速度的基点 法、速度投影定理及速度瞬心法、速度投影定理及速度瞬心 刚体平面运动分解为平动和转动刚体平面运动分解为平动和转动 用基点法求用基点法求平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 结论与讨论结论与讨论 6.1 6.1 刚体的平行移动刚体的平行移动 平移的实例平移的实例 6.1 6.1 刚体的平行移动刚体的平行移动 平移的

2、实例平移的实例 6.1 6.1 刚体的平行移动刚体的平行移动 平移的实例平移的实例 特征：如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直 线始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动， 简称平动或移动。 曲线平动： 如果刚体上 各点的运动 轨迹为曲线 6.1 6.1 刚体的平行移动刚体的平行移动 直线平动：如果刚体上各点的运动轨迹为直线 刚体平动时，其上各点的轨 迹的形状完全一样。 刚体平动时，其上各点的轨迹的形状相同；在每一瞬时， 各点的速度相同，加速度也相同。 刚体的平动可归结为研究刚体内任一点的运动。刚体的平动可归结为研究刚体内任一点的运动。 此图中的 均为零 例例 题题 1 1 已知已知

3、：OAOAl l； t t 求求：T T型杆的型杆的速度和加速度速度和加速度 O A B C 解：解：T T型杆作平动，建立图示坐型杆作平动，建立图示坐 标系，取标系，取MM点为研究点为研究 x M 例例 题题 2 2 已知已知：O O 1 1 A A O O 2 2 B B l l；O O 1 1 A A杆的角速度杆的角速度 和角加速度和角加速度 。 求求： C C点的运动轨迹点的运动轨迹、速度和加速度。、速度和加速度。 解：解：板运动过程中，板运动过程中， 其上任意直线始终平其上任意直线始终平 行于它的初始位置。行于它的初始位置。 因此，板作因此，板作平移平移。 1 1、运动轨迹、运动轨迹

4、 C C点的运动轨迹与点的运动轨迹与A A、 B B两点的运动轨迹形状两点的运动轨迹形状 相同，即以相同，即以O O点为圆心点为圆心 l l为半径的为半径的圆弧线圆弧线。 2 2、速、速 度度 v v C C = v= v A A= = v vB B = = l l 3 3、加速度、加速度 例例 题题 2 2 已知已知：O O 1 1 A A O O 1 1 B B l l；O O 1 1 A A杆的角速度杆的角速度 和角加速度和角加速度 。 求求： C C点的运动轨迹点的运动轨迹、速度和加速度。、速度和加速度。 定轴转动实例 特征：如刚体在运动时，其上有两点保持不动。 6.2 转动方程、角速

5、度与角加速度 特征：如刚体在运动时， 其上有两点保持不动。 f f ( (t t) ) 刚体转动的运动方程 刚体转动的角速度 刚体转动的角加速度 讨论讨论 （1 1）匀速转动）匀速转动 = =常量常量 0 0 + + t t （2 2）匀变速转动）匀变速转动 = =常量常量 n为转速，r/min 6.3 转动刚体内各点的速度和加速度 M0 M O R S SR R v R R转动半径转动半径 转动刚体内任 一点的速度的大小， 等于刚体的角速度与 该点到轴线的垂直距 离的乘积，它的方向 沿圆周的切线而指向 转动的一方。 速速 度度 定轴转动刚体内各点速度分布情况实例 M O a an a v 加

6、加 速速 度度 结论结论 （1） 每一瞬时，刚体内所有各点的速度和加速度的大 小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。 （2） 每一瞬时，刚体内所有各点的加速度与半径间的 夹角都有相同的值。 思思 考考 题题 试计算杆端A点和C点的 速度、加速度，并画出其 方向。 O A B C a a b 例例 题题 3 3 已知已知：h; h; v v o o 求求：OAOA杆的转动方程、角杆的转动方程、角速速 度和角加速度度和角加速度 解：解：建立图示坐标系建立图示坐标系 x v0 O A h x y 例例 题题 4 4 已知已知：r r 1 1 =150mm=150mm， 求求：ABAB杆的角速度和角

7、加 速度；B点的加速度。 r2=200mm,R=450mm, , 60o， A点的全加速度aA=1.2m/s2。 r1 r2 A B O R aA 解：由于A,B两点到固定点O的 距离保持不变，因此，AB杆的运 动为绕O轴的定轴转动。 将A点的加速度在切向和法向投影 aAn aA B点的加速度 B点的全加速度 r1 r2 A B O R aA aBn aB aAn aA 例例 题题 5 5 设两个齿轮各绕定轴O1和O2转动。其啮合圆半 径各为R1和R2,齿数各为z1和z2,角速度各为1和 2,A和B分别为两个齿轮的啮合圆的接触点,两 个齿轮之间没有相对滑动。 R1 1 R2 2 vAvB A

8、B 1 R1 R2 2 vA vB A B O1 O2 O 1 O 2 所以 vA=vB，并且方向相同 vA=1R1 ；vB=2R2 由于齿轮在啮合圆上的齿距 相等，它们的齿数与半径成 正比，则 主动轮和从动轮的两个角速度的比值称为传动比 所以得到计算传动比的基本公式 1R1 2R2 求两个齿轮的传动比。 已知已知：OAOA= =O O 1 1 B=l=2r, AB=OOB=l=2r, AB=OO 1 1 , ,A A点点 的加速度水平且为的加速度水平且为a a A A ，齿轮，齿轮B B与与ABAB焊接在一起。焊接在一起。 求求：此时轮：此时轮O O 1 1 角角速度和角加速度速度和角加速度

9、 例例 题题6 6 O A aA C B O1 O1 C1 解：解：将将A A点的加速度分解点的加速度分解 例例 题题7 7 已知已知: : ; ; v v ; ; r r 求求：卷盘的角：卷盘的角加速度加速度 O r v 解：解：由定轴转动公式由定轴转动公式 对此式求导：对此式求导： 半径的表达式：半径的表达式： 几个有意义的问题几个有意义的问题 几个有意义的问题几个有意义的问题 几个有意义的问题几个有意义的问题 几个有意义的问题几个有意义的问题 刚体的平面运动刚体的平面运动 刚体上处于同一平面内刚体上处于同一平面内 各点到某一固定平面的距离保持不变。各点到某一固定平面的距离保持不变。 6-

10、4 刚体平面刚体平面运动的概述和运动分解运动的概述和运动分解 刚体的平面运动刚体的平面运动 刚体上处于同一平面内刚体上处于同一平面内 各点到某一固定平面的距离保持不变。各点到某一固定平面的距离保持不变。 6-4 刚体平面刚体平面运动的概述和运动分解运动的概述和运动分解 刚体平面运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动刚体平面运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动 6-4 刚体平面刚体平面运动的概述和运动分解运动的概述和运动分解 A1 A2 S A z x y A1A2 平动平动 A 刚 体 平面图形 S 刚体的平面运动刚体的平面运动 刚体在运动过程中，刚体在运动过程中， 其上任一点到某一固定

11、平面的距离保持不变。其上任一点到某一固定平面的距离保持不变。 平面图形上的任意直线平面图形上的任意直线这一这一 直线的运动可以代表平面图形的直线的运动可以代表平面图形的 运动，也就是刚体的平面运动。运动，也就是刚体的平面运动。 确定直线确定直线AB或平面图形在或平面图形在OxyOxy 参考系中的位置，需要参考系中的位置，需要 3 3 个独立个独立 变量变量 ( (x xA A , , y y A A , , ) )。其中其中 x xA A , , y y A A 确 确 定点定点A A在平面内的位置；在平面内的位置； 确定确定 直线直线ABAB在平面内的位置。在平面内的位置。 3 3个独立变量

12、随时间变化的函个独立变量随时间变化的函 数，即为刚体平面运动方程：数，即为刚体平面运动方程： 刚体平面运动分解刚体平面运动分解 为平移和转动为平移和转动 基点、平移系与基点、平移系与 平面图形的转动平面图形的转动 刚体平面运动分解刚体平面运动分解 为平移和转动为平移和转动 基点、平移系与基点、平移系与 平面图形的转动平面图形的转动 刚体平面运动分解刚体平面运动分解 为平移和转动为平移和转动 基点、平移系与基点、平移系与 平面图形的转动平面图形的转动 刚体平面运动分解刚体平面运动分解 为平移和转动为平移和转动 基点、平移系与基点、平移系与 平面图形的转动平面图形的转动 刚体平面运动分解刚体平面运

13、动分解 为平移和转动为平移和转动 基点、平移系与基点、平移系与 平面图形的转动平面图形的转动 刚体平面运动分解刚体平面运动分解 为平移和转动为平移和转动 基点、平移系与基点、平移系与 平面图形的转动平面图形的转动 刚体平面运动分解为平移和转动的基本方法刚体平面运动分解为平移和转动的基本方法 选择基点任意选择；选择基点任意选择； 在基点上在基点上建立平移系建立平移系 ( ( 特殊的动系特殊的动系 ) ) 在刚体平面运动在刚体平面运动 的过程中，平移系只发生平移的过程中，平移系只发生平移 ; ; 刚体平面运动刚体平面运动 ( ( 绝对运动绝对运动 ) ) 可以分解为跟随平移系的平可以分解为跟随平移

14、系的平 移移 ( ( 牵连运动牵连运动 ) ) ，以及平面图形相对于平移系的转动，以及平面图形相对于平移系的转动 ( ( 相相 对运动对运动 ) ) 。 刚体平面运动分解刚体平面运动分解 为平移和转动为平移和转动 平移和转动与 基点之间的关系 平移的轨迹、速度与加速度都与基点的平移的轨迹、速度与加速度都与基点的 位置有关。位置有关。 刚体平面运动分解刚体平面运动分解 为平移和转动为平移和转动 平移和转动与 基点之间的关系 转动角速度转动角速度与基点的位置无关与基点的位置无关 称为平面图形的角速度、称为平面图形的角速度、 角加速度。角加速度。 y x A B vA vA vBA vB vA vB

15、A y x O vA vA S 6.56.5求求平面图形内各点速度的基点法、速度投影定理及速度瞬心平面图形内各点速度的基点法、速度投影定理及速度瞬心 v vB B = = v v A A + + v vBA BA v v BABA AB AB 平面图形上任意一点的速度，等于基点的速度与该点随图形平面图形上任意一点的速度，等于基点的速度与该点随图形 绕基点转动速度的矢量和。绕基点转动速度的矢量和。 一. 求平面图形内各点速度的基点法 其投影式为 上式中6个量中，应已知4个，此 两投影式只能求解2个未知量。 vA 3030 A A B B 例例 题题 8 8 已知已知： AB=l=2 m; vA=2m/s 求：求：（1 1）杆端）杆端 B B 的速度的速度 vB （2 2）AB AB 杆角速度杆角速度