《2013有限元方法(第2章位移函数-形函数)李民10-27》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013有限元方法(第2章位移函数-形函数)李民10-27（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章平面问题三角形单元图3- 1引言一为什么先进行平面问题的有限元法： .平面问题的有限元分析较简单，具有典型性 .在工程应用中有其实际意义，主要表现在在满足工程精度的要求下，降低问题的复杂性，提高分析问题的效率。 .平面问题的有限元分析是今后进一步分析轴对称问题，三维问题及板壳问题的基础。从平面问题的有限元法分析入手，可有利于有限元基本概念、方法、理论的理解与掌握。引言二选用的单元类型及特点进行平面问题研究时，选用三角形单元较简单。三节点的三角形单元又是最简单而又被广泛采用的一种单元类型。由于在平面问题分析中，结构发生的是平面变形，三角形的三个节点可以看作是平面铰，每个节点具有两个自由度，
2、这样共有个节点个自由度，如果节点位移或其中某一个分量为零时，可在该节点处设置一个平面铰支座或连杆支座，以限制其位移。由三角单元离散的结构是由三角形单元的节点铰接而成的。 弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤： 1、所分析问题的数学建模2、离散化3、单元分析4、整体分析与求解5、结果分析2013/6/14图3- 12.1离散化2.1离散化三角形单元的网格剖分原则 .各节点必须相连。如图所示中（a ）是正确的，而（b）是错误的。 .三角形单元不能奇异，也就是三角形单元中的三个边长不能相差太大，或者有过大的钝角或过小的锐角，如图示 .单元的大小，数目取决于计算精度的要求和计算容量的限制分网时
3、首先要满足计算精度的要求，同时可利用结构的对称性，循环对称性的特点，从厚结构中取出一部分进行分析，或者对有应力集中的构件，采用疏密不同的网格剖分。边界曲折、应力集中的单元尺寸小些，在同一问题中，最大单元与最小单元的尺寸之比不能过大。 .同一单元内的结构，几何特性与材料特性相同，也就是不要把厚度不同或材料不同的区域划分在同一个单元里。四节点编号的约定 .节点编号分为局部节点编号和总体节点编号两种。（ 有限元软件在最后都有节点重新编号的要求 ）在公式推导中用i ， j， m编号我们约定其为逆时针顺序。这主要是因为要保证用i ， j， m节点计算的单元面积为正值，如下图： .相邻节点号的差值要尽可能
4、小（ 对软件应用者，记住要重新编号 ）。如图最大差值为 5 最大差值为 4 五三角形单元划分的示例有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。因平面问题的变形主要为平面变形，故平面上所有的节点都可视为平面铰，即每个节点有两个自由度。单元与单元在节点处用铰相连，作用在连续体荷载也移置到节点上，成为节点荷载。如节点位移或其某一分量可以不计之处，就在该节点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。2013/6/142-2 平面问题的常应变（三角形）单元 1、位移函数概念结构离散化后，要对单元
5、进行力学特性分析，也就是确定 单元节点力与节点位移 之间的关系，这时就需要把 单元内的任一点的位移分量 表示成坐标的某种函数。这种函数就叫位移函数。一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。 这正是有限单元法具有的重要优势之一。由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而也要求必须事先设定位移函数。2013/6/14如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难
6、用一个简单函数来描绘。有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移（单元内任意一点的位移）。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。平面问题，单元位移（单元内任意一点的位移）函数可用多项式表示：多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。2212 3 4 5 6.u a ax ay ax axy ay=+ + + + + +2212 3 4 5 6.vbbxbybx bxyby=+2013
7、/6/14三结点三角形单元六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以平面问题的3节点三角形单元的位移函数如下，该位移函数，将单元内部任一点的位移设定为坐标的线性函数，该位移模式很简单。其中为广义坐标或待定系数，可据节点i、j、m的位移值和坐标值求出。12 345 6vuxyx y =+ +=+ +单元的位移函数（单元内任意一点的位移写成矩阵形式：12345610000001aaauxyUavxyaa = 16 2-2 平面问题的常应变（三角形）单元2013/6/14最终确定六个待定系数12312ijm iijm jijmmaaa ubbb uAccc u = 45612i j mii j m
8、jijmmaaa vbbb vAccc v = i,j,mijmmjijmimjaxyxybyycxx=轮换其中A为三角形面积1211iijjmmx yAxyx y=2013/6/141( ) ( ) ( ) 2ii ii jj j j mm mmuabxcyuabxcyuabxcyuA=+1( ) ( ) ( ) 2ii ii jj jj mm mmvabxcyvabxcyvabxcyvA=+2-2 平面问题的常应变（三角形）单元12 345 6vuxyx y =+ +=+ +将上面两式写成下面形式将上面两式写成下面形式12312ijm iijm jijmmaaa ubbb uAccc u
9、= 45612i j mii j m jijmmaaa vbbb vAccc v = 1()2iiiiNabxcyA=+（下标i ，j ， m轮换）观察上面的两个式子有和特点：相似处，不同处？观察上面的两个式子有和特点：相似处，不同处？2013/6/14令（下标i，j，m轮换）简写为1()2iiiiNabxcyA=+00 000 0iiijmjeijmjmmuvNN NuuUNN Nvvuv = iiiejjjmmmuvuvuv = I是单位矩阵，N称为形函数矩阵，Ni 只与单元节点坐标有关，称为单元的形状函数2-2 平面问题的常应变（三角形）单元ieeijmjmU N IN IN IN =
10、看书看书本本 p21)(21ycxbaANiiii+=),( mji单元内任意一点的位移（ u，v ）mmjjiimmjjiiNNNuNuNuNu +=+=中的 Ni、 Nj、 Nm是坐标的函数，反应了单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。2.形函数的性质和特点！ Ni反应了 i节点位移对 对单元内任一点位移的贡献率。i单位位移， j， m位移为零性质1)形函数Ni 在i节点处值等于1，而在其他节点上的值为0。即( , ) 1 ( , ) 0 ( , ) 0(,)0 (, )1 ( , )0( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 1iii i j j immjii j j j jmmm
11、ii m j j mmmNxy Nxy Nx yNxy Nxy NxyNxy Nxy Nxy= = =类似2013/6/142、形函数的特点及性质)(21ycxbaANiiii+=),( mji在单元内任意一点的位移为：在单元内任意一点的位移为：0),(0),(1),( =mmijjiiiiyxNyxNyxN性质 2 在单元中任一点，所有形函数之和等于 1。对于本单元，有1),(),(),( =+ yxNyxNyxNmjimmjjiimmjjiiNNNuNuNuNu +=+=xyN（ i， j， m）Ni =1ijm图 1-3？性质3)形函数的值在01间变化。形态函数的几何意义)(21ycxb
12、aANiiii+=mmjjiyxyxyxAN11121=MIJSPJMSNi=IJMSPMISNj=IJMSPIJSNm=任意一点 P的形态函数 Ni是点P 与结点 I的对边所构成的三角形面积与整个单元面积之比。形态函数的几何意义2013/6/14例题：图示等腰三角形单元，求其形函数矩阵N。2-2 平面问题的常应变（三角形）单元0ijmmjaxyxy= =ijmbyya= =0imjcxx= =0jmiimaxyxy= =0jmibyy= =jimcxxa= =2mijjiaxyxya= =mijbyy a= =mjicxxa= =i,j,mijmmjijmimjaxyxybyycxx= =轮
13、换2013/6/14由三角形的面积22aA =211()(00)2iiiixNabxcy axA aa=+=+=2()(0)2jjjjyNabxcy ayA aa=+=+=2211()()12mmmmxyNabxcyaaxayA aaa=+=001 000 01xy xyaa aaNxy x yaa aa=把上步求得的a(i,j,m ),b(i,j,m ),c(i,j,m )代入2-2 平面问题的常应变（三角形）单元 据弹性力学几何方程得单元的应变分量 由于三节点三角形单元的位移函数为线性函数，则单元内任意一点的的应变分量均为常量，故这类三角形单元称为常应变单元（位移在单元内和边界上为线性变化，应变为常量）2635xyxyuxvyuvyx = = +2013/6/142-2 平面问题的常应变（三角形）单元 4、应力、应变矩阵将位移函数代入平面问题几何方程，得单元内任意一点应变：000 0000 0iixijm jeyijmjxymmuuvxxNN N uvyyNN Nvuvuyx yxv = = + 00 0100 0 2iiijmje eeijm ijmjii j jmmmmuvbb bucc c BBB BvAcbcbc buv =2013/6/142-2 平面问题的常应变（三角形）单元ijmbyy=imjcxx=j mibyy= j i mcxx= mi
