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1、国内图书分类号：0 1 7 5 2 9 西南交通大学 研究生学位论文 密级：公开 = 娄董记! ! 圣亟的阻屋遮壶猩整体鲤在在丝 年 姓 专 二零一一年五月 一令一一牛丑月 C l a s s i f i e dI n d e x ：0 17 5 2 9 S o u t h w e s tJ i a o t o n gU n i v e r s i t y M a s t e rD e g r e eT h e s i s G L O B A LE X I S T E N C E O FS O L U T I O N SF O R D 脚E DW A V EE Q U A T I O NM T
2、 H M E M E O R YT E 刚 G r a d e ：2 0 0 8 C a n d i d a t e ：J i a n l iS h i A c a d e m i cD e g r e eA p p l i e df o r ：M a s t e r SD e g r e e S p e c i a l i t y ：P u r eM a t h e m a t i c s S u p e r v i s o r ：H a nY a n g ( p r o f ) M a y 1 8 2 0 11 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用
3、学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密影使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：万姨勿 指导老师签名： 日期：弘I 绛，；f ；l 昭习 日期：如( 西南交通大学硕士学位论文主要工作( 贡献) 声明 本人在学位论文中所做的主要工作或贡献如下： 本文应用加权能量法在尺”( 1 1 7 3 ) 中研究初值不具有紧支集、
4、带有非线 性记忆项的阻尼波方程的C a u c h y 问题，得到非线性项中的指数P 在一定条 件下时C a u c h y 问题整体解的存在性及其能量衰减估计。 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作 所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中作了明确说明。本人完全了解违反上述声明所引起的一切法律责 任将由本人承担。 学位论文作者签名：万建勿 日期：弘f 睁。g 月刃习 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 本文在R ”中考虑带有非线性记忆项f o s )
5、一7I “( s ) I Pd s 的阻尼波方程的 C a u c h y 问题。在初值不具有紧支集的情况下，对于小初值且空间维数r 3 时 得到在非线性记忆项中P 满足见 0 ) ，其中B ( ，- ) = H 0 成立。 2 2 权函数及加权能量 为了得到方程( 1 1 ) 的先验估计，我们需要对T o d o r o v a Y o r d a n o v 2 4 】提出 的加权能量法进行一定的修正。 因此，我们这里选取 如，= 蒜一。 作为权函数。可以很容易验证，我们这里选取的权函数满足下面几个条件： 仍( ，X ) 0 ，我们可以定义函数空间日( ，) ( 尺”) ： 砩仉，( R
6、”) ：= ff H 1 ( 尺“) ，陋刚，州i + 肛础耵小栩，f o ) 引理2 3 ：令口( g ) = 门( 一) ，假设o p ( g ) o ，V 磁( f J ( R ”) ，则有： 孚( 川) 。1 ”V J I | + l 阢) V ) 斛垆。V V 哐 对任意f 0 成立。 证明：令f = P 即，盯 0 ，则有： V v = e - 即( 夥一o - f v 妒) ， 所以有 e 。妒V v = v f o 祭9 。 由此可得： 西南交通大学硕士研究生学位论文第11 页 8 P 卵V 叫1 2 三：善| d 仃x 印+ c r ! I ：c ：f ：f v 缈l ：出+
7、 I R n f ( V f V 妒) d x c 2 5 ， = 。i 夥1 22 上。2 酬2 出+ 、。 由于 门 = f 则由分部积分可得： 。f ( V f V q , ) d x = 一号。2 卸出 ( 2 q 接下来，由( 2 5 ) ( 2 6 ) 可推出 ”V V 卜f 矿I v 1 2 d x + 仃L 厂2 A r p d x ， 结合( 2 4 ) 式中的最后一条可得想要的结果。 一旦我们有了引理2 4 的结果，引理2 3 的证明就如【11 ，命题2 4 】一样， 因为这里我们仍可在R ”中用G a g l i a r d o N i r e n b e r g 不等式
8、和H 6 1 d e r 不等式。 引理2 3 的证明：令材或( f ) ( R ”) ，当仃( o ，l 】时，由H 6 1 d e r 不等式得： ”V V I J 2 = 删I Re 2 口 V V V V r 引d x I I P 2 d 妒I V V | 2 盯l l v 。I IV 1 2 。一口I l l ，。一仃， ( 2 7 ) = 酬r 护V v 虻 且 I I P 卵V 0 2 = 。P 2 即I V l 2 4I V l 2 一口d x 0 P 2 印l V l 2 。I l l ，。9 V 1 2 。一口0 v 。，一仃， = y 护v 旺 我们注意到，对所有的仃(
9、O ，l 】，V H o ( f ) ( 尺”) 。 因此，由引理2 4 可得：f = e 唧V I - 1 , f ) ( R ”) ，则由G a g l i a r d o N i r e n b e r g 不等式可得： 。- 0 ，定理1 1 在 0 ，T 】上成立即可。为此 我们记 E = V 墨( o ，丁) ( R ”) ：8 1 ，脬K ， 其中K 0 ，T 0 ，且 I I v 0 ；= s u p 。r ，( | I P 妒( ，v ( ，) 0 ：+ I I P 矿，V V ( ，) 8 ：+ 8 P 妒r V ( ，) | f ：) 。 对给定的，E ，定义映射 甲：E
10、 专X l ( 0 ，丁) ( R ”) 使得甜( f ) = ( 甲v ) ( ，) 是下述方程的解( 参考V G e o r g i e v ，G T o d o r o v a 2 9 ，命题2 1 】) K 列) 一叫圳M ( 蹦) = f ( 厂l p 西，( 蹦) 肌( 岫) 。( 2 8 ) 【u ( x ，o ) = U o ( x ) ，U ，( x ，o ) = “l ( x ) ， z R ” 首先，我们说明在初值满足定理1 1 的条件( 初始能量指数衰减) 时， 其线性方程的解的能量衰减。 考虑线性方程 僦v ( O 亲U o 翟描二U 1 印肿。 亿9 ， 【 ，x
11、) =( x ) ，v ( o ，x ) =( x ) 7 、。7 、 。 、 不妨设U C 2 ( 0 ，L ) 尺”) ，并用e 2 妒u ，乘以方程( 2 9 ) 可得： 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 3 页 F - 曼曼寰曼曼曼! 曼曼舅曼曼曼曼曼曼曼曼量舅皇曼曼量曼曼曼鼍曼曼曼曼曼曼雹曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼皇曼曼曼皇曼量曼笪曼罡 v ( v , - A v + v , ) = 丢( 孚( 1 _ 1 2 册I | 2 ) ) - d i V ( e 2 q L V v ) e 仍2 妒, V v - v , V t p 2 + 鲁讹恻2 h 妒 仍 仍 = 0 结合( 2 4
12、 ) 式，由上面的等式可得： 丢( 争m I V V | 2 ) ) - d i V ( e 2 _ v , V v ) 0 充分小时其实是映自身 到自身的：甲：EjE 。 接下来，我们要说明映射甲：EoE 在丁 0 更小的时候是压缩的。为此， 我们取“= 甲( 力，万= 甲( - ) ( u 矿霹K ) ，则W = N 一万是下述方程的解 v ) 一州彬) + ( 纠= r ( 口) ( 吖) 一无( m ) ，( 蹦) 削( 岫)( 2 1 3 ) 1w ( x ，0 ) = w ，( x ，0 ) = 0 ，X R ” 则仿照引理1 证明过程中的等式可得： ”“ 帅( 砸cfLP 2 吣
13、J ( 垢( m s ；, ( I v l P ) ) d x d s 由平均值定理可得 l l V 厂一I 矿f p I p l V 一矿l ( 1 V I + l 矿I ) p 一， ”帅( 罐 p f e e r r x ) 1w ，( f ，x ) I ( r ( f s ) 一7I V ( s ) 一歹( s ) f ( 1 V ( s ) l + l 矿o ) I ) p 一1 幽) 捌f p f 上。r ( 卜s ) - r e 2 伊r x ) f 嵋( 叫) ) 一矿( 洲V ( s ) | + | 矿( s ) 旷d s d x d r p 上f ( f s ) 吖L 。|
14、 w ，( ) 杪川) 一矿( 州V ( s ) | + | 矿( s ) 旷d x d s d f p fr ( r s ) 一7 ( 上。伊1 w ( 硝) 1 2 a x ) j ( L 秒川) 一矿( 5 ) ( s ) 忭( 渺”d x ) j d s d r p 肚m 1w f ( 硝) I | 1 2r ( 卜s ) 一7 ( 。P 2 帅一矿( s ) m ( s ) I + 阳) 俨川d r ) j d s d f 由H 6 1 d e r 不等式得： 西南交通大学硕士研究生学位论文第18 页 J R “ e 2 妒( s x ) l V ( s ) 一矿( s ) 1 2
15、( I V ( s ) l + I 歹( J ) 1 ) 2 P 一1 出 l i a r p ( P 矿I J ，I V ( s ) 一矿( s ) 1 2 ) 【P 妒j J ( I V ( s ) I + l 矿( s ) 1 ) 2 P 一1 l a x “v ，、o f , - f 、r = 小T r e ) ：( v - V ) ( s 她P 孙圳+ l - 1 ) ( 川忆c p = 击， 0 P 矿：巧c ，一矿，c s ，I I ， 由( 2 1 4 ) 式和( 2 15 ) 式可得： P 。帅( 叫l ： P 伊5 - Z 、 7 2 ( p - 1 ) 1 ( I v ( s ) I + I 矿( s ) I ) t P 一， P 1 ( I v ( s ) I + I 矿( s ) 旷。1 蚂胪伽( ，地肛圹7 ”( V 硼牝 由G r o n w a l l 不等式可得： D w ( t ) l l F e l p - 1 ) p e 州- ”弧s ) I 【2 ( 川) 1 ( I v ( s ) I f 。( c f s ，一70 P 妒：巧c ，一矿，c s ，l I ：P c o e 9 j 牦( p 一”】V c s ， ( 2 1 4 ) ( 2
