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1、华东师范大学 硕士学位论文 一类具有负指数非线性边界条件的椭圆方程的研究 姓名：田会军 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：周风 20100501 摘要 中文摘要 本文主要对一类具有负指数非线性边界条件的椭圆方程进行了研究，其应用背 景来源于微机电系统( M E M S ) 工程技术问题在此我们主要讨论方程解的存在性与 系统中参数l 的关系，特别我们将估计使得方程的解存在的A 的最大值l + ，称为“吸 合电压值”：讨论当A 0 表示外界输入的电压强度，( 力0 表示电容率，关于该模型可见文献【2 6 1 2 在文献【1 6 】中，N G h o u s s o u b 与Y J G
2、 o u 主要研究了( 1 2 2 ) 的静态情形，即方程 得到如下结果： 一H = 研7 I f ( x ) x Q 0 0 ，使得如果0 o 妒l 为满足下面方程的第一特征值所对应的 第一特征函数 且s u p 妒l = 1 定理1 3 2 如果0 ，( 力l ，X F l ，且 z F I ，以力 0 J 的测度为正，则 腿筹， 3 渤 腿篇， ( 1 3 3 ) 其中( A l ，妒1 ) 为f J 3 2 J 的第一特征值与对应的正特征函数 定理1 3 3 + 满足如下估计 志s 志， n 3 砷 研丽s 狐丽丽， ( 1 3 4 ) 其中西是满足下面方程的唯一解 第三章主要讨论了极
3、小解的性质，如单调性，稳定性等 定理1 3 4 任给A ( O ，刀) ，S a 存在极小解，- i 己3 0 “山U 关于A 严格单调递增，且其对 应的线性化算子的第一特征值l ( I ，u a ) o ，而S A 的任一非极小古典解对应的线性 化算子的第一特征值l ( A ，H ) A + ，则S 没有弱解 定理1 3 7 S r 只有唯一弱解矿 第二章吸合电压值五奉的存在性及上界估计 2 1吸合电压值的存在性 考虑方程 其中QcR 为有界光滑区域，r l 与r 2 是由一光滑分界面分0 Q 所得的两个部分，t 为正参数，0 厂( 曲1 ，石r l ，且，( 曲不恒为零，以为r l 的单位
4、外法向量 定理2 1 1 存在一个有限值A 0 ，使得 J 如果，t A ，则S A 没有古典解 且满足如下估计? A A l H ( s 1 ) ( s u p ，( 力) 一1 ， ( 2 1 2 ) 7 乙 C ： n n Q X X X Zo等o“ o业o 0 ， 妒I 为满足下面方程的第一特征值所对应的 第一特征函数 且s u p 妒1 = 1 J E Q 证明：令 = s u p A 0IS 至少有一个古典解J ( 2 1 3 ) 我们需要证明当A 0 ，易知“兰0 为S 的下解 下面构造S 且的一个上解 令L F = A 妒l ，其中A 为待定的实数，妒l 为( 2 1 3 )
5、中所选取函数因为S 的解区间 为( 0 ，1 ) ，所以选取0 0 ，在( 0 ，1 ) 上严格单调递增，且为严格凸函数，l 。i m l g ( s ) = ( 2 3 1 8 ) 在( 2 3 5 ) 中用志代替双l 一蝴) 2 作为检验函数，我们可得到对应的l + 的估计，即 丽品州m 叫a x ，志鲋丽上1 孬1 “( 2 3 1 9 ， 当g ( s ) = 正知时，( 2 3 1 9 ) 即为( 2 3 1 ) 第三章极小解的性质 3 1极小解的存在性和单调性 定理3 1 1 任给，l ( 0 ，A ) S 存在一个极小解U l ，即任给U 是S _ 的解，则“蝴，蝴 是由下面方程
6、构造的序列 4 n ( A ，柚) 的极限 = 0 X Q 簪= 尚工r 1 ( 3 1 1 ) Hn=0工I “ 2 0 0 任取A ( A ，r ) ，S A 的极小解记为u ? t ， 即 又因为 O ( u a 一蝴)对( 功五厂( 力 一：= O n ( 1 一u ；t ) 2 ( 1 一u a ) 2 A ，( 曲( 杀杀一矗丽) ( 3 2 3 ) 器( u ；I - u a ) ， 毪掣一器c u a - - u a 2 0 = I 。V l A ( u a u a ) d x J ( 蝴一u , I ) A Y I d x ：五甲。掣d J 毫咱，和 。润 即 正甲掣忙小训鲁
7、缸 2 固 由( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) 及( 3 2 6 ) 可知 l ( u a - u a ) 甲Id s 。 1 6 ( 3 2 7 ) 又由于蝴关于 严格递增，甲l 0 ， 故l a l 0 注：事实上，稳定性是极小解的特征 推论1 如果( A ，“) 是S _ 的古典解，且对应线性化算子的第一特征值p l o ，则 U = U , t 证明：因为蝴是S A 的极小解，故u a ( x ) “( 曲石Q 若存在x o Q 使得u a ( x o ) = u ( x o ) ，由强极大值原理可得“( 曲三u a ( 曲X Q 若u a ( x ) 0 矛盾 故u a (
8、x ) = H ( DJ Q ( 3 2 8 ) 定理3 2 2 任给A ( 0 ，) ，S a 的任一非极小古典解U 线性化算子所对应的第一特征 值1 0 ，。c l ( 蛾吡= 。 ( 3 2 9 ) 取o = 比一H A ，贝H 而 上IV 训2 如一2 器”2 蛇。( 3 2 1 0 ) j 三IV 一1 2 以= 一j ! ： 一( “一出+ 上( “一垫出 = A 上”蝴烈南一南冲 1 7 ( 3 2 11 ) 故由( 3 2 1 0 ) ，( 3 2 1 1 ) 可得 A 上c 洲c 志一志一搿姐 又因为“一纵0 ，f 0 ， 所以 南1U , i ) 2 一志1 一鬻一- (
9、一( 一H ) 2 ( 1 一“) 3 ” 由于g ( “) ：= 而I 乒严格凸， 故 由极大值原理 与题设矛盾 4 1 能量解 u a ( s ) 三“( s )s F 1 u a ( x ) 兰“( 力工Q ， 第四章A = 五奉时解的性质 ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) ( 3 2 1 4 ) ( 3 2 1 5 ) 定义4 11 我们称“是方程s _ 的能量解，如果“日1 ( Q ) ，罄涛L 1 ( r I ) ，且 LV u 即出= 五正器础，妒c l ( 蛾岫= 。 ( 4 1 1 ) 记H 暑 1 i m 小蝴，其中蝴为S a 的极小解 定理4 1 1 U +
10、 是S a 的能量解 证明：由蝴的稳定性可知： A f r , 2 f ( s ) 芦H ；蜒上IV 川2 血= A j ：器血 当0 0 ，从而1 4 1 之0 ，U 2 0 注：如果h 是光滑函数，则方程 A u = 0x Q 雾= hz r l “= 0 工r 2 的解H 7 一，故引理4 2 2 中的“l ，“2 分别对应于U 在Q 与F l 上的限制 ( 4 2 1 4 ) 定义4 2 2 我们称U l L 1 ) ，U 2 LJ ( r 1 ) 是似2 1 4 ) 的弱解，如果U l ，U 2 满足一2 锻 为在后文中叙述方便，用“L 1 ( Q ) 或“L l ( r I ) 代
11、替U l ，U 2 为一2 1 4 ) 的弱解 定义4 2 3 我们称“L 1 ( r 1 ) 是2 1 4 ) 的弱上解如果 j ：小以+ - h u + U 笔n ) d s 。孵m 0 ( 4 2 1 5 ) 回到我们原来考虑的问题 定义4 2 4 我们称“L 1 ( r o 是s a 的弱解，如果罄毒乓( r 1 ) 且满足定义3 ，其中h 换成器 引理4 2 3 如果H 日1 ( Q ) 是S l 的弱解则任给A 7 ( O ，A ) ，S ，存在古典解 D 2 C ： n n Q X 工 X X o删丽o “ o监o 0 记“用是下面方程的日1 ( Q ) 解 A u m = 0
12、工Q 鲁= g m ，石r l “m = 0X r 2 ， ! I ! U U m 一“1 ( n ) 一0 ，“埘一“l I r , ( r I ) 一0 以( 蹦m 为检验函数，其中妒c 1 ( n ) ，妒0 ，则 L V U m ( 西”( V u r a o + O ( V 洲J 一上叭g m 虻。 因为”0 ，妒0 ，由( 4 2 2 0 ) 可得 上V ( ( m ) ) 即出上叭“研) 踟缸 J Q J r | 因为中r ，所以由控制收敛定理易知 = v ( m ( “m ) ) v 妒d 工_ = v ( ) ) v 妒毗 Q J Q 上叭“坍塘m d s 一正锄) g 以
13、( 4 2 1 8 ) ( 4 2 1 9 ) ( 4 2 2 0 ) ( 4 2 2 1 ) ( 4 2 2 2 ) ( 4 2 2 3 ) 令g ( s ) = 研1 ，G ( “) = F ；i ；j 1 d s 任给彳( o ，A ) ，定义G ( ( “) ) = 筹G ( H ) ，则 卿m 1 = 等 丽+ 百j 矿 ) 所以 “( 工) 暑u a ( s ) a eF 1 但蝴I l L * f r 。) l l r ( 曲+ c 故I ，即为( 4 3 2 1 ) 的弱上解 引理4 3 5 取E 1 ( 0 ，n 则方程 ( 4 3 2 3 ) ( 4 3 2 4 ) ( 4
14、 3 2 5 ) ( 4 3 2 6 ) Au鸳0z Q 爱嚣承甜) + c l j r 1 ( 4 3 2 7 ) “=0 石r 2 0 巩，或者l P 韪，则方程( 1 2 6 ) 的极限解矿r ( Q ) 但是对Q 是更一般的区域所知道的结果就很少 综上所知对方程( 1 2 3 ) 与方程( 1 2 6 ) 极限解的正则性还有许多可以研究的问 题 3 2 参考文献 【1 】A A z z a m ，S m o o t h n e s sp r o p e r t i e so fs o l u t i o no fm i x e db o u n d a r yv a l u ep r
15、o b l e m sf o re l l i p t i c e q u a t i o nf o rs e c t i o n a l l ys m o t hn - d i m e n s i o n a ld o m a i n s ，A n n P o l o n M a t h 4 0 ( 1 9 8 1 ) ，8 1 9 3 【2 】A A z z a ma n dE K r e y s z i g ，O ns o l u t i o n so fe l l i p f i ce q u a t i o n ss a t i s f y i n gm i x e db o u n d a r yc o n d i - t i o n s ，S L J ，M a t
