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1、 第十一章全等三角形一、知识点：本章主要内容：全等三角形的性质；三角形全等的判定；角的平分线的性质. 本章重点：探究三角形全等的条件和角的平分线的性质.难点：三角形全等的判定方法及应用；角的平分线的性质及应用.基础知识梳理1 全等三角形：1.全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形。全等三角形的有关概念：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。表示：ABCDEF教材P3一句话：2.三角形全等的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。全等三角形对应边上的中线、高、对应角平分线相等。全等三角形的周长、面积相等。3.全等三
2、角形的判定：SAS，ASA，AAS，SSS，HL（直角三角形）特别提醒: “有两个角和一边分别相等的两个三角形全等”这句话正确吗?由于没有“对应”二字，结论不一定正确，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等.4.尺规作图：（1）作一个角等于已知角（教材P7_8）：步骤（2）作已知角的平分线（教材P19）：步骤3角平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线的判定：教的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内
3、角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。二、经验与提示1寻找全等三角形对应边、对应角的规律： 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角 有公共边的，公共边一定是对应边 有公共角的，公共角一定是对应角 有对顶角的，对顶角是对应角全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角)2找全等三角形的方法（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两
4、个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。3角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段。4证明线段相等的方法： （1）中点定义；（2）等式的性质；（3）全等三角形的对应边相等；（4）借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。随着知识深化，今后还有其它方法。5证明角相等的方法： （1） 对顶角相等；（2） 同角（或等角）的余角（或补角）相等；（3） 两直线平行，同位角、内错角相等；（4） 角的平分线定义；（5） 等式的性质；（6） 垂直的定义；（7） 全等三角形的对应角相等；（8） 三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。随着知识的深化，今后还有其它的方法
5、。6证垂直的常用方法（1） 证明两直线的夹角等于90；（2） 证明邻补角相等；（3） 若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；（4） 垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。（5） 证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；（6） 邻补角的平分线互相垂直。7全等三角形中几个重要结论（1） 全等三角形对应角的平分线相等；（2） 全等三角形对应边上的中线相等；（3） 全等三角形对应边上的高相等。三、典型例题题型一 运用全等三角形的性质解决角度和边的长度问题例1（基础题）已知ABCDEF，且A=52，B=7131，DE=8.5 cm，求F的大小与AB的长.分析:由三角形的内角和可求出C的度数
6、，根据两个三角形全等，对应角相等、对应边相等，即可求出F的大小和AB的长. 解: 在ABC中，A+B+C=180（三角形的内角和等于180）， C=180-（A+B）=180-（52+7131）=5629. ABCDEF，DE=8.5 cm， F=C=5629，AB=DE=8.5 cm.小结：本题是全等三角形的性质与三角形内角和定理的综合题，要求F和AB，可先找F的对应角C和AB的对应边DE，再根据全等三角形的性质求值. 题型二 利用全等变换解决几何问题例2 （提高题）如图所示，图中是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到DEF.如果AB8 cm，BE=4 cm，DH3
7、cm，则图中阴影部分面积为 。即时练习 如图1所示，长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在BA边上，得点C，使CEB40，求EDC的度数.1. （2009海南中考）5. 已知图2中的两个三角形全等，则的度数是A72B60C58D50图2c58ba7250ca2.3.2、三角形全等是证明线段相等、角相等最基本、最常用的方法。例题1、如图：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MCEDCAB例题2、已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD3、当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分
8、线性质去证线段相等例题3、已知B=E=90，CE=CB，ABCD.求证：ADC是等腰三角形例题4、已知：如图，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，DB=DC，求证：EB=FC4、证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“割长”、“补短”等方法例题5、如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，求证AB=AC+BD ACEBD提示：要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：（1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）（2）、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）三、你能用尺
9、规进行下面几种作图吗？1、已知三边作三角形2、作一个角等于已知角3、已知两边和它们的夹角作三角形4、已知两角和它们的夹边作三角形5、已知斜边和一直角边作直角三角形6、作角的平分线四、学以致用1、如图：在ABC中，C =90，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。4321EDCBA2、如图，已知E在AB上，1=2， 3=4，那么AC等于AD吗？为什么？GFEDCBA3、如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF 已知：EGAF，_，_ 求证
10、：_4、如图，在RABC中，ACB=45，BAC=90，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.一.选择题(每题3分,共39分)1. 两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（ ）A. 两角和其中一角的对边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边2. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A. 一锐角对应相等 B. 两锐角对应相等 C.一条边对应相等D.两直角边对应相等3. 假如两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（ ）A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 不一定全等 D.
11、 面积相等4. 如图，ABCBAD，点A和点B，点C和点D是对应点，假如AB=6cm，BD=5cm，AD=4cm，那么BC的长是( )A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 无法确定5. 如图， ABEACD，AB=AC，BE=CD，B=500，AEC=1200，则DAC的度数等于( )A. 1200 B. 700 C. 600 D.5006. 某同学把一块三角形的玻璃打坏成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是( )A. 带去 B. 带去 C. 带去 D. 都带去7. 在ABC和ABC中，已知A=A，AB= AB，在下面判定中错误的是( )A. 若添加条件AC=
12、AC，则ABC ABCB. 若添加条件BC=BC，则ABC ABCC. 若添加条件B=B，则ABC ABCD. 若添加条件C=C，则ABC ABC8. 在ABC和ABC中，AB= AB,BC= BC,AC= AC，A=A，B=B，C=C，则下列条件组不能保证ABCABC的是( )A. B. C. D.9下列各组条件中，能判定ABCDEF的是( )AAB=DE，BC=EF，A=DBA=D，C=F，AC=EFCAB=DE，BC=EF，ABC的周长= DEF的周长DA=D，B=E，C=F10. 在ABC和ABC中, AB= AB, B=B, 补充条件后仍不一定能保证ABCABC, 则补充的这个条件是
13、( )ABC= BC BA=A CAC= AC DC=C11. 如图，已知AB=DC，AD=BC，E、F在DB上，且BF=DE，若AEB=1200，ADB=300，则BCF= ( )A. 150 B.40 C.80 D. 9012. 如图，1=2，3=4，那么下列结论中不正确的是( )A. BD=CD B. AB=AC C. BE=CE D. 3=1 213. 如图ABBC，BEAC，1=2，AD=AB，则 （ ）A. 1=EFD B. BE=EC C. BF=DF=CD D. FDBC二、填空题(每小题3分，共39分)14. 如图，AC，BD相交于点O，AOBCOD，A=C，则其他对应角分别为 ，对应边分别为 .15. 如图，在ABC中，C=900，AD平分BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离.16. 如图，1=2，要使ABEACE，还需添加的一
