《高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法课件新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法课件新人教a版（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四讲 用数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法,【自主预习】 1.数学归纳法的定义 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的 所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当_时命题成立.,n=n0,(2)假设当_时命题成立,证明_ 时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.,n=k(kN+,且kn0),n=k+1,2.数学归纳法的步骤,【即时小测】 1.下列四个判断中,正确的是 ( ) A.式子1+k+k2+kn(nN*)当n=1时为1 B.式子1+k+k2+kn-1(nN*)当n=1时为1+k,C.式
2、子 (nN*)当n=1时为 D.设f(n)= (nN*),则f(k+1)=,【解析】选C.A.式子1+k+k2+kn(nN*)当n=1时应为 1+k,故A不正确;B.式子1+k+k2+kn-1(nN*)当n=1时 应为1,故B不正确;C.式子 (nN*) 当n=1时为 正确; D.设f(n)= (nN*),则f(k+1)= 故D不正确.,2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)(n+n) =2n13(2n-1)”,当“n从k到k+1”左端需 增乘的代数式为( ) A.2k+1 B.2(2k+1),【解析】选B.当n=k时,左端=(k+1)(k+2)(k+3)(2k), 当n=k+1时,左端=
3、(k+2)(k+3)(2k)(2k+1)(2k+2), 故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为 =2(2k+1).,【知识探究】 探究点 数学归纳法 1.数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1? 提示:不一定.,2.在用数学归纳法证明数学命题时,只有第一步或只有 第二步可以吗?为什么? 提示:不可以.这两个步骤缺一不可,只完成步骤而缺 少步骤,就作出判断可能得出不正确的结论.因为单 靠步骤,无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否 正确,我们无法判定.同样,只有步骤而缺少步骤时,也可能得出不正确的结论,缺少步骤这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤也就没有意义了.,【归纳总结】 1.数
4、学归纳法的适用范围 数学归纳法可以证明与正整数有关的命题,但是,并不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明.,2.数学归纳法中两步的作用 在数学归纳法中第一步“验证n=n0时命题成立”是奠基,是推理证明的基础,第二步是假设与递推,保证了推理的延续性.,3.运用数学归纳法的关键 运用归纳假设是关键,在使用归纳假设时,应分析p(k)与p(k+1)的差异与联系,利用拆、添、并、放、缩等手段,或从归纳假设出发,从p(k+1)中分离出p(k)再进行局部调整.,类型一 利用数学归纳法证明恒等式 【典例】已知数列an满足a1=1,an=3n-1+an-1 (n2,nN+) (1)求a2,a3
5、. (2)求证:an=,【解题探究】本例中当n=k+1时,ak+1与ak的关系式是什么? 提示:由an=3n-1+an-1可知ak+1=3k+ak.,【解析】(1)由a1=1,得a2=3+1=4,a3=32+4=13. (2)用数学归纳法证明: 当n=1时,a1=1= ,所以命题成立. 假设n=k(kN+,k1)时命题成立,即ak= , 那么当n=k+1时, ak+1=ak+3k=,即n=k+1时,命题也成立. 由知命题对nN+都成立.,【方法技巧】利用数学归纳法证明恒等式的注意点 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要准确表达n=n0时命题的形式,二是要准确把握由n=k到n=k+1
6、时,命题结构的变化特点.并且一定要记住:在证明n=k+1成立时,必须使用归纳假设.,【变式训练】1.用数学归纳法证明“1+a+a2+an+1 = a1,nN*”,在验证n=1成立时,左边计算 所得项是 ( ) A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 【解析】选C.因为n=1时,n+1=2,所以左边计算所得 项是1+a+a2,2.看下面的证明是否正确,如果不正确,指出错误的原 因,并加以改正. 用数学归纳法证明: 1-2+4-8+(-1)n-12n-1=(-1)n-1 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边= =1,等式成立.,(2)假设n=k时,等式成立,即1-2+4-8
7、+(-1)k-12k-1 =(-1)k-1 则当n=k+1时,有 1-2+4-8+(-1)k-12k-1+(-1)k2k,这就是说,当n=k+1时,等式也成立. 由(1)与(2)知,对任意nN+等式成立.,【解析】从上面的证明过程可以看出,是用数学归纳法证明等式成立.在第二步中,证n=k+1时没有用上假设,而是直接利用等比数列的求和公式,这是错误的.第二步正确证法应为:,当n=k+1时,1-2+4-8+(-1)k-12k-1+(-1)k2k =(-1)k-1 +(-1)k2k =-(-1)k +(-1)k2k+ = 即当n=k+1时,等式也成立.,类型二 利用数学归纳法证明整除问题 【典例】设
8、xN+,nN+,求证:xn+2+(x+1)2n+1能被x2+x+1整除.,【解题探究】证明一个与n有关的式子f(n)能被另一个数m(或一个代数式g(m)整除的关键是什么? 提示:关键是找到f(k+1)与f(k)的关系,设法找到被除式中分解出的(x2+x+1).,【证明】(1)当n=1时,x3+(x+1)3=x+(x+1)x2-x(x+1)+(x+1)2=(2x+1)(x2+x+1),结论成立. (2)假设n=k时,结论成立,即xk+2+(x+1)2k+1能被x2+x+1整除,那么当n=k+1时,x(k+1)+2+(x+1)2(k+1)+1=xxk+2+(x+1)2(x+1)2k+1 =xxk+
9、2+(x+1)2k+1+(x+1)2(x+1)2k+1-x(x+1)2k+1 =xxk+2+(x+1)2k+1+(x2+x+1)(x+1)2k+1. 由假设知,xk+2+(x+1)2k+1及x2+x+1均能被x2+x+1整除,故x(k+1)+2+(x+1)2(k+1)+1能被x2+x+1整除,即n=k+1时,结论也成立. 由(1)(2)知,原结论成立.,【延伸探究】 1.若将本例中的代数式xn+2+(x+1)2n+1和x2+x+1分别改为42n+1+3n+2和13,如何证明?,【证明】(1)当n=1时,421+1+31+2=91能被13整除. (2)假设当n=k时,42k+1+3k+2能被13
10、整除,则当n=k+1时, 42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+13 =42k+113+3(42k+1+3k+2) 因为42k+113能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除,所以当n=k+1时结论也成立. 由(1)(2)知,当nN*时,42n+1+3n+2能被13整除.,2.若把本例改为求证:两个连续正整数的积能被2整除. 【证明】设nN+,则要证明n(n+1)能被2整除. (1)当n=1时,1(1+1)=2,能被2整除,即命题成立.,(2)假设n=k(k1,kN+)时,命题成立,即k(k+1)能被2整除.那么当n=k+1时, (k+1)(k+
11、1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1), 由归纳假设知k(k+1)及2(k+1)都能被2整除.,所以(k+1)(k+2)能被2整除.故n=k+1时命题也成立. 由(1)(2)可知,命题对一切nN+都成立.,【方法技巧】用数学归纳法证明整除问题的关键点 (1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论,从而利用归纳假设使问题获证.,(2)与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明,其中关键问题是从n=k+1时的表达式中分解出n=k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式.,【变式训练】 1.用数学归纳法证明“nN*
12、,n(n+1)(2n+1)能被6整除”时,某同学证法如下: (1)n=1时123=6能被6整除, 所以n=1时命题成立.,(2)假设n=k时成立,即k(k+1)(2k+1)能被6整除,那么n=k+1时, (k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(k+2)k+(k+3) =k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3).,因为k,k+1,k+2和k+1,k+2,k+3分别是三个连续自然数. 所以其积能被6整除.故n=k+1时命题成立. 综合(1),(2),对一切nN*,n(n+1)(2n+1)能被6整除. 这种证明不是数学归纳法,主要原因是_.,【解析】由证明过程知,在证明当n=k+
13、1命题成立的过程中,没有应用归纳假设,故不是数学归纳法. 答案:在证明当n=k+1命题成立的过程中没有应用归纳假设,2.证明:62n-1+1能被7整除(nN+). 【证明】(1)当n=1时,62-1+1=7能被7整除. (2)假设当n=k(kN+)时,62k-1+1能被7整除. 那么当n=k+1时,62(k+1)-1+1=62k-1+2+1 =36(62k-1+1)-35.,因为62k-1+1能被7整除,35也能被7整除, 所以当n=k+1时,62(k+1)-1+1能被7整除. 由(1),(2)知命题成立.,类型三 用数学归纳法证明几何问题 【典例】平面上有n(nN+,n2)条直线,其中任意
14、两条直线不平行,任意三条直线不过同一点, 求证:这n条直线共有f(n)= 个交点.,【解题探究】本例中的初始值应该验证哪个值? 提示:题中的初始值验证应该结合题目中的n2,所以需要验证n=2.,【证明】(1)当n=2时,两条不平行的直线共有1个交点, 而f(2)= =1,所以命题成立. (2)假设当n=k(k2,且kN+)时命题成立,就是该平 面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)= k(k-1),则当n=k+1时,任取其中一条直线记为l,如图,剩下的k条直线为l1,l2,lk. 由归纳假设知,它们之间的交点个数为f(k)= .,由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点, 所以直线
15、l与l1,l2,l3,lk的交点共有k个. 所以f(k+1)=f(k)+k= 所以当n=k+1时命题成立. 由(1)(2)可知,命题对一切nN+且n2都成立.,【延伸探究】本例中若把条件“n2”删掉,其余不变, 你能证明这n条直线把平面分成f(n)= 个部分吗?,【证明】(1)当n=1时,一条直线把平面分成两部分, 而f(1)= =2,所以命题成立. (2)假设当n=k(k1)时命题成立,即k条直线把平面 分成f(k)= 个部分.,则当n=k+1时,即增加一条直线l,因为任何两条直线都相交,所以l与k条直线都相交,有k个交点;又因为任何三条直线不共点,所以这k个交点不同于k条直线的交点,且k个交点也互不相同,如此k个交点把直线l分成(k+1)段,每一段把它所在的平面区域分成两部分,故新增加了(k+1)个部分.,因为f(k+1)=f(k)+k+1= +k+1 = = , 所以当n=k+1时,命题成立. 由(1)(2)可知,当nN+时,命题成立.,【方法技巧】利用数学归纳法证明几何问题的技巧 (1)几何问题常常是先探索出满足条件的公式,然后加以证明,探索的方法是由特殊n=1,2,3,猜出一般结论.,(2)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚n=k与n=k+1时二者的差异,这
