《一类含单参数三次hamilton系统在多项式扰动下极限环个数的估计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一类含单参数三次hamilton系统在多项式扰动下极限环个数的估计（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、天津师范大学 硕士学位论文 一类含单参数三次Hamilton系统在多项式扰动下极限环个数的 估计 姓名：李至佳 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：李宝毅 20090301 一类含单参数三次H a m i l t o n 系统在多项式扰动下 极限环个数的估计 摘要 对于一类在多项式扰动下的H a m i l t o n 系统，由于其M e l n i k o v 函数孤立零点个数与其分 支出极限环的个数密切相关，所以确定M e l n i k o v 函数孤立零点个数的上界，是当今分支理 论研究的热门课题之一本文主要讨论了一类含单参数的具有双同宿轨的H a m i l t o n 向
2、量场 在多项式扰动下M e l n i k o v 函数孤立零点个数的估计问题，考虑系统 f 戈= Y + e P ( x ，) ，) 1 夕：一( ，+ 6 ，一力+ Q ( 五力， 其中b 为小参数，f 为扰动参数，0 0 在r t 次多项式扰动下，分支出极限环个数的上界B ( 3 ，1 ) n “；_ ，l 】+ l ；当 茄M “ f ( h ，易) I 扣。拿0 ( 嚣M f ( 磊，易) 1 6 = o 菩o ) 时，双同宿轨的内侧小环族期= l “力| 曰瓴力 0 ( 扪= f y ) l n ( x ，力 0 ) 附近至多分支出n 个极限环 ( 3 ) 李今明1 9 】运用A
3、b e l 积分之比的单调性和P i c a r d F u c h s 方程，研究了系统 扣y l 夕= 一( x 3 + 易p z ) 一E ( a l + a 2 z + x 2 ) y ， 其中b 0 ，f 为扰动参数，a j = a i ( e ) ( i = 1 ，2 ，3 ) 为E 的解析函数时的全局分支，得出在周期 闭轨族期( h 2 0 ，E 为扰动参数，a f = a i ( ) ( f = 1 ，2 ，3 ) 为的解析函数时，在同宿轨附近可以分支 出4 个极限环并给出了它们的分布 ( 5 ) 尚德生教授、韩茂安教授 2 1 1 研究了系统 ，拈y l 夕= 一( x 3
4、+ 易P 一曲一E ( 口l + a 2 工+ a 3 F + a 4 p + a s x 4 ) y ， 其中b 0 ，E 为扰动参数，a j = a i ( e ) ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 为的解析函数时，在同宿轨附近可以 分支出5 个极限环并给出了它们的分布 本文考虑系统( 1 5 ) 。，当b = 0 时即为文【1 8 所研究的系统( 1 6 ) 。，这将为研究系统( 1 5 ) f 带来极大的便利 研究含参数的H a m i l t o n 向量场的扰动系统时，将后继函数关于扰动项f 展成M e l n i k o v 函数，然后将各阶M e l n i k o
5、v 函数再关于参数b 展开即 破( J l ，易) = P f ( | z ，b ) 一h = E M l ( ，b ) + e - 2 M E ( h ，6 ) + = E 【M l ( 鬼。) + 6 未M l ( J I l ，圳脚+ 虿b 2 面0 2 膨l ( ，圳脚+ 】 + F M 2 ( J I l ，。) + 6 未鸩( | l ，酬6 卸+ 虿b 2 面0 2 尥( ，圳6 = o + 】+ ， 依据此展式，本文在第三章给出了当h 0 和h 2 0 ) 上，当M l ( h ，b ) 善0 时，扰动系统( 1 5 ) c 的一阶M e l n i k o v 函数的孤立零点
6、个数不超过3 ，分支出极限环的个数不超过3 ；当M l ( J l ，易) 兰0 而9 2 ( h ，易) 0 时，扰动系统( 1 5 ) 。的二阶M e l n i k o v 函数的孤立零点个数不超过5 ，分支出极限环的个数不 超过5 ；当M l ( h ，6 ) 兰M 2 ( | l ，6 ) 兰0 时，扰动系统( 1 5 ) 的高阶M e l n i k o v 函数尬( J l ，6 ) O 3 ) 都恒为零所以，当，l = 3 时，扰动系统( 1 5 ) f 极限环的个数不超过5 定理Zn=4N - 在r + ( | I l ，易) ( h 2 0 时，F ( h ，6 ) 是围绕
7、三个奇点及F ( o ，的闭轨；当h O + 时，r ( ) 缩 小成双同宿轨r ( o ，6 ) 在n 次多项式扰动下，系统在周期闭轨族附近分支出极限环将只包含奇点A 的极限环 族称为左小环族，只包含奇点B 的极限环族称为右小环族，三个奇点都被包含在内的极限 环族称为大环族 为表述系统( 1 6 ) 。A b e l 积分记： 易( J 1 1 ) = 正d x , 五( J 1 1 ) = ：e y ( i x ，= 氟。期等d x ( h o ) i = 0 ，1 ，2 ，； ( ，1 ) 2 如期x 。y d x = ( 一1 ) 如期x i y jd J ，譬( 忍) 2 坛一yd
8、z = ( 一1 ) 毛西x y d x , 露2 晚期爹d x ( 一 2 ( 一i 1 慨歪。期y 均五 ，毛( - - 1 慨晚等加：冰扣1z 川，- 吒等如 = ( 一三) P ：“。垒皇兰写杰等 2 i + 2 o J I ( o ) = p 垂x 2 i + 6 k ( 2 h + x 2 _ 圭x 4 ) j y d z = ，p 疋p 缺淼胪( 一乏1 ) y x 4 ) y d x 2 i + 幻+ 1 + 4 k s n ，j o 。I ( a + f l + y = j 一7 一 = p ( 2 h ) 。圣尹6 “靴y 毗 令m = i + 3 k + 卢- I - 2
9、 9 ，l j ：l 得 p 龟x 2 i + 6 k ) ，聃1 把 p ( 2 h ) 由引理3 1 ，可得 p 唾，脓) ，2 川如= 拟砒地2 ，2 k ) ( h ) 2 ， 其中B ( o ，2 的( J 1 1 ) 和B ( 2 ，妁( ) 是关于h 的多项式，d e g B ( o ，2 p ( 矗) 【丁n - k - I 】，d e g B ( 2 ，狮( J 1 1 ) 【T n - k - 2 】 因为m = i + 3 k + 卢+ 2 y i + 3 七+ 2 ( 卢+ y ) 2 ( i + ，一口) + 3 k ，l k 一1 2 a , ，根据弓I 理 3 1
10、 可知d e g B ( o , 2 k ) ( h ) 【警】+ 口【T n - k - I 】，d e g B ( 2 ，2 七) ( ) 【孚】+ 口 坐：笋垒】 所以 02kM,(h,b)=薯纽坐趔菘筹型丝咖舶)110b2kIb=O(4h(14 h ) ) 2 k l ( 州啪 =， 一十D，n，、I，正 n1 - D ， “I n ， 二一 + 一 。一w “”7 ”。一、“”7 ：2yk-I(4h(1+4h)lA(i+3k,4历k_(2l+j1)(h)Io+B(i+3k,4k-(21+1)(一h)12+B(0，戤)(Iz)而+B(2，2七)(h)124h =，一十D ，n ，正，上
11、n 十D ，n 台 ( ( 1 + 4 h ) ) 2 k “小7 。忡“ 5 丽南萨 【丢( 4 以1 + 4 h ) ) t A ( 袱胛M 棚) + ( 4 以1 + 4 脚严硝助捣+ 【芝二( 4 h ( 1 + 4 J 1 ) ) 7 B ( f + 3 t 4 一( 2 件1 ) ) ( 矗) + ( 4 h ( 1 + 4 矗) ) 2 七甄2 ，2 七) ( ) 】如l 2 丽雨1 萨哺瑚( h ) l o + 矿( J l m 且d e 爱名狮( | 1 ) m a x l d e g A ( f + 3 女，2 ( 2 t 1 ) + l ，2 + d e g A ( f
12、+ 3 七，2 ( 烈，_ 2 ) + 1 ) ，2 l + d e g A ( i + 3 七，2 ( 2 b 由+ I ) ，4 七一 2 + d e g A l ，4 k + d e g B ( o ，撕l 【华】， d P 爱疋撕( ) m a x l d e g B ( f + 3 七2 ( 2 七一1 ) + l 2 + d e g B t f + 3 七，2 ( 2 t 一2 ) + 1 ) ，2 l + d e g B ( i + 3 k , 2 ( 2 k - O + 1 ) ，4 七一 2 + d e g B l ，4 k + d e g B ( 2 , 2 七) 【n +
13、 _ 7 k 广- 一2 】 1 5 b ) 当m = 2 k + 1 时， a 驮+ 1 M i ( h , b ) l ：丽a 2 k + 1 附_ l = ，u 盟I 皓 = 一，：= ，：一l = a 易2 女+ 1 二? 川厂V 厶“o 1 6 = l + ，s ni + i Oa + 争叶= j p ( 2 h ) 口q 6 ，脓+ 秘州妒五 J V ( h , m 1 6 放 令m = i + 3 k + 卢+ 2 y + 2 ，可得 由引理3 1 可得 Pq b ，件触+ 4 y 2 j + 1 d x = J l t h , o ) 2 i + 2 j + 4 + 4 k n
14、 ，j O p ( 2 h ) 口h m ， 2 i + 2 j + 4 + 4 k s n ，j 0a + f l + y = j P x 2 件6 “) ，2 1 d x = B ( o 放+ 1 ) o + B ( 2 m + 1 ) 如， J r ( o ) 其中曰( 0 ，款+ 1 ) 和B ( 2 ，2 k + 1 ) 是关于h 的多项式，d e gB ( o ，2 “1 ) ( ) 【字 ，d e gB ( 2 ，2 k + 1 ) ( ) 【字】 因为m = f + 3 k + p + 2 y + 2sf + 3 七+ 2 ( p + 咖+ 2s2 ( i + 歹一口) + 3
15、 七+ 2 n k 一2 2 口， 根据弓I 理3 1 可知d e g B ( o , 2 七+ 1 ) ( ) 警】+ 口【n - 丁k - 一2 】，d e g B ( 2 ，2 “1 ) ( ) 【譬】+ 口【丁n - k - 3 】 所以 + B ( o ，2 k + 1 ) ( h ) I o + B ( 2 2 k + 1 ) ( h ) 1 2 ：曼塑竺燮l 堑锷筹鼎结墅塑趔I B(o,2k+1)(h)Io4-I 蚺：洲泐n 厶i = = ， 一-，I，1LI、I I1 台 ( 4 J l z ( 1 + 4 | l z ) ) 2 “1 u 瑚”小。 ( 4 h ( 1 + 4 | l z ) ) 2 2 + l 2 k 【( 4 矗( 1 + 4 J l z ) ) 么( f + 3 “2 2 ( 2 膏一肛1 ) ( J l z ) + ( 4 h ( 1 + 4 J l z ) ) 撕1 B ( 。，2 k + 1 ) ( z ) 】南+ 1 = 0 2 k Z ( 4 h
