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1、XXXX大学2011-2012学年第一学期本科试卷答案 学 院: 专 业: 学号: 姓名: 装订线 学院课程名称:高等数学(一、一）（期中考试）一、填空题（每小题2分,共20分）1.数列的一般项 . 答：.2. 极限 .答：.3. 极限 .答：.4. 设函数，则 . 答：0.5. 函数的导数 .答:. 注：答为不给分6. 已知，则 . 答:.7. 已知, 则 . 答: . 注：答为扣1分8.当时，如果与为等价无穷小，则 .答:.9. 若函数在上连续，则 .答:.10. 设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，根据拉格朗日定理，则在开区间内至少存在一点，使得= .答:.二、单项选择题（每小题3分,
2、共18分）1. 若极限，而数列有界，则数列（ ）. (A) 收敛于0； (B) 收敛于； (C) 发散； (D) 收敛性不能确定.2. 是函数的（ C ）间断点. (A) 可去； (B) 跳跃； (C) 无穷； (D) 振荡.3设函数，则（ C ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .4若函数、都可导，设，则（ B ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .5若函数与对于开区间内的每一点都有，则在开区间内必有（ D ）(其中为任意常数).(A) ； (B) ； (C) ； (D) .6下列函数中，在区间上满足罗尔定理条件的是（ A ）. (A) ； (B) ； (C) ； (
3、D) . 三、求下列极限（每小题6分,共24分）1. .解： (2分). (6分)2. 解： (4分) (6分)3. 解：原式= (3分)(6分)4. 解：设，(1分) 则， ； (2分) ，(3分)因为，(4分)由夹逼定理. (6分)四. 求导数或微分（每小题6分,共18分）1已知,求解： (4分). (6分)求由参数方程所确定的函数的导数.解： (2分) .(6分)3. 设函数由方程确定, 求在处的切线方程.解：当(1分)方程两边对求导，有，(3分)得(4分)所以, . (5分)因此,所求的切线方程为. (6分)五.（8分）已知函数 在点可导, 求常数的值.解：要使在处可导，必须在处连续，
4、(1分)而；.(2分)由，有. (3分)又 ，(4分).(5分)由在处可导，有(6分), 得.(7分)故当时，函数在处可导. (8分)六证明题（12分）若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且,. 证明: (1) 存在，使得; (2) 存在两个不同的点,使得.证明：(1) 令, (1分)则在上连续, (2分)又，(3分)，由零点定理知,存在,使得(5分), 即.(6分)(2)分别在和上应用拉格朗日中值定理 (7分),存在,使得, (9分), (11分)因此. (12分)附加题（10分,不计入总成绩，只作为参考） 如果和满足下列三个条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）对任意，
5、均有则存在一点，使得证明：令.(2分)因为在闭区间上连续，在开区间内可导，且,(3分)由罗尔定理, 存在一点,使得. (5分)由于, (6分)所以,(8分)整理,得 .(10分)大一上学期高数期末考试卷一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. .（A） （B）（C） （D）不可导.2. . （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小； （D）是比高阶的无穷小. 3. 若，其中在区间上二阶可导且，则（ ）.（A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也
6、不是曲线的拐点。4.（A） （B）（C） （D）.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. .6. .7. .8. .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数由方程确定，求以及.10.11.12. 设函数连续，且，为常数. 求并讨论在处的连续性.13. 求微分方程满足的解. 四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x 轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A；(2)
7、 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.17. 设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. . 6.7. . 8.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 解：方程两边求导 ，10. 解：11. 解：12. 解：由，知。 ，在处连续。13. 解： ，四、 解答题（本大题10分）14. 解：由已知且，
8、将此方程关于求导得特征方程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为：五、解答题（本大题10分）15. 解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16. 证明：故有： 证毕。17.证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上可导。，且由题设，有，有，由积分中值定理，存在，使即综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在和，使及，即. 第 13 页 （共 14 页）
