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1、国内图书分类号：T P 3 0 1 6 国际图书分类号：6 2 1 3 西南交通大学 研究生学位论文 密级：公开 三维复子空间中的量子搜索和多相位匹配研究 年级三QQ 盍级 姓名全塞鎏 申请学位级别堕 专业让篡扭廑旦堇苤 指导教师陵囱丕熬援 二零一一年三月一日 弋气 f步 C l a s s i f i e dI n d e x ：T P 3 01 6 U D C ：6 2 1 3 S o u t h w e s tJ i a o t o n gU n i v e r s i t y D o c t o r D e g r e eD i s s e r t a t i o n I N V E
2、S T I G A T I O NO FT H EQ U A N T U MS E A R C H I N GI NA T H R E E D I M E N S I o N A LC O M P L E XS U B S P A C EA N DT H E M U L T I P H A S EM A T C H I N G G r a d e ：2 0 0 6 C a n d i d a t e ：W e n l i a n gJ i n A c a d e m i cD e g r e eA p p l i e df o r ：D o c t o rD e g r e e S p e c
3、 i a l i t y ：C o m p u t e rA p p l i c a t i o n T e c h n o l o g y S u p e r v i s o rP r o f e s s o r ：X i a n g d o n gC h e n 盈，2 0 1 1 激藏， 7 耳 I 、 I 一 声 一 西南交通大学曲陶父逋大罕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授 权西南交通大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以
4、 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密团，适用本授权书。 ( 请在以上方框内打“”) 躲食弘剥雠： 醐劬f f 7 f 醐：刀 e l l I 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作所取得的 成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其它个人或集体已经发表或撰 写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说 明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本文的主要创新点如下： 1 通过将一个3 x 3 酉矩阵分解为两个相互
5、对易的厄米矩阵以使得复杂的数学计算 得到充分简化的证明方法回答了这样的一个基本问题：G r o v e r 量子搜索算法在三 维复子空间中，对任意给定的一个初始态，不能以1 0 0 的最大成功概率找到一 个目标态。( 第三章) 2 分别利用上面的证明方法和指数矩阵的性质这两种不同的方式证明了以下一个 结论：假设一个无序数据库中总的目标态和非目标态总的个数充分大，如果两个 相位旋转角相等，那么一个给定的初始态在经过G r o v e r 算子一定次数的叠代作 用后，唯一的目标态被搜索到的最大成功概率近似等于偏离角余弦的平方。此外， 采用后一种证明方法进一步论证了如果两个相位旋转角相差较大，则G
6、r o v e r 量 子搜索算法是无效的。该结论对一切偏离角都适用。( 第四章) 3 采用数值计算模拟的方式验证了第四章中通过理论推导得到的以上两个基本结 论。( 第五章) 4 提出了在二维复子空间中G r o v e r 量子搜索算法的多相位匹配问题和多相位匹配 方程。通过一系列的成功概率仿真曲线图和所记录下的一组具体数据实例进一步 确认了多相位匹配方程的有效性。( 第六章) 一 刃 学位论文作者签名：于、工孑K 一一 d 鍪期：2 0 11 年3 月 一 。1 。“。1 1 。_ _ 。_ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ 。1 。1 。_
7、 _ _ 。_ _ - 。_ - _ _ 。_ 。_ _ _ 。 西南交通大学博士研究生学位论文第1 页 摘要 在一个大型无序数据库中，与任何经典的搜索算法相比较而言，原先的G r o v e r 量子搜索算法能以平方根的加速找到唯一的目标态。并且该算法已经被证明为最优 的。迄今为止主要是从以下的方面对该量子搜索算法进行了扩展： ( 1 ) 假设有多个目标态； ( 2 ) 以任意的酉变换来代替W 甜s h H a d a m a r d 变换： ( 3 ) 引入了概率幅扩大的思想； ( 4 ) 通过并行的量子计算方式来进一步降低搜索次数； ( 5 ) 以任意的相位旋转代替反方向的相位旋转； (
8、 6 ) 初始态是任意的复概率幅分布，而不再是等概率幅分布； ( 7 ) 讨论了任意的纠缠初始态。 为保证以1 0 0 的概率找到一个目标态，许多研究工作者给出了不同形式的精确 的相位公式。自然要问一个目标元素的叠加态或者唯一的目标态是否只能在搜索空间 只限制在二维复子空间中才能以1 0 0 的最大成功概率被找到。对任意的3 x 3 酉矩阵 而言，为使得复杂的计算得到充分的简化并得到数学上易处理的结果，可考虑运用下 面的性质和技巧：1 ) 一个厄米矩阵的特征值都是实数且对应于该厄米矩阵的不同特 征值的特征矢量是互相正交的：2 ) 由于对易性，两个厄米矩阵共同拥有的规格化正 交矢量完全集可能存在
9、；3 ) 假设存在两个厄米矩阵共同拥有的规格化正交矢量完全 集。那么，如果属于其中之一的厄米矩阵的某个特征值是简并的，则该特征值的简并 度应通过另一个厄米矩阵来予以消除。利用上述性质，我们证明了在三维复子空间中， 只要偏离角不等于零那么无论给定什么样的初始态，都不能以1 0 0 的概率找到一个 目标元素的叠加态或唯一的目标态。通过利用将一个3 x 3 酉矩阵分解为两个相互对易 的厄米矩阵和指数矩阵的性质这两种不同的方法，进一步论证了如果在一个无序数据 库中总的目标态和非目标态的个数充分大，那么对应于两个相同相位旋转角的情形， 找到唯一目标态的最大成功概率近似地等于一个偏离角的余弦函数的平方。
10、另一方面，由于一个量子系统将不可避免地受到不可预知的微扰影响，我们得出 了以前文献中所报道的G r o v e r 量子搜索算法的实验实现实际上是在三维复子空间中完 成的结论。同时，利用指数矩阵的性质表明了在一个二维复子空间中，对于任意给定 的初始态，倘若满足多相位匹配方程那么就能以较大的成功概率找到唯一的目标态。 本文按照任意的初始态、任意的酉变换和任意的相位旋转角的方式以具体的数据 实例严格核实了上述结论。 关键字：G r o v e r 量子搜索算法，三维复子空间，相同的旋转角，偏离角，多相位匹配 方程，二维复子空间，希尔伯特空间 第1 I 页西南交通大学博士研究生学位论文 A b s
11、t r a c t T h eo r i g i n a lG r o v e r Sq u a n t u ms e a r c ha l g o r i t h mg o e sq u a d r a t i c a l l yf a s t e rt h a na n y p o s s i b l ec l a s s i c a lc o u n t e r p a r tf o rs e a r c h i n gas i n g l ed e s i r e ds t a t e i nal a r g eu n s o r t e d d a t a b a s ea n di
12、 tw a ss h o w nt ob eo p t i m a l S of a r , s e v e r a lg e n e r a l i z a t i o n so ft h eo r i g i n a l G r o v e r Sa l g o r i t h mh a v eb e e nd e v e l o p e df r o md i f f e r e n ta s p e c t sb ys o m em o d i f i c a t i o n s m a i n l yr e s u l t e df r o m ( 1 ) d e a l i n g
13、w i t ht h ec a s eo f m o r et h a no n ed e s i r e ds t a t e ； ( 2 ) s u b s t i t u t i n g a l m o s t a n yu n i t a r y t r a n s f o r m a t i o nf o rt h eW a l s h H a d a m a r d t r a n s f o r m a t i o n ，w h i c hi su s e di nt h eo r i g i n a ls e t t i n g ； ( 3 ) i n t r o d u c
14、t i o no ft h ec o n c e p to fa m p l i t u d ea m p l i f i c a t i o n ； ( 4 ) f u r t h e rs p e e d u pf o rr e p e a t e dq u a n t u ms e a r c hb ym e a n so fq u a n t u mc o m p u t a t i o n si n p a r a l l e l ； ( 5 ) t h ep h a s ei n v e r s i o nb e i n gr e p l a c e db ya r b i t r
15、 a r yp h a s er o t a t i o n s ； ( 6 ) a l l o w i n gf o ra na r b i t r a r yc o m p l e xi n i t i a la m p l i t u d ed i s t r i b u t i o n ，i n s t e a do ft h e u n i f o r mi n i t i a la m p l i t u d ed i s t r i b u t i o n ； ( 7 ) i n v e s t i g a t i n gt h ec a s eo fa na r b i t r
16、 a r i l ye n t a n g l e di n i t i a ls t a t e T og u a r a n t e et h a tad e s i r e ds t a t ec a nb ef o u n dw i t hc e r t a i n t y , m a n yr e s e a r c h e r sg a v et h e i r d i f f e r e n tf o r m so fa c c u r a t ep h a s ef o r m u l a e I ti sn a t u r a lt oa s kw h e t h e ras u p e r p o s i t i o no f d e s i r e ds t a t
