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1、自 然 数 k 次 方 的 求 和 湖北省十堰市郧阳科技学校 何广友 自然数的求和以及自然数平方的求和, 在普通高 中教材中均有详细的证明过程, 并给出了相应的求和 公式, 而自然数的更高次方的求和, 在一些专业性较强 的文献资料中也给出了一些求和公式. 但自然数 k( k 为自然数) 次方的求和, 是否能用一个统一的公式来表 示呢? 笔者经过长时间的探索, 得出的结论是: 自然数 k 次方的求和公式能够用一个统一的求和公式来表 示, 用这个公式可以求出自然数 k 次方的前 N 项和. 下面先给出求和公式, 然后加以证明. Sk= 1 k +1( 1 +n) k +1 -(n +1)-(C2k
2、 +1Sk -1 +C3k +1 Sk -2+C4k +1Sk -3+ +Ck -2 k +1S3 +Ck -1 +1S2+Ckk +1S1) . 该公式证明如下. 根据二项式定理, 有下列公式, ( n +1) k +1 = nk +1+C1k +1nk+C2k +1nk -1+ +Ck -1 k +1n2+Ckk +1n +Ck +1k +1(n 为自然数, 等号右边共 有k +2项). 当 n 分别取1, 2, 3, , n 时, 可得如下的一些等式, ( 1+1) k +1=1k +1 +C1k +11k+C2k +11k -1+ +Ck -1 k +112+Ckk +11+1; (
3、2+1) k +1=2k +1 +C1k +12k+C2k +12k -1+ +Ck -1 k +122+Ckk +12+1; ( 3+1) k +1=3k +1 +C1k +13k+C2k +13k -1+ +Ck -1 k +132+Ckk +13+1; ( n +1) k +1 = nk +1+C1k +1 nk+ C2k +1 nk -1 +Ck -1 k +1n2+Ckk +1n+1. 将以上 n 个等式相加 , 所得新等式的左右相同部 分相抵消之后得 ( n+1) k +1 =1 +C1k +1( 1k+2k+3k+ +nk) +C2k +1( 1k -1+2k - 1+3k -1
4、+nk - 1) +Ck -1 k +1( 12 +22+32+n2) +Ckk +1( 1+2+3+n) +n, 令 Sk=1k+2k+3k+nk, Sk -1=1k -1+2k -1+3k -1+nk -1, Sk -2=1k -2+2k -2+3k -2+nk -2, S2=12+22+32+n 2, S1=1+2+3+n. 则上式变为 (n+1) k +1=1+C1 k +1Sk+C2k +1Sk -1+C3k +1Sk -2 +Ck -1 k +1S2+Ckk +1S1+n , 该式变换后可得 Sk= 1 k +1 ( 1+n) k +1 -(n +1)-(C2 k +1Sk -1
5、+C3k +1Sk -2+ C4k +1Sk -3+ +Ck -2 k +1S3 +Ck -1 +1S2+Ckk +1S1) . 利用该公式可以求得所有自然数 k 次方的前 n 项和. 例如, 要求自然数立方的前 n 项和( 此时 k =3) , 则可直接代入上述公式 S3=( 1+n) 4 -( n +1)-( C24S2+C34S1) 3+1 = 1 4 ( 1+n) 4 - (n+1)-6n(n+1) ( 2n+1) 6 +4n(n+1) 2 =n 2(n+1)2 4 . 下面给出当 k 取 1, 2, 3, , 10 时, 自然数 k 次方 的前 n 项和 : S1=1+2+3+n=
6、1 2 n( n +1); S2=12+22+32+n2= 1 6 (n+1) ( 2n+1)n; S3=13+23+33+n3= 1 4 n2( n +1) 2; S4=14+24+34+ +n4= 1 30 n(n +1) ( 6n3 +9n2+n -1); S5=15+25+35+ +n5= 1 12 n2(n +1) ( 2n3 +4n2+n-1); S6=16+26+36+ +n6= 1 42 n(n +1) ( 6n5 +15n4+6n 3-6n2-n +1); S7=17+27+37+ +n7= 1 24 n2(n +1) ( 3n5 +9n4+5n3-5n 2-2n +2); S8=18+28+38+ +n8= 1 90 n(n +1) ( 10n7 +35n 6+25n5 -25n 4 -17n3+17n2+3n - 3); S9=19+29+39+ +n9= 1 20 n2(n +1) ( 2n7 +8n6+7n5-7n 4-7n3+7n2+3n-3) ; S10=110+210+310+n 10 = 1 66 n(n+1) ( 6n9 +27n8+28n7-28n 6 -38n 5 +38n4+28n3 -28n2-5n +5) . 思想 方法技巧 中学数学教学参考 2003 年第 11期 37
