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1、 1.四边形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，BEF=90，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC(1)如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；(2)将图1中的BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)将图1中的BEF绕点B顺时针旋转(090)，若BE=1，AB=，当E，F，D三点共线时，求DF的长及tanABF的值解：（1）EGCG，=，理由是：过G作GHEC于H，FEB=DCB=90，EFGHDC，G为DF中点，H为EC中点，EG=GC，GH=（EF
2、+DC）=（EB+BC），即GH=EH=HC，EGC=90，即EGC是等腰直角三角形，=；（2）解：结论还成立，理由是：如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，在EFG和HDG中EFGHDG（SAS），DH=EF=BE，FEG=DHG，EFDH，1=2=90-3=4，EBC=180-4=180-1=HDC，在EBC和HDC中EBCHDCCE=CH，BCE=DCH，ECH=DCH+ECD=BCE+ECD=BCD=90，ECH是等腰直角三角形，G为EH的中点，EGGC，=，即（1）中的结论仍然成立；（3）解：连接BD，AB=，正方形ABCD，BD=2，c
3、osDBE=，DBE=60，ABE=DBE-ABD=15，ABF=45-15=30，tanABF=，DE=BE=，DF=DE-EF=-1解析：（1）过G作GHEC于H，推出EFGHDC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），推出GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出EGC是等腰直角三角形即可；（2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证EFGHDG，推出DH=EF=BE，FEG=DHG，求出EBC=HDC，证出EBCHDC，推出CE=CH，BCE=DCH，求出ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；（3
4、）连接BD，求出cosDBE=，推出DBE=60，求出ABF=30，解直角三角形求出即可2.已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，BEF=90，按图1放置，使点E在BC上，取DF的中点G，连接EG，CG(1)延长EG交DC于H，试说明：DH=BE(2)将图1中BEF绕B点逆时针旋转45，连接DF，取DF中点G(如图2)，莎莎同学发现：EG=CG且EGCG在设法证明时他发现：若连接BD，则D，E，B三点共线你能写出结论“EG=CG且EGCG”的完整理由吗？请写出来(3)将图1中BEF绕B点转动任意角度(090)，再连接DF，取DF的中点G(如图3)，第2问中的结论是否成立？若成立
5、，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由（1）证明：BEF=90，EFDH，EFG=GDH，而EGF=DGH，GF=GD，GEFGHD，EF=DH，而BE=EF，DH=BE；（2）连接DB，如图，BEF为等腰直角三角形，EBF=45，而四边形ABCD为正方形，DBC=45，D，E，B三点共线而BEF=90，FED为直角三角形，而G为DF的中点，EG=GD=GC，EGC=2EDC=90，EG=CG且EGCG；（3）第2问中的结论成立理由如下：连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，如图，G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，OGBF，GMOB，四边形OGMB为平
6、行四边形，OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，EM=OG，MG=OC，DOG=GMF，而DOC=EMF=90，EMG=GOC，MEGOGC，EG=CG，EGM=OCG，又MGF=BDF，FGC=GDC+GCD，EGC=EGM+MGF+FGC=BDF+GDC+GCD+OCG=45+45=90，EG=CG且EGCG解析：（1）由BEF=90，得到EFDH，而GF=GD，易证得GEFGHD，得EF=DH，而BE=EF，即可得到结论（2）连接DB，如图2，由BEF为等腰直角三角形，得EBF=45，而四边形ABCD为正方形，得DBC=45，得到D，E，B三点共线，而G为DF的中点，根据直角
7、三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG=GD=GC，于是EGC=2EDC=90，即得到结论（3）连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，由G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，根据三角形中位线的性质得OGBF，GMOB，得到OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，得到EM=OG，MG=OC，又DOG=GMF，而DOC=EMF=90，得EMG=GOC，则MEGOGC，得到EG=CG，EGM=OCG，而MGF=BDF，FGC=GDC+GCD，所以有EGC=EGM+MGF+FGC=BDF+GDC+GCD+OCG=45+45=903.已知正方形ABCD和等
8、腰RtBEF，BE=EF，BEF=90，按图放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG(1)探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；(2)将图中BEF绕B点顺时针旋转45，再连接DF，取DF中点G(如图)，问(1)中的结论是否仍然成立证明你的结论；(3)将图中BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0到90之间)，再连接DF，取DF的中点G(如图)，问(1)中的结论是否仍然成立，证明你的结论解：（1）EG=CG且EGCG证明如下：如图，连接BD正方形ABCD和等腰RtBEF，EBF=DBC=45B、E、D三点共线DEF=90，G为DF的中点，DCB=90，EG=DG=GF=CGEGF=2
9、EDG，CGF=2CDGEGF+CGF=2EDC=90，即EGC=90，EGCG（2）仍然成立，证明如下：如图，延长EG交CD于点HBEEF，EFCD，1=2又3=4，FG=DG，FEGDHG，EF=DH，EG=GHBEF为等腰直角三角形，BE=EF，BE=DHCD=BC，CE=CHECH为等腰直角三角形又EG=GH，EG=CG且EGCG（3）仍然成立证明如下：如图，延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、ECGF=GD，HGF=CGD，HG=CG，HFGCDG，HF=CD，GHF=GCD，HFCD正方形ABCD，HF=BC，HFBCBEF是等腰直角三角形，BE=EF，EBC
10、=HFE，BECFEH，HE=EC，BEC=FEH，BEF=HEC=90，ECH为等腰直角三角形又CG=GH，EG=CG且EGCG解析：（1）首先证明B、E、D三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=DG=GF=CG，得到EGF=2EDG，CGF=2CDG，从而证得EGC=90；（2）首先证明FEGDHG，然后证明ECH为等腰直角三角形可以证得：EG=CG且EGCG（3）首先证明：BECFEH，即可证得：ECH为等腰直角三角形，从而得到：EG=CG且EGCG已知，正方形ABCD中，BEF为等腰直角三角形，且BF为底，取DF的中点G，连接EG、CG（1） 如图1，若BE
11、F的底边BF在BC上，猜想EG和CG的数量关系为_；（2）如图2，若BEF的直角边BE在BC上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由；（3）如图3，若BEF的直角边BE在DBC内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由1212解：（1）GC=EG，（1分）理由如下：BEF为等腰直角三角形，DEF=90，又G为斜边DF的中点， EG= DF，ABCD为正方形，BCD=90，又G为斜边DF的中点，CG= DF，GC=EG；（2）成立如图，延长EG交CD于M，12BEF=FEC=BCD=90，EFCD，EFG=MDG，又EGF=DGM，DG=FG，GEFGMD，EG=MG，即G为EM的中点CG为直角
12、ECM的斜边上的中线，CG=GE= EM；（3）成立取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OCCB=CD，DCB=90，CO= BD1212DG=GF，GHBD，且GH= BD， 12 OGBF，且OG= BF，CO=GH12BEF为等腰直角三角形EH= BFEH=OG四边形OBHG为平行四边形，BOG=BHGBOC=BHE=90GOC=EHGGOCEHGEG=GC 此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半掌握这些性质，熟练运用全等知识是解本题的关键解析：（1）EG=
13、CG，理由为：根据三角形BEF为等腰直角三角形，得到DEF为直角，又G为DF中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得到EG为DF的一半，同理在直角三角形DCF中，得到CG也等于DF的一半，利用等量代换得证；（2）成立理由为：延长EG交CD于M，如图所示，根据“ASA”得到三角形EFG与三角形GDM全等，由全等三角形的对应边相等得到EG与MG相等，即G为EM中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG与CG相等都等于斜边EM的一半，得证；（3）成立理由为：取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC，如图所示，因为直角三角形DCB中，O为斜边BD的中点，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到OC等于BD的一半，由HG为三角形DBF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，得到GH等于BD一半，OG等于BF的一半，又根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EH等于
