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1、河北师范大学 硕士学位论文 三次张力参数B样条的拟插值和细分方法研究 姓名：张婷婷 申请学位级别：硕士 专业：计算机应用技术 指导教师：韩力文 20100520 III 摘 要 拟插值作为一种逼近方法在计算机辅助几何设计、数据分析等领域有广泛应用，尤 其在逆向工程领域， 它能够直接拟合散乱数据点而不需要所有插值点都落在目标曲线或 曲面上，在处理坏点、尖锐点方面非常有效。拟插值方法计算效率高、能够很好地局部 逼近插值点，受到越来越多的关注。同时，近年来许多国内外学者开始关注参数样条的 形状控制，构造出多种带有形状参数的B样条扩展模型，但由于这些模型普遍缺少可加 细性质，不能应用细分方法实现曲线曲
2、面的离散生成。本文进一步研究Manni等构造的 三次张力参数B样条， 在三次张力参数B样条曲线的多尺度细分和基于三次张力参数B 样条的拟插值曲线曲面方面开展了大量深入的研究，主要研究成果如下： 1、探讨了三次张力参数B样条的构造和性质，研究了此样条曲线与Beta样条曲线、 Gamma样条曲线的转换，并就张力参数对曲线的影响进行了详细讨论。 2、研究了三次张力参数B样条曲线的细分，总结出 1 C连续条件下具有统一形式的 M-尺度细分规则(25,MM)， 具体给出3-尺度细分面具， 重点讨论了Gamma样 条和Beta样条曲线细分，并以2、3-尺度细分为例，分析了细分曲线误差。特别地，为 使细分曲
3、线达到更好的光滑性，重点研究了样条曲线在 2 C连续下的细分条件及2-尺度 细分规则。 3、研究了基于三次张力参数B样条的拟插值曲线，总结出拟插值曲线的M -尺度细 分规则(25,MM)，进一步以2、3-尺度为例给出细分曲线实例。最后，将单变 量样条曲线推广至双变量样条曲面(包括三次张力参数B样条曲面及拟插值曲面)。 关键词：拟插值 B样条 加细尺度 细分面具 张力参数 IV Abstract As an approximation method, quasi-interpolation is widely used in computer-aided geometric design (CA
4、GD), data processing, especially in the field of scattered point cloud reconstruction. And quasi-interpolation could fit data points directly, without all the interpolation points on the curve or surface, especially effective in dealing with dead pixels and sharp point. The advantages of Quasi-inter
5、polation have received a considerable attention by many authors, such as low computational cost, efficient approximants to a given set of data. Whats more, many scholars have been beginning to focus on the shape control of splines with parameters in recent years. They have constructed kinds of expan
6、sion of B-splines models with shape parameters, however, these models generally lacked of the essence of splines refinability, and couldnt express curves and surfaces discrete generation by subdivision schemes. This paper discusses cubic B-splines with tension parameters constructed by Manni and the
7、 feature of cubic B-splines refinement, further more, the paper focuses on quasi-interpolation based on cubic B-splines with tension parameters. The main research results in this article are as follows: First, the paper discusses the construction and properties of cubic B-splines curve with tension
8、parameters, transformation theorem between cubic B-splines curve with tension parameters and Beta-spline curves or Gamma-spline curves. Whats more, it gives a detailed discussion about the influences of tension parameters on the curve. Second, the paper makes research on the subdivision schemes of c
9、ubic B-splines curve with tension parameters, and then summarizes a unified rules of M-band subdivision in the condition of 1 C continuous, where 25,MM , especially obtains ternary subdivision mask. Beta-spline curves and Gamma-spline curves subdivision conditions are discussed, the binary and terna
10、ry subdivision numerical examples are given to illustrate the advantage of approximating to the limit curve. In particular, it studies subdivision conditions and binary subdivision rules of cubic B-splines curve with tension parameters in the condition V of 2 C continuous. Third, the paper studies q
11、uasi-interpolation based on cubic B-splines with tension parameters, moreover, summarizes its M-band subdivision rules as well as numerical examples based on binary and ternary subdivision. Finally, it further extends the curve results to surface (including cubic B-splines surface with tension param
12、eters and quasi-interpolation surface based on cubic B-splines with tension parameters). Key Words: quasi-interpolation, B-splines, refinement scale, subdivision mask, tension parameters II 学位论文原创性声明 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文三次张力参数 B 样条的拟插值和细分方法研究 ，是在导 师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或
13、集体已经发表或撰写过的研究成果。 对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者(签名)： 指导教师确认(签名)： 年 月 日 年 月 日 学位论文版权使用授权书 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 (保密的学位论文在 年解密后适用本授权书) 论文作者(签名)： 指导教师(签名)： 年 月 日 年 月 日 1 1
14、 绪 论 1.1 拟插值方法概述 1974年，计算机辅助几何设计()CAGD一词被Barnhill和Riesenfeld 1在美国犹他大 学召开的一次国际会议上首次提出。 至此， 计算机辅助几何设计作为一门独立学科出现。 计算机辅助几何设计主要是研究计算机辅助设计中有关外形的数学方法，包括对曲线、 曲面信息的表示、逼近、分析与综合。而插值和逼近是计算机辅助几何设计领域中经典 问题之一。在工业产品(如：汽车、轮船、飞机) 的计算机辅助设计中，往往是先采集一 系列数据点，然后再重构其形状，在这一过程中无论采用插值方法还是逼近方法来恢复 产品形状，都必须要求保持所采集数据点集的某些几何性质，因而曲线
15、曲面的插值和逼 近问题在CAGD中有着举足轻重的意义。 作为曲线曲面逼近的方法，插值和拟插值各具特色，都发挥着其特定的作用。而拟 插值较插值相比具有许多优点：插值常常需要解复杂的高阶线性方程组，而拟插值仅仅 需要知道数据点就可以简单地直接作出图形，同时，高次插值很不稳定，并且会出现非 常剧烈的振荡，拟插值却可以避免这一缺点2。 1946年，Schoenberg 3提出了一种拟插值函数，被称作 Schoenberg逼近。而 StrangFix 4于1973年对 Schoenberg逼近做了进一步研究，给出了著名的关于收敛阶 的StrangFix条件。文献5运用Univariate Multiqu
16、adric方法构造了三种一元拟插值 函数, ABC LLL ，其中基函数( ) i C x 是某些 22 ( )() jj xxxc=+的线性组合，并证明了如 果 2 1 ( ) , n f xCx x， 1 max ,( ) i i n hhcO h =，那么上面三种拟插值函数都能达到 2 (log)O hh的逼近精度。在此基础上，WUSchaback 6于1994年指出拟插值函数 C L具 有线性再生性、单调性和保凸性，同时还给出了另一种类似的保形拟插值 D L。而文献 7运用多次逼近方法得到一种二次保形拟插值函数( )x， 其中( ) i C x是非负二次样条函 数，( )x可以插值于两端点，并保持原有数据点序列的单调性和凸性。2004年，候金 超等8人在文献7基础之上研究得出保形拟插值基函数可转化为二次规范B样条函数， 并给出了此类保形拟插值函数具有线性再生性，单调性和凸性时分别满足的条件。在一 2 元拟插值函数基础之上，CONTI等9把(
