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1、第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,经典控制理论和现代控制理论之间的区别,2.研究方法,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,1.研究问题区别,7-1 状态变量及状态空间表达式,一、定义 1、状态变量的定义：能够完全确定系统运动状态的最小个数的一组独立变量 注：、n阶系统（即用n阶微分方程描述的系统）有n个独立变量； 、状态变量不是唯一的，但数目是唯一的； 、状态变量在t=t0时刻已知时（初始条件），且tt0时输入给定时，可完全确定系统在任何时刻tt0时的行为（因n个独立的初始条件已知时，n阶微分方程有唯一确定的解） 2、状态矢量,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,由n个状态
2、变量x1(t),x2(t)xn(t)组成的矢量x(t)称为状态矢量，即,或,3、状态空间和状态轨迹 状态变量 为坐标轴所构成的维空间称为状态空间。 为状态空间的一个初始点， 为状态空间中对应t时刻的一个点。 当t由 时 在状态空间中形成点的轨迹，称为状态轨迹。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,4、状态方程 由系统状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。 例建立如图所示R-L-C网络的状态方程。 解:当给定独立变量 和 的初始位置系统在任何时刻的状态便可确定，故选 和 为状态变量 由电路原理得包含这两个状态变量的一阶微分方程组，即为状态方程 即,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综
3、合,写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在右端的标准形式，即为,若令 写成矩阵形式,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,或 式中,(要适应矩阵表达方法),写出状态方程的步骤：,确定状态变量（完全、确定的描述系统的最少独立变量个数）,写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在等式右端的标准形式,由物理规律写出关于状态变量的一阶微分方程组,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,5、输出方程 反映系统输出于状态变量间的函数关系式称为输出方程，对应例，若输出用Y表示，确定 作为输出，则输出方程为 或 写成矩阵形式 或 式中 (或 ),步骤：,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,即,第七
4、章 线性定常系统的状态空间分析与综合,6、状态空间表达式 状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式。,可见在同一系统中，状态变量选取不同时，状态方程也不同。一般地，从工程实际出发，把容易测量的量作为状态变量。 状态变量的非唯一性，如果是状态矢量，只有矩阵P是非奇异的（满秩），那么也是状态矢量。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,二、单输入-单输出定常系统状态空间表达式的一般形式,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,三、多输入-多输出的状态空间表达式（如具有r个输入，m个输出）状态方程一般为
5、,输出方程一般为,其状态空间表达式的矢量矩阵形式为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,-为 维直接传递矩阵 （输入直接传递到输出） 一般地（除特别说明），为简单起见，令 ，即不考虑输入矢量的直接传递作用。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,7-2状态空间表达式的模拟结构图,一、状态空间表达式的系统方块图 1、什么是系统方块图及模拟结构图？ 以传递函数表示系统信号之间传递关系的图为方块图。 用积分器表示的系统信号之间传递关系的图为模拟结构图。 2、状态空间表达式结构图的绘制步骤： 确定积分器的数目，积分器的数目等于状态变量的数目或微分方程
6、的阶数； 每个积分器的输出表示相应的单个状态变量，输入为状态 变量的系数； 根据状态方程和输出方程，确定加法器和比例器； 用箭头将这些元件连接起来。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,3、状态空间表达式一般形式的系统方块图 单输入-单输出系统 多输入-多输出系统 4、举例 画出 的模拟结构图。 画出用以下微分方程描述系统的模拟结构图 分析：微分方程为三阶，故有3个积分器 先画出3个积分器；,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,将微分方程写成最高系数项在等式左端的表达式，即为 其余系数项前的系数分别为各比例器的数值，输入项前的系数为输入比例器的数值，等式右端为4项的代数和，即加法器
7、有4个分支输入。 经过上述分析，不难画出： 画出有以下状态空间表达式描述系统的模拟结构图,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,解仿上例 第1步，先画出3个积分器； 第2步，由状态方程所确定的关系连接有关积分器； 第3步，由状态方程的关系式确定的关系，来自4路，分别相加； 第4步，画出输出方程的关系。 对二输入二输出系统可仿照参考书，此处从略。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,7-3状态空间表达式的建立（一）,状态空间表达式建立的3种方式 由系统的方块图，根据系统各个环节的实际连结； 由（物理、化学、电子等）机理出发进行推导求得； 由系统运动的微分方程和传递函数。 一、由系统方块
8、图建立状态空间表达式 该方法的关键是由方块图模拟结构图； 取每个积分器的输出作为一个状态变量，其输入是相应的； 根据实际连接写出状态方程和输出方程。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,例1、如图,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,从图可知,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,写成矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为,对于含有零点的环节，先展开成部分分式，即,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,二、从系统的机理出发建立状态空间表达式,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,解：取电容,和,上的电压,和,及电感,和,中的电流,和,为状态变量。（四个独立储能元件，故有四
9、个独立变量）,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,即令：,流入节点为正； 流出节点为负。,从三个回路l1、l2、l3 ，按基尔霍夫定律列出电压方程,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,由以上6式消去独立变量,和,得,由第1式得：,代入4式得,由第2式得：,由3式得，,代入5式得,由6式,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,从上式解出：,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,7-3状态空间表达式的建立（一）,例7-3,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,将,代入整理，即得,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,即,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章
10、线性定常系统的状态空间分析与综合,由牛顿定律，得,整理得：,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,由电磁感应关系,代入,关系，得到,若指定角速度,为输出，则,若指定电动机的转角,为输出，则需要增加状态变量,即,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,输出方程为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,若考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个n阶线形常系数微 分方程,相应的传递函数为,所谓实现问题，就是根据上二式寻求如下式的状态空间表达式, 7-4状态空间表达式的建立（二）,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,注意：1、实现的存在条
11、件是,当,时，状态空间表达式中,当,时，,在这种情况下传递函数可写成,2、实现并非唯一的，,可以取无穷多种形式,3、若原系统传递函数中分子和分母没有公因子，即不出现零极点 对消，系统矩阵 的元素取值不同，但其特征根是相同的。通常把这种没有零极点对消的传递函数的实现称之为最小实现。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,一、传递函数中没有零点时的实现（即没有输入系数项） 在这种情况下，系统的微分方程为,相应的传递函数为,（7-22）,（7-23）,将(7-22)移项，并两端同除以,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,输出方程为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,表示成矩阵形式为
12、,上述 A阵为友矩阵，即主对角线上方元素为1；最后一行元素可取任意值；其余元素均为零。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,解：对比标准形式，故,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,相应地，系统传递函数为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,可由上面“1中没有输入系数项命题”求得状态方程及它的输入方程,由2式取拉氏反变换求输出方程,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,或表示为,其模拟结构图可仿上“1”，只是输出不同罢了。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状
13、态空间分析与综合,对于 n 阶系统类似地有,对于“1”可见两者状态方程式相同，不同的是输出方程。因此，可根据传 递函数中系数写出状态空间表达式。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,即,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,或记为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,即,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,状态方程表达式为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,
14、三、多输入-多输出系统微分方程的实现简介（举例）,以双输入双输出的三阶系统为例，设系统的微分方程为,对每一个方程积分,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,由上面式子，可得模拟结构图（注意一次积分相当一个积分器，两次积分相当两个积分器）,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,写成矩阵形式：,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合, 7-5 状态向量的线性变换（坐标变换）,一、系统状态空间表达式的非唯一性,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,例7-8 若系
15、统状态空间表达式为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,从而得交换后的状态空间表达式为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,书本2）、3）举了其他交换矩阵下（我们也可举出任意的非奇异矩阵），可以得到不同的状态空间表达式。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,二、系统特征值的不变性及系统的不变量 1、系统特征值的概念 系统,的特征值，也即特征方程：,系统特征值就是系统矩阵,的根。,若 方阵 有n个特征值； 实际物理系统中，A为实数方阵，故特征值或为实数，或为成对 共轭复数； A为是实数对称方阵，则其特征值都是实数。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,则有,亦即,解之得,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,令 于是,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,三、状态空间表达式变换为对角线标准型和约旦标准型,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,其中
