《上海交通大学2016 级第一学期《高等数学》期中考试试卷 (A 类)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海交通大学2016 级第一学期《高等数学》期中考试试卷 (A 类)（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 2012016 6 级第一学期高等数学期中考试试卷级第一学期高等数学期中考试试卷 ( (A A 类类) ) 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 数列极限 sin lim sin n nn nn （ ） （A）不存在； （B）等于1； （C）等于0； （D）等于1。 2. 当0x 时，x与 2 1cos cos2 x exx是同价无穷小，则 （ ） （A）1； （B）2； （C）3； （D）5。 3. 已知曲线C由极坐标方程r（02 ）所确定，P是C上对应于 2 的点。那么C在P点处的切线方程为 （ ） （A） 2 r ； （B）1yx； （C） 2 2 yx ；
2、（D）1 2 yx 。 4. 设( )f x在区间 , a b上具有连续的二阶导函数，且( , )xa b ，满足 ( )( )0fx fx，则( )f x在区间( , )a b上 （ ） （A）保号； （B）单调； （C）存在极值； （D）存在拐点。 5. 已知函数( )f x在点 0 x的某个邻域内有定义，对于两个命题 （I）( )f x在点 0 x可导当且仅当cos( ( )f x在点 0 x可导； （II）( )f x在点 0 x可导当且仅当arctan( ( )f x在点 0 x可导， 下列选项正确的是 （ ） （A）仅（I）正确； （B）仅（II）正确； （C） （I）和（II）都
3、正确； （D） （I）和（II）都错误。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 6. 已知定义在R上的函数( )f x严格单调增加， 1( ) fx 是其反函数。若对于常数 a，方程( )f xxa有解 1 x， 1( ) fxxa 有解 2 x，则 12 xx_。 7. 已知 2 cos ,0 ( ) ln(1),0 xx f x xx ，则( )fx 。 8. 若 2x yx，则dy _。 9. 已知 2 2 ex x y ，则 (10)( 1) y 。 10. 函数 2 1 ( )max(,) 2(2) x f x xx x 在区间(0,)上的最小值等于_。 三、 （每小题 8 分
4、，共 16 分） 11. 用极限定义验证： 2 2 2 lim2 34 x x xx 。 第 2 页 12. 计算极限 2 2 0 1e1 lim x x xx x 。 四、 （每小题 8 分，共 16 分） 13. 已知( )yy x是由方程 223 2xyxy所确定的二阶可导函数，求(1) y 。 14. 长度为50米的绳子通过一个定滑轮P将货车A和B（货车高度忽略不计） 连 接在一起。 滑轮到地面的垂足是点Q，PQ的长度等于12米。 在某个时刻 0 t， 货车A在距离Q点5米处以2米/秒的速度远离Q点，此时货车B的运动速度 等于多少？ 五、 （第 15 题 8 分，第 16 题 10 分
5、，共 18 分） 15. 已知函数( )cosf xxax（1a ）在区间(0,2 )中存在极小值0，问：( )f x在 (0,2 )中是否存在极大值？若有，求该极大值。 16. （1）证明：n Z，k Z，使得 113 !e 11(1)(2) knk nnnn ； （2）求极限lim sin(2!e) n nn 。 六、 （本题 12 分） 17. 全面讨论函数 ex y x 的性态，并作出它的图形。 （ 2 (1)exx y x ， 2 3 (22)exxx y x ） 七、 （本题 8 分） 18. 已知函数( )f x和( )g u满足 , f Da b， , gf DRc d。又( )f x连续且存在 反函数。证明： (1) ( )f x仅在区间 , a b的端点处取到最值； (2) 若函数( ( )g f x在( , )a b内不存在极大值，则( )g u在( , )c d内也不存在极大 值。
