一种高效的缓坡方程数值解法

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1、一种高效的缓坡方程数值解法 潘军宁左其华王红川 ( 南京 水利科学研究 院， 2 1 0 0 2 4 ) 摘要本文提出了一种改进的缓坡方程数值解法。 该方法在L i( 1 9 9 4 ) 的方法中引入松弛因子， 明显改善 了差分格式的稳定性和收敛速度。理论分析表明该方法是无条件稳定的。在几个典型算例中，本文结果 与理论 解及试验值符合良 好， 且所耗机时较少。该方法可用于实际工程中 波浪折射、绕射及反射的 联合 计算 关健词 波浪 缓坡方 程数值解法 前 言 在 海岸工程中 经常同时 涉及波浪 折射和 绕射， 例如存在焦散线的地形和 水深变化明显 的 港湾， 这时单 纯折射或绕射数模均不适用，

2、 解决这些问题需要采用综合 考虑折射和绕射 的 波浪数模。 B e r k h o f f “ 基于小 振幅波和缓坡的 假定，采用沿水深积分的方法推导出二维 波浪 折射、 绕射方程 缓坡方程。 该方程形式简单、 适用范围广， 但由 于是完全 椭圆型 方程， 在求解上比 较困难。目 前已 有的缓坡方程数值解法可分为两大类: 一是直接求解缓 坡方程，二是对方程先作变形或简化后再求解。 直 接 求 解 缓 坡 方 程 的 数 值 方 法 包 括 有限 元 法 ( i l ta l 和 有限 差 分 法 U H O ls ; 。 有 限 元 法 可以 较 好地模拟不规则边界，但是计算程序的编制及计算数

3、据的处理较繁琐， 而且采用G a u s s 捎 去 法求解线性方程组，计算最很大，只能用于小范围计算。 有限差分法较为简便，多 数采 用迭代法求解差分方 程组，有多 重网 格法(3 1 、共 辘斜量法(4 7 和一般化的共扼斜量法 5 / 等， 也有采用误差传播法 创 求解的。这些方法也有各自 的弱点， 迭代法的收敛速度 较慢，误差 传播法受稳定性条件限制，只适用于波向变化不大的情况。求解定常缓坡方程即是求解椭 圆型偏微分方程的边值问题， 无论采用有限差分法或有限元法均需要联立求解大型线性方 程组，这无疑限制了这些方法在实际工程中的应用。 一些作者为便于求解，在缓坡方程基础上发展了 抛物形方

4、程川 、 双曲型方程( a l ts ) 等近 似形式。 R a d d e 尸， 假定 波浪 场可分为入 射波场和反射 波场两部分，并将反射波及其散射波 略去， 在缓坡方程基础上推导出 抛物型 近似方程。 抛物型方程可 按初值问 题处 理，采用高 效 有限差 分法( 如 C r a n k - N i c o l s o n格式) 求解， 使计算速度大大提高。 抛物型 方程法的主 要优点是 适用于大范围复杂 海底 地形 上波浪 传播变 形计算， 缺点是 忽略了正向反射波，且 当 波浪传 播方向变化较大时计算精度有 所降低。 C o p e l a n d “ 3假定波 场为稳态， 在非定常缓

5、 坡方程 基础上推导出含时间 变量的 双曲 型方程，并 按照 I t o 2 ) 不需要在整个计算域上联立求解方程组， 节省了内 存和计算量;3 ) 差分格式 在理论 上无条件稳定，对复杂地形和复杂边界的适用性强;4 ) 直接求解速度势， 容易 给出 物理意义明 确的 边界条件。但该方法也存在一些局限， 主要是计算收敛速度较慢，计 算较 大范围的波场所需时间很长，而巨差分格式为临界稳定，在实际应用时可能因边界条件等 因素的影响而出现不稳定。 综上所述，目前虽己提出一些求解缓坡方程的数值方法，但尚无非常有效且实用的求 解方法。 在众多 缓坡方程数值解法中，文献 1 2 1 中的方法是较为有效的，

6、 本文 将在该方法 基 础上， 提出一 种计 算效率高、无条件稳定的有限差分解法， 并采用理论 解和试验结果对 本文建立的波浪数模进行验证。 2缓坡方程数值解法 含底摩 阻项 的非定常缓坡方程可写 为 a m_ _ _ 、:， 。 _.， 、 _ 。 一 一 二 ，一Vh . ( Ct 币v, Qq少 +( ( 0 -一K “ LL。一7 W C) W=U a t . ( 1 ) 式中C 为波速， C为 波群速，,P ( x , Y , t ) 为波势， k 为 波数，0 为角 频率，F 为底摩擦因子。 仿照文献 1 2 1 ， 引入缓变时间变量 t =e t ( 2) 其中 是一小量， 假定

7、 X , Y , t _ I Fr “ Y tk - m r ( 3) lx , Y ,恤时 间 缓 慢 变 化 。 将 式( 3 ) 代 入 式 ， ， 并 略 去 二 阶 小 量 可 得 一 如丝二 、 . (C C e o ,y ) + 1q C o k z 十 、 卜 a t ( 4) 此即缓坡方程的发展方程形式。 令 = / C C ; ， 式 ( ， 可 写 “ 2 1 w C C , 0 0 。: 二 刃 : 二 甲 刃 甲= . w 十几 少 of ( 5 ) _ _ 、 击 五 滋二 愁 攘 鑫 _ _ 二 ，. v 2 C C R t. F 共甲 K , = K-一一 一

8、气 = = 二 二 +二 : 二 升 份 了 C C . c 一: 2 . 1差分格式 本文采用改进的交替方向 隐式朴( A D I 法)离散 方程 ( 5 ) ，即在A D I 法引 入松弛 因子，以提高收敛速度和数值稳定 性。 将一个时间步长o f 分为两步， 得到如下差分格式 1粉2 ，衅1 1 2. 一 A 0 生 A t 2 = 心衅回: 0. , )“ ， 十 咖几 沁 ) .; 此 12 1朴2 m , 1 一 o ;- 1, 与一 一 了一 一 . = 气 一 t 2 合 K )i.) m ; 112 s 2 ,(k ),“ , ( 6) ( 7) o rn.i“ 1 = 碱

9、n.i + 1 d* (1 一 A )O ,.1 叉 A) 式 中 _l i, = - 2 ia 1 r (c c 8 ) 1., ，_ o in,s 2 ,(_ 姑， 一 2 0 = ni 十 Yi+l.l A 2 2 ns r X 1. 1 = 此 - ! 一 2 此十 W nl r1 勿2 _ _v 2 _ 厉_ ” 松 弛 因 子 当 X= 1 且 r 一 *了 ” “ 一 一 c r % a 时 差 分 格 式 简 化 为 文 OkR (12 1M 形 式 差分 方程 ( 6 ) 、 ( 7 )与 边界 条件构成 三对角 矩阵，可 分别采用追赶法求解。 先给定 初 始 条 件 袱 ，

10、 一 。 然 后 对 时 间 进 行 迭 代 计 算 ， 直 至 得 到 稳 定 解 。 方 程( 5 ) 的解即是如下缓坡方程的解 v 2o 十 k ,20 = 0 收敛判别条件由前后两次迭代的相对均方误差痴角 定 、 = j Ie , - 4三 lo;“; I 在数值计算中当8 月5.7. 个 波 向“ 图2 - 1 半无限防波堤绕射S o m me r f e l d 理论解 s + 1一0香2】43.7 1 个 波 向 图2 一半无限防波堤绕射缓坡方程数值解 3 ， 3 国形浅滩上的波浪变形 为验证波浪数学模型 计算精度，B e r k h o f tl “ i针对均匀 斜坡盛加一个椭

11、圆 形浅 滩的地形 进行了波浪物理模型试验。试验采用的水下地形如图3 所示，整个模型范围为2 0 mx 2 5 ma 在 试验中采用波周期r - l .O s ， 入射波高H o = 0 .0 4 6 4 m ，波浪沿一向传入，试验所得波高比 一1 7 2 。 、 赢 、 夏 i 七 之 . 一 户书 芝 : 扭 月 ， 闷 熟 卜叫 - , -_ “I口 扮一: 父 万 r 划二 一 健 一 、退 撇 O - 勺飞日 、 月 ( 口i 图 3 B e r k h o f f 波浪模型试验水底地形 等值线如图4 - 1 所示。 该 试验结果被许多作者用于验证波浪折射、 绕射联合计算数学模型。

12、以往采用抛物型方程计算的结果与试验结果在椭圆浅滩后有一些差异，K ir b y A -0. 5 时需迭代 1 5 3 次， 耗时约2 .5分钟; A = 0 .8 时仅需迭代1 0 6 次，所用机时不到2 分钟。 由 此可见，引入松弛因子并选取合适的兄 值可大大 节约计算时间。 由线性缓坡方程得到的波高比等值线见图 4 - 2 ，由非线性缓坡方程得到的波高比等值线见 图4 - 3 。 将图4 - 2 . 图4 - 3 与图 4 - 1 比较可以看出， 线性模型和非线性模型均能较好反映浅滩后波 高增大现象，波高分布基本符合试验结果。和 线性摸型 相比， 非线性模型计算的浅滩后1 . 5 m 波高

13、等值线分布范围更接近试验结果。 图 4 - 1 椭圃形浅滩地形实侧波高比等值线 一! 7 3 一 图 4 - 2 线性模型波高比等值线图图 今3 非线性模型波高比等值线图 图5 给出了1 # _ 8 a 断面 ( 各断面位置见图3 ) 波高分 布，图中小圆圈表示试验值，浅 色实 线为线性模型结果， 黑色虚线为非 线性模型结果。从图5 中可以看出 ，非线性解较线 性解 有明显改善:1 )在出现最大波高的 3 # 断面，非线性模型计算的最大波高与试验值非 常接 近，线性模型计算结果则较大:2 ) 3 “ - 5 . 断面上波高波动较大，非 线性模型成功地模 拟了 波高沿断面的分布，与 试验值符合较

14、好， 线性模型计算结果与试验值有一 定误差: 3 ) 在6 N - 8 4 断面，非线性模型计算的波高沿程变化与试验值基本一致，明 显优于 线性解。 4 结语 由于 直接求解缓坡方程所需计算量很大，本文按照文 献( 1 2 1 中的方法， 通过引入缓变 时间 变量将缓坡方程 转化为便于求解的发展方程形式、 在定常边界条件下求解该方程可获 得 缓 坡 方 程的 解。 文 献 1 2 1 采 用A D 1 法 求 解 该 方 程 ， 该 方 法 为 临 界 稳 定， 在实 际 应 用 时 可 能由 于边界条件等因素影响而导致不稳定， 而且收敛速度也较慢。 本文 对这一方法加以改 进，在数值解法中引

15、入松弛因子x ，以提高差分格式的稳定性和收敛速度。应用 F o u r ie r 分 析法可 证明本文数 值方法具有无条件稳定性，松弛因子取值范围为。 人 5 1 。 采用本文提出的缓坡方程数模计算了 均匀斜坡上波浪 折射、 半无限 防波堤周围波浪绕 射和反射以及椭圆形浅滩引起的波浪折射和绕射，计算结果与理论解及试验值符合良 好， 这表明 该模式可用于计算复杂边界及地形条件下披浪折射、 绕射和反射的 联合计算。 在椭 圆形浅滩算例中，比 较了松弛因子取不同值时的收敛速度，结果表明 松弛因子 取值明显影 响收敛速度，适当选取松弛因 子能大大减少计算时间。 在这一算例中还应用文 献 1 5 1 提

16、出 的非 线性弥散关系改进缓坡方程， 所得计算结果 较线性缓坡方程计算结果更符合 物模 试验 值 。 厂 ， 一厂 下一下 爪 一 丽矿下 卜 一 一一 一 一一一 妞性解声 一 一 蓄 一 l 厂 一 飞 0俄.位 比性. . 、蕊臼性翻 .、 一八 )一才 一环一万 - 习一汾架尸 寸 一 叫 乡 气 _别 网 朴 一， 5一 一 ，公1012345 、 . ) 已断 西 ( b)2 . 断面 夔 吧 ) 护 断面( d4 ， 巨 面 0该 抽 住 公廿 翻 . 。. 。 沛 叨 性 翻 匕 。 : 4 尸 产 飞 一 尸 阅阵 ，贬打升 子 竺 - 一 一一 厂-户 悦 ! .朴、 一。， 价 钾 、 一 _ 。 一 匕、 拼八 广 、t 诀