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1、可 一 /;/ 一种离散时间递归网络的逼近能力研究 徐立新 ( 北京 理工大学自 动控制系， 北京，1 0 0 0 8 1 ) 摘 要本文构造一种结构简洁的局部递归网 络模型， 从理论上分析了 它在一定 条件下 退近 时不变离 散时间动态系 统的能力.为离 徽时间 局部递归网 络在 扦识和控制中的 应用提供了 理 论依据.仿真结果验证了理论的正确性. 关键词递归网络通近离散时间动态系统 引言 人 工神 经 网 络 的 数 学 模 型可 按 权 值 的 连 接 方 式 分 为多 层前 向 网 络和 递 归网 络。 递归 网 络 中， 权值在各神经元之间任意连接。由于连接方式变得复杂和多 样，使得
2、递归网络具有非线 性动力学性质，能够描述动态系统的时空 信息但同时又存在着网 络收敛速度慢、稳定性不易 保证等弱点. 为改善网络的稳定性， 提高网 络的收敛能力，适当 选择递归网络中部分节点任 意连接，称之为局部递归网络。局部递归网络具有结 构简单，容易收敛等优点，在实际问题 中得到广泛应用。 F u n a h a s h i l 烤察了 一 类h o p f i e l d 型 全 连 接 递归 网 络 ， 给 出了 使 用 递归 网 络 逼 近 连 续 时 间 自 治系统响 应的 理论结果。本文构造结构 简洁的局部递归网络摸型， 从理论上分析了 离散时 间局部递归网 络的逼近能力。为离散
3、时间 局部递归网络的应用提供了理论依据。 2 问 题描述 考察离散时间、时不变非线性动态系统 x ( k 十 1 ) = “ ( x ( k ) , u ( k ) ) 其中 x ( k ) e R 为 系 统 状 态， u ( k ) e R 为 系 统 输 入 ， x u ( k ) E R , . . ， 于是式( 1 ) 可写为 x ( k + 1 ) = 0 ( x u ( k ) ) ( 1 ) 令 “ (k ) = 1x (k ) r u (k ) r lr ， 则 定 义 气 一 伽 ( k ) e R “ “ 卜 (k ) 一 月 0 , 存 在N ， 权 矩 阵 A ,B
4、及 向 量 9 满 足 m a x 门 ( x u “ (k )a ,k 7e ) 一 v ( B x u “ (k ) + B )卜 : 引理 1 容易由 文献【 1 ) 中结果得到。 定 义1 设广R ， 二 A - * R . 是一 个连 续 函 数 ， 如 果 对 任给 的 0 , 存 在6 二 E ( e ) 0 , 使 得 对 任 给的x , x E A ， 只 要d ( x , x ) 6 , 就 有 d ( f ( x ) , f ( x ) ) 0 ， 任意 有限正整数N ， 存在矩阵A 尹，向量B .在适当初台 始条 件 下 ， 使 得非 线 性系 统 式 ( 1 ) 状
5、态x ( k ) 与 离 散 递归 网 络式 ( 3 ) 状 态x . ( k ) 满 足 、 。 1,2 ,. .-, N ) x (k ) 一 x . ( 州 e 证 明 :x ( k ) 一 x ( k ) = 0 ( x u ( k 一 1 ) ) 一 A o ( B x u ( k 一 1 ) 十 B ) = O ( x u ( k 一 1 ) ) 一 O ( x u . ( k 一 1 ) ) 十 0 ( x u . ( k 一 0 ) 一 A v ( B x u . ( k 一 1 ) + B ) 即有 Ix ( k ) 一 x . (k )l 。 ， 当 二 二 ( k - 1
6、) e k 。 时若 x u (k - 1 ) 一 二 ， (k - 州 S , _, 则 有 沁 ( x u ( k 一 1) ) 一 “ (x u . (k 一 1 )l ,F k / 2 成 立 。 同 时 ， 当 。 . ( k 一 1) E k ， 时 ， 由 引 理1 , 存 在 一 组 网 络 权 值妇 , B , B ), ， 使 lo (x u . ( k 一 1) 一 A v ( B x u . (k 一 1) + B 0 ， 当 x u( k 一 1 ) E 气 且 成立 Ix u ( k 一 1 ) 一 。( k - 一种离散时间递归网络的通近能力研究 1 5 7 ,o
7、 、一 。 (k )( 鲁 鲁 一 ;成 立 。 显 然 ， 取 凡 _、 17 ， 则 可 通 过 假 定 条 件 x u (k 一 1 ) e k 而 保 证 x u (k 一 1 ) e k , ， 于 是 当 I x u (* 一 1) 一 X U . (、 一 1)I氏 _;俱中 瓦 _， 。 ) 时 ， 有 x (k ) - x , ( k ) 卜 氛 成 立 又 因 为 在 x u (k 一 1 )和 x u (k 一 1) 中 二 ( k 一 1 ) 是 相 同 的 又 可 推 出 当lx (k - 1) 一 x (k 一 1) I - 5, ,牌中 b ,_ , - 7) ”
8、 ， 存 在 一 组 权 (A ,B ,B “ 使 ” 卜 (k 卜 x (k )! 鲁 鲁 二 古 。 成 “ 。 因 而 选 取 氛= n u n 认，: ， 朴 ， 这 样 从 N 开 始 从 后 向 前 递 推 下 去 ， 并 选 择 权 值扭 , B , 时 ， 即 对 于 “ 1,2 ,. ,N i 取 权 值 “ ,B , 使 ” lo (xu ,(k 一 1) 一 Q (B x u (k 一 1) + B )l 畜 = m in ( Z k ) ， 于 是 可 得 : 当 )x (0 ) 一 x . (0 )I b o 时 ， 其中k = 1 , 2 , - - - , N o
9、 存 在 权 (A ,B ,0 ) it 得 lx (k ) 一 、 (k )l 争夸 ; ( : 成 立 。 显 然 ， 取 x (0 ) 二 x ( 0 ) 很 容 易 满 足 条 件 卜 (0 ) 一 ( 0 ) 卜 戈 仿真结果 证毕。 考察离散时间非线性动态系统 x ( k + 1 ) 二 x ( k ) 1 + x 2 ( k ) +u ( k ) ( 4 ) 选择图 1 所示网络结构含 2 个输入 节点，1 个输出节点，1 0 个隐节点。选 择辩 识 信号 为 在 区 间 . 2 , 2 1 上 均匀 分 布 的 随机控制输入， 训练样本数为1 0 0 0 逼 近误差界取为。 .
10、 l o 神经网络权值训练算法采用随机学 习 算 法 1 3 1 经权值学习后，取实验信号为 誉 刁 2 ; z ，2 x ， 封 充 ， = S M -K 十 S ll7 -K 1 0 2 5 5 -0一一 2 7 检验结果如图2 所示。其中戏 k ) 为动态 系统式( 4 ) 的响应， y ( k ) 为网 络逼近输出 结果 。 圈2 离 傲 递归网络通近 结果 5 结论 本文提出一种离散时间递归网 络模型，从理论上分析了它 在一定 条件下通近时不变离散 动态系统的能力。为离散时间局部递归网 络在辩识和控制中 的应用提供了理论依据。仿真结鉴 _么、 、 ， 一 摊 5 8 自 动化理论、
11、技术与应用 ( 第5 卷) 果验 证 了理论 的正确性 。 参考文献 川 K 卫F u 御 山 创 山 礼 丫N ak田 1 1uxa. 八 p 协 O x in 翅 t i 加 ofD y 世 知 I cs y s t O n sby C o n t in u o sT 汕. . R e c 理 rt o I N e 也 目 Ne 执叨 r l s . 入 触 ml 肠幻 甲 山北 ， V O16 ，N o5 ， PP劝1 ， 8 0 6 ， 1 9 93. 降 周 鸿兴，应用实分析基础，科学出版杜，19 91年版. 31 徐立新、 王常虹、 庄显义， 神经网络训练的一种随机方法研究， 哈尔滨工业大学学 报. voL 29.N O 3，19 卯. !1.11! 一1.十. _留 台 翻 沁公
