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1、帮你学习“导数的计算” 根据导数的定义，求函数的导数，就是求出当时，所趋近的那个定 值。但是，通过定义求导，运算极其复杂，本文将和你一起学习“导数 的计算”有关内容，感受导数在解决问题中的无穷魅力。 一、知识精讲 1几个常用函数的导数 （1）函数的导数：（为常数）。 可叙述为：常数函数的导数为零。 说明：因为的图象是平行于轴的直线，其上任一点的切线即为本身， 所以切线的斜率都是0。 （2）函数的导数：。 可叙述为：一次函数的导数为1。 说明：因为的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本 身，所以切线的斜率都为1。 （3）函数的导数：。 可叙述为：二次函数的导数为。 说明：因为的图象是
2、抛物线，图象上点处的切线的斜率随着的变化而 变化。当时，随着的不断增加，切线的斜率也在不断增大，函数增得越 来越快，时，；当时，随着的不断增加，切线的斜率是由负值不断增 大，函数减少得越来越慢；时，。 （4）函数的导数：。 可叙述为：反比例函数的导数为。 说明：因为的图象是双曲线，所以图象上点处的切线的斜率随着的变 化而变化。时，随着的不断增加，切线的斜率由负值不断增大，函数的 值减少得越来越慢；随着的不断减少，切线的斜率由负值不断减少，函 数的值增加得越来越快，时，。时，与上面的情况正好相反。 2基本初等函数的导数公式 （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； 文字描述为：正弦函数的导
3、数是余弦函数。 （4）若，则； 文字描述为：余弦函数的导数是正弦函数的相反数。 （5）若，则； （6）若，则； （7）若，则； （8）若，则。 说明：对数函数、指数函数的导数，是常用导数公式中较难的两类函 数的导数，要熟记公式，会用公式，用活公式。 3导数的运算法则 （1）； 文字描述为：两个函数和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的 和（或差）。 推广：本公式推广到个函数的情形：设、在处可导，则。 （2）； 文字描述为：两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个 函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。 特别地， 即常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数。 （3），。 文字描述
4、为：两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去 分母的导数与分子的积，再除以分母的平方。 特别地，。 二、范例剖析 例1 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）。 分析：直接利用公式和法则进行求解。 解析：（1）。 （2）。 （3） 评注：正确地运用求导公式和运算法则是解决问题的关键。 例2 （1）求曲线在点处切线的斜率； （2）物体的运动方程为，求当时物体的瞬时速度。 分析：该例具有导数应用的味道，必须从导数的概念、几何意义入 手。 解析：（1）所求斜率为。 （2）。 评注：在进行导数的有关计算时，不仅要熟记导数公式，还要正确理 解导数的概念和几何意义。 例3 求下列函数的导数 （1） ； （2）。 分析：观察式子的具体特点，可以先化简再求导。 解析： （1）， 。 （2）， 。 评注：该例从形式上看，可用积的运算法则求导，但运算会比较繁 琐，化简后可用加法法则求导，运算简便。
