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1、八年级数学（下册）第六章 证明(一),回顾与思考,驶向胜利的彼岸,直观是把“双刃剑”,直观是重要的,但它有时也会骗人,你还能找到这样的例子吗?,a,b,c,d,a,b,a,b,每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项. 一般地,命题可以写成“如果,那么”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命题称为假命题(false statement). 要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结
2、论,这种例子称为反例(counter example).,“原名” 知多少,定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义(definition) .,命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement).,原名:某些数学名词称为原名.,公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).,本套教材选用如下命题作为公理 : 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角
3、对应相等的两个三角形全等; 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 5.三边对应相等的两个三角形全等; 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.,“原名” 知多少,平行线的判定,公理: 同位角相等,两直线平行. 1=2, ab.,判定定理1: 内错角相等,两直线平行. 1=2, ab.,判定定理2: 同旁内角互补,两直线平行. 1+2=1800 , ab.,这里的结论,以后可以直接运用.,平行线的性质,公理: 两直线平行,同位角相等. ab, 1=2.,性质定理1: 两直线平行,内错角相等. ab, 1=2.,性质定理2: 两直线平行,同旁内角互补. ab, 1+2=1800 .,这里的结
4、论,以后可以直接运用.,三角形内角和定理,三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. ABC中,A+B+C=1800.,A+B+C=1800的几种变形: A=1800 (B+C). B=1800 (A+C). C=1800 (A+B). A+B=1800-C. B+C=1800-A. A+C=1800-B.,这里的结论,以后可以直接运用.,关注三角形的外角,三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 推论3: 直角三角形的两锐角互余.,ABC中: 1=2+3; 12,13.,这个结论以后可
5、以直接运用.,驶向胜利的彼岸,学好几何标志是会“证明”,证明命题的一般步骤:,与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.,(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);,(2)根据题意,画出图形;,(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;,(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);,(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;,(6)检查表达过程是否正确,完善.,“行家”看“门道”,如图. 1是ABC的一个外角, 1与图中的其它角有什么关系?,1+4=1800 ; 12; 13; 1=2+3.,证明:2+3+4=1800(三角形内
6、角和定理), 1+4=1800(平角的意义), 1= 2+3.(等量代换). 12,13(和大于部分).,能证明你的结论吗?,用文字表述为: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.,内涵与外延,在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论(corollary). 推论可以当作定理使用.,三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.,“行家” 看“门道”,例1 已知:如图6
7、-13,在ABC中,AD平分外角EAC,B= C. 求证:ADBC.,证明: EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ab(内错角相等,两直线平行).,B=C (已知),DAC=C(等量代换).,分析:要证明ADBC,只需要证明“同位角相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补”., AD平分 EAC(已知).,C= EAC(等式性质).,DAC= EAC(角平分线的定义).,例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.,一题多解思维灵活,例1 已知:如图6-13,在ABC中,AD平分外角EAC,B= C. 求证:ADBC.,B=C (已知),B= EAC(等
8、式性质)., AD平分 EAC(已知).,DAE= EAC(角平分线的定义).,DAE=B(等量代换)., ab(同位角相等,两直线平行).,这里是运用了公理“同位角相等,两直线平行”得到了证实.,证明: EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),分析:要证明ADBC,只需要证明“同位角相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补”.,一题多解思维灵活,例1 已知:如图6-13,在ABC中,AD平分外角EAC,B= C. 求证:ADBC.,分析:要证明ADBC,只需要证明“同位角相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补”.,DAC=C (已证), BAC+B+C =1800 (
9、三角形内角和定理)., BAC+B+DAC =1800 (等量代换)., ab(同旁内角互补,两直线平行).,这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.,证明:由证法1可得:,“行家” 看“门道”,例2 已知:如图6-14,在ABC中, 1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE. 求证: 12.,证明: 1是ABC的一个外角(已知),把你所悟到的证明一个真命题的方法,步骤,书写格式以及注意事项内化为一种方法., 13(三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角).,3是CDE的一个外角 (外角定义).,32(三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角)
10、., 12(不等式的性质).,我能行,已知:如图所示,在ABC中,外角DCA=100,A=45. 求; B和ACB的大小.,解: DCA是ABC的一个外角(已知),DCA=100(已知), B=100-45=55.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).,又 DCA+BCA=180(平角意义)., ACB=80(等式的性质).,A=45(已知),你认识外角吗?,已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:A+B+C+D+E的度数.,解:1是BDF的一个外角(外角的意义),分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解., 1=B+D(三角形的一个外角等于和它
11、不相邻的两个内角的和)., 2=C+E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).,又A+1+2=180(三角形内角和定理).,又 2是EHC的一个外角(外角的意义), A+B+C+D+E =180(等式性质).,你认识外角吗?,已知:如图所示. 求证:(1)BDCA; (2) BDC=A+B+C.,证明(1): BDC是DCE的一个外角 (外角意义), BDCCED(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角)., DECA(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角)., BDCA (不等式的性质)., DEC是ABE的一个外角 (外角意义),你认识外角吗?,已知:如图所示. 求
12、证:(1)BDCA; (2) BDC=A+B+C.,证明(2): BDC是DCE的一个外角 (外角意义), BDC =C+CED(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)., DEC=A+ B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和)., BDC=A+B+C (等式的性质)., DEC是ABE的一个外角 (外角意义),回味无穷,理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.ABC中,A+B+C=1800. 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 关注三角形的外角. 推论3: 直角三角形的两锐角互余. 你准备如何提高证明命题的能力呢?,知识的升华,P212习题6.7 1,2,3题; 祝你成功！,结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人. 由“因”导“果”,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.,
