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1、1,小波变换原理及其应用案例介绍 Wavelet Transform Theory and Applications Introduction,数学中的显微镜小波,饶利强 电机与电器,2,主要内容,1. 小波的发展历史 2.小波变换与傅里叶变换的比较 3.小波变换的基本原理与性质 4.几种常用的小波简介 5.小波变换的应用领域 6.小波分析应用前景 7.小波变换的去噪应用 8.小波分析面临的主要问题,3,1.小波的发展历史工程到数学,小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的
2、认可。幸运的是，1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。 小波变换是近十几年新发展起来的一种数学工具,是继一百多年前的傅里叶(Fourier)分析之后的又一个重大突破,它对无论是古老的自然学科还是新兴的高新应用技术学科均产生了强烈的冲击。,4,1.小波的发展历史工程到数学,1909: Alfred Haar发现了Haar小波 1980：MorletMorlet小波，并分别与20世纪70年代提出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小波变换CWT（ continuous
3、wavelet transform ） 1986：Y.Meyer提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane MallatMallat快速算法（塔式分解和重构算法）,5,1.小波的发展历史工程到数学,1988： Inrid Daubechies作为小波的创始人，揭示了小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系，使离散小波分析变成为现实。 Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献在信号处理领域中，自从Inrid Daubechies完善了小波变换的数学理论和Stephan
4、e Mallat构造了小波分解和重构的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了广泛的应用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、图像信息处理等。,6,2.小波变换与傅里叶变换的比较,小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的，但小波分析与傅里叶分析存在着极大的不同，与Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。,7,2.小波变换与傅里叶变换的比较,傅立
5、叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。其原因是傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有物理意义。遗憾的是，这种理论具有一定的局限性。 用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。 傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。 由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足，这就导致了小波分析。,8,2.小波变换与傅里叶变换的比较,（1）克
6、服第一个不足：小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标j， 在不同时刻 k，小波系数也是不同的。 （2）克服第二个不足：由于小波函数具有紧支撑的性质即某一区间外为零。这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息。从而克服了上面所述的第二个不足。 （3）克服第三个不足：通过与加窗傅立叶变换的“时间频率窗”的相似分析，可得到小波变换的“时间频率窗”的笛卡儿积。小波变换的“时间-频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽。这正是时间-频率分析所希望的。根据小波变换的 “时间频率窗” 的宽度可变的特点，为了克服上面所述的第三个不足，只
7、要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。,9,3.小波变换的基本原理与性质,小波是什么？ 小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味着小波具有两种性质:A、具有有限的持续时间和突变的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。,10,3.小波变换的基本原理与性质,小波的“容许”条件 用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件的一种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波变换的可逆性。 小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外函数为零；本身是振荡的，具有波的性质，并且完全不含有直流趋势成分，即满足,11,3.小波变换的
8、基本原理与性质,信号的信息表示 时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就是概率密度分布（工程上常常采用其分布参数） 频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号，需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT 时频表示：时间和频率联合表示的一种信号表示方法，信息为瞬时频率、瞬时能量谱 信号处理中，对不同信号要区别对待，以选择哪种或者哪几种信号表示方法,12,3.小波变换的基本原理与性质,平稳信号 非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号,13,3.小波变换的基本原理与性质,信号的时域表示和频域表示只
9、适用于平稳信号，对于非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失去意义,14,3.小波变换的基本原理与性质,时频表示主要目的在于实现对非平稳信号的分析，同样的可以应用于平稳信号的分析,15,3.小波变换的基本原理与性质,为什么选择小波 小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段，不同于FT方法，与STFT方法比较具有更为明显的优势,16,3.小波变换的基本原理与性质,17,3.小波变换的基本原理与性质,18,3.小波变换的基本原理与性质,小波变换的定义： 小波变换是一种信号的时间尺度（时间频率）分析
10、方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于分析非平稳的信号和提取信号的局部特征，所以小波变换被誉为分析处理信号的显微镜。在处理分析信号时，小波变换具有对信号的自适应性，也是是一种优于傅里叶变换和窗口傅里叶变换的信号处理方法。,19,3.小波变换的基本原理与性质,小波变换原理,20,3.小波变换的基本原理与性质,关于小波有两种典型的概念：连续小波变换，离散小波变换 连续小波
11、变换定义为 可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a和伸缩因子b的函数,21,3.小波变换的基本原理与性质多分辨分析,傅立叶分解过程,小波分解过程,22,3.小波变换的基本原理与性质多分辨分析,伸缩因子对小波的作用,23,3.小波变换的基本原理与性质多分辨分析,平移因子对小波的作用 平移因子使得小波能够沿信号的时间轴实现遍历分析，伸缩因子通过收缩和伸张小波，使得每次遍历分析实现对不同频率信号的逼近,24,3.小波变换的基本原理与性质多分辨分析,连续小波变换实现过程 首先选择一个小波基函数，固定一个尺度因子，将它与信号的初始段进行比较 ； 通过CWT的计算公式计算小波系数（反映了当前尺度下的
12、小波与所对应的信号段的相似程度）； 改变平移因子，使小波沿时间轴位移，重复上述两个步骤完成一次分析； 增加尺度因子，重复上述三个步骤进行第二次分析； 循环执行上述四个步骤，直到满足分析要求为止。,25,3.小波变换的基本原理与性质多分辨分析,26,3.小波变换的基本原理与性质多分辨分析,小波逆变换 如果小波函数满足“容许”条件，那么连续小波变换的逆变换是存在的,27,3.小波变换的基本原理与性质,连续小波变换的性质 叠加性（线性） 时移不变性 尺度特性 微分特性 内积定理 能量守恒特性 冗余性,28,3.小波变换的基本原理与性质,离散小波变换DWT（ discrete wavelet tran
13、sform，DWT ）定义 对尺度参数按幂级数进行离散化处理，对时间进行均匀离散取值 （要求采样率满足尼奎斯特采样定理）,29,3.小波变换的基本原理与性质,离散小波变换的可逆问题框架理论 DWT的可逆问题蕴含的是DWT的表达能够完整的表达待分析信号的全部信息，这就需要数学上的框架理论作为支撑了，如果对于所有的待分析信号满足框架条件，那么DWT就是可逆的,30,3.小波变换的基本原理与性质,正交小波变换与多分辨分析 多分辨分析也称为多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。它构造了一组正交基，使得尺度空间与小波空间相互正交。随着尺度由大到小的变化，可在各尺度上由粗及精地观察目标。这就是多分辨率
14、分析的思想。在离散小波框架下，小波系数在时间-尺度空间域上仍然具有冗余性，在数值计算或数据压缩等方面仍然希望这种冗余度尽可能的小。在小波变换发展过程中，Stromberg、Meyer、Lemarie、Battle和Daubechies等先后成功的构造了不同形式的小波基函数的基础上，是Meyer和Mallat将小波基函数的构造纳入到了一个统一的框架中，形成了多分辨分析理论。多分辨率分析理论不但将在那时之前的所有正交小波基的构造统一了起来，而且为此后的小波基的构造设定了框架。,31,3.小波变换的基本原理与性质,正交小波变换与多分辨分析 对于小波基函数为 ，如果函数族 构成 内的正交基，就称小波为
15、正交小波，在正交小波基础上进行的小波变换称为正交小波变换，只有满足正交小波变换才可称为多分辨分析，正交小波变换是完全没有冗余的，非常适合做数据压缩。,32,小波的快速算法Mallat算法,在多分辨分析的讨论中，可以看到正交小波变换可以等效为一组镜像滤波的过程，即信号通过一个分解高通滤波器和分解低通滤波器，自然的高通滤波器输出对应的信号的高频分量部分，称为细节分量，低通滤波器输出对应了信号的相对较低的频率分量部分，称为近似分量。对应的快速算法称为Mallat算法,33,小波的快速算法Mallat算法,滤波分解算法带来一个新的问题，就是针对离散的数据序列，经过滤波分解会得到多于原数据点数的数据序列
16、。比如，原数据序列有1000个采样点，经过滤波分解后，会得到1000点的近似分量序列和1000点的细节分量序列，这样就得到了2000个采样点数据，在小波变换的Mallat算法实现中，可以利用降采样的方法即在输出的两点中只取一个数据点，这样产生两个为原信号数据长度一半的序列，称为简单记为cA和cD，虽然近似分量和细节分量的数据长度仅为原信号序列的一半，但是却完整的包含的原信号的信息内容。,34,小波的快速算法Mallat算法,Mallat算法的降采样,35,小波的快速算法Mallat算法,小波分解树,36,小波的快速算法Mallat算法,到此我们已经知道离散小波变换是怎么样分析或者怎样来分解一个信号，这个过程通常也称为分解分析，那么自然想到另外一个对应的问题就是如何将这些分解得到分量能够整合到一起恢复原信号并且没有任何的信息损失，这一过程就称为小波重构
