《2019版高考数学 2.9 函数模型及其应用课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学 2.9 函数模型及其应用课件（81页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九节 函数模型及其应用,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)几种常见的函数模型:,(2)三种函数模型性质比较:,增,增,增,快,慢,y,x,(3)解决实际应用问题的一般步骤: 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; 建模:将自然语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; 求模:求解数学模型,得出数学结论; 还原:将数学问题还原为实际问题.,以上过程用框图表示如下:,2.必备结论 教材提炼 记一记 “f(x)=x+ (a0)”型函数模型 形如f(x)=x+ (a0)的函数模型称为“对勾”函数模型:该函 数在(-,- 和 ,+)上单调递增,在
2、- ,0)和(0, 上单 调递减. 当x0时,x=_时取最小值_, 当x0时,x=_时取最大值_.,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:图象法、导数法、配方法、待定系数法. (2)数学思想:函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)函数y=2x的函数值在(0,+)上一定比y=x2的函数值大.( ) (2)在(0,+)上,随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a0)的增长速度.( ),(3)“指数爆炸”是指数型函数y=abx+c(a0,b0,b1)增长速度越来越快的形象比喻.( ) (4)指数函数模型
3、,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题中.( ),【解析】(1)错误.当x(0,2)和(4,+)时,2xx2,当x(2,4)时,x22x. (2)正确.由两者的图象易知. (3)错误.增长越来越快的指数型函数是y=abx+c(a0,b1). (4)正确.根据指数函数y=ax(a1)函数值增长特点知(4)正确. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表: 则x,y最适合的函数的是( ) A.y=2x B.y=x2-1 C.y=2x-2 D.y=log2x,【解析
4、】选D.根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.,(2)(必修1P107A组T3改编)一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( ) 【解析】选B.由题意知h=20-5t(0t4),故选B.,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2015泉州模拟)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函 数关系是y=3000+20x-0.1x2(0x240,xN*),若每台产品的售价为25 万元,则生
5、产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( ) A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 【解析】选C.设利润为f(x)(万元),则f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2) =0.1x2+5x-30000,所以x150.,(2)(2015武汉模拟)里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为 级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍.,【解析】由lg1000-lg0.001=6,得此次
6、地震的震级为6级.因为标准地震的振幅为0.001,设9级地震最大振幅为A9,则lg A9-lg0.001=9解得A9=106,同理5级地震最大振幅A5=102,所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍. 答案:6 10000,考点1 一次函数、二次函数模型 知考情 以一次函数、二次函数为模型的应用题常出现在高考试题中,尤其是二次函数,考查较多,既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中,属中档题.,明角度 命题角度1:单一考查一次函数或二次函数模型 【典例1】(1)(2015西安模拟)某电信公司推出两 种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月 租0元.一个月的本地网内通
7、话时间t(分钟)与电话 费s(元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这 两种方式电话费相差( ) A.10元 B.20元 C.30元 D. 元,(2)(2015昆明模拟)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为 m.,【解题提示】(1)根据对应点的坐标分别求出两条直线方程. (2)根据相似三角形的性质,找出比例关系,列出以x为变量的二次函数式表示出阴影部分的面积。,【规范解答】(1)选A.依题意可设sA(t)=20+kt,sB(t)=mt, 又sA(100)=sB(100),所以100k+20=100m, 得k-m=-0.2,于是sA(150
8、)-sB(150)=20+150k-150m=20+150 (-0.2)=-10, 即两种方式电话费相差10元.,(2)由相似三角形性质可得 ,解得y=40-x,所以面积 S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0x40), 当x=20时,Smax=400. 答案:20,【互动探究】在本例(2)中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形 花园,则其边长x的取值范围又是多少呢? 【解析】 ,则x=40-y,y=40-x.由xy300, 即x(40-x)300,解得10x30.,命题角度2:以分段函数的形式考查一次函数和二次函数模型 【典例2】(2015厦门模拟)提高过江大桥
9、的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.,(1)当0x200时,求函数v(x)的表达式. (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时),【解题提示】(1)根据已知条件,确定0x200时v(x)的表达式. (2)确定0x2
10、0及20x200时,v(x)的分段函数,根据函数的性质确定f(x)=xv(x)的最大值.,【规范解答】(1)由题意,当0x20时,v(x)=60;当20x200时, 设v(x)=ax+b, 再由已知得 解得 故函数v(x)的表达式为v(x)=,(2)依题意并由(1)可得f(x)= 当0x20时,f(x)为增函数, 故当x=20时,其最大值为6020=1200; 当20x200时,f(x)= x(200x) 当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.所以当x=100时,f(x)在区间(20,200上取得最 大值 3333. 综上,当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约
11、为 3333辆/时.,悟技法 一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 (1)直接考查一次函数、二次函数模型.解决此类问题应注意三点: 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错; 确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; 解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.,(2)以分段函数的形式考查.解决此类问题应关注以下三点: 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解; 构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏; 分段函
12、数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者).,提醒:(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域. (2)对构建的较复杂的函数模型,要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解.,通一类 1.(2015盐城模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为 .,【解析】依题意知: 即x= (24-y), 所以阴影部分的面积 S=xy= (24-y)y= (-y2+24y), 所以当y=12时,S有最大值为180. 答案:180,2.(2015福州模拟)为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某
13、超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:如果不超过200元,则不予优惠;如果超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;如果超过500元,其中500元按第条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设他们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为 .,【解析】依题意,价值为x元的商品和实际付款数f(x)之间的函数关系 式为 当f(x)=168时,由1680.9187200,故此时x=168;当f(x)=423时, 由4230.9=470(200,500,故此时x=470.所以两次共购得价值为 470+168=638元的商品,
14、又5000.9+(638-500)0.7=546.6元,即若 一次性购买上述商品,应付款额为546.6元. 答案:546.6元,3.(2015日照模拟)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元. (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系. (2)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?,【解析】(1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为f(x)=k1x,g(x)=k2
15、. 由已知得f(1)= =k1,g(1)= =k2, 所以f(x)= x(x0),g(x)= (x0).,(2)设投资债券类产品为x万元,则投资股票类产品为(20-x)万元, 依题意得y=f(x)+g(20-x)= (0x20). 令t= 则y= 所以当t=2,即x=16时,收益最大,ymax=3万元. 投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元,可使投资获得最大 收益,最大收益为3万元.,【加固训练】1.(2014武汉模拟)在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为:Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元,成本为C(x)元,且R(x)=30
16、00x-20x2, C(x)=500x+4000 (xN*).现已知该公司每月生产该产品不超过100台. (1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x). (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差.,【解析】(1)由题意,得x1,100,且xN*. P(x)=R(x)-C(x)=(3000x-20x2)-(500x+4000) =-20x2+2500x-4000, MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)=2480-40x.,(2)P(x)= +74125, 当x=62或x=63时,P(x)取得最大值74120元; 因为MP(x)=2480-40x是减函数,所以当x
