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1、1,一、离散型随机变量及其概率分布 对于离散型随机变量X，它的取值有限个或无限可列个.我们关心的问题是：X的所有可能的取值是什么？取每一个值的概率是多少？将这两个问题综合起来就是概率分布.,2.2 离散型随机变量D.r.v. 及其概率分布,1.概率分布的定义,定义：若离散型随机变量X 所有可能的取值为 x 1 , x 2 , , 对应的概率为 p 1 , p 2 , ， 称 P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, (1) 为随机变量 X 的概率分布或概率函数或 分布律.,注,（1）为了直观，概率分布表示为：,X x 1 x 2 x n ,P p1 p2 pn ,(2) (X=x
2、1 ), (X=x2 ), , (X=xn) ，构成完备事件组.,2,2.概率分布的性质,(1) pk0， k = 1,2, ；,P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, ,注意：任一具有上述两个性质的数列pk，都有资格作为某一个随机变量 X 的分布列。 这是判别某个数列是否成为分布列的充要条件！,用于验证概率函数的正确与否。,练习1 下面给出的是不是概率函数？,解,所以这不是概率函数,因此这是概率函数,练习2设随机变量X的概率函数为 求 c 的值,解 由性质知,5,例1 掷一枚骰子，求出现的点数的概率分布及P(X3) .,解：设X表示出现的点数，则,X=1，2，3，4，5，6.
3、,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6.,所以，X的概率分布为：,P(X=k) =1/6 , k =1,2,3,4,5,6.,或,X 1 2 3 4 5 6,P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6,3.会求概率分布及相关概率,P(X3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/2,练习：书P35，例1 求分布律,6,例2 袋中有5个黑球、3个白球，每次从中取一个，不放回，直到取到黑球为止. 求取到白球数目X的概率分布，并求P(-1X0)，P(1X3)， P(X3).,解：X=0，1，2，3,P(X=0)= P(X=1)=
4、P(X=2)= P(X=3)=,概率分布为：,X 0 1 2 3 P 5/8 15/56 5/56 1/56,=0,=P(X=2)=5/56,=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 1,7,若离散型随机变量X的概率分布为：P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, ,则,若离散型随机变量X的概率分布为：,则：,证明：,由概率的可加性知：,解 由题知X 的概率函数为,1 2 3 4 5,则 (1)P(X =1 或X =2)= (2) P ( X )= (3) P( 1X 2)= P(1X 2)=,P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5,P
5、(X=2)= 2/15,P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5,P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5,练习设随机变量X的概率函数为,求 (1)P(X =1 或X =2)；(2) P ( X )； (3) P( 1 X 2)，P(1X 2),会求离散型随机变量的概率分布（确定常数）；,已知离散型随机变量的概率分布，会求随机变量的取值落在一个范围的概率；,要求：,10,二、 常用离散分布,1. 退化分布,若 X 的概率分布为：P ( X = a ) = 1 , a 为某一常数, 则称 X 服从 a 处的退化分布.,此时随机变量退化成了一个常数.,1
6、1,若X的概率分布为：,P( X=x1 ) =p, P( X=x2 ) = 1-p . (0p1),2.两点分布,则称X服从参数为p的两点分布.,注,0-1分布中X的实质：,设P(A)=p，X“一次试验中A发生的次数”，则X服从0-1分布.,甲投篮的投中率为0.4，一次投篮中投中的次数X的分布？,练习：,X 0 1 P 0.6 0.4,若X服从x1=1 , x2=0 处参数为p的两点分布，则称X服从0-1分布。,另如 1o 进行一次射击，设事件A =击中 ， P(A)= p 随机变量X=一次射击中A发生的次数，则 X0-1分布(p),2o 进行一次投篮，设事件A=投中， P(A)= p 随机变
7、量X=一次投篮中A发生的次数，则X0-1分布(p),3o 从一批产品中任意抽取一个进行检验， 设事件A=废品，P(A)= p ， 随机变量X=一次抽取中A发生的次数，则 X0-1分布(p),例：抛掷硬币的试验中，设事件A =正面向上 ， P(A)= p 随机变量 X=一次抛掷中A发生的次数，则 X0-1分布(p),13,若X的概率分布为： P (X = xk ) = 1/n , k = 1, 2, , n . 且当 i j 时， x i x j ，则称 X 服从离散型均匀分布.,例 掷一枚骰子，出现的点数X服从均匀分布.,3. 均匀分布,P(X=k)=1/6 k=1，2，3，4，5，6.,14
8、,若X表示“n重贝努里试验中事件A发生的次数”， X的可能取 值为0,1,2, , n ,对应的概率分布为：,k = 0, 1, 2, , n. ( 0p1 , p+q = 1),称X服从参数为n, p的二项分布，记为X b(n, p)或B(n, p).,(1) 定义,注,4. 二项分布,10 二项分布满足概率分布的二属性，即P(X=k)0(k=0,1,n)，且,15,假设一个试验只有两个结果：A和 ，且P(A)=p.现将试验独立进行n次，记X为n次试验中结果A出现的次数，则X b(n, p)。若记Xi 为第i次试验中结果A出现的次数，即,则Xi b(1, p)，且X1，X2，, Xn相互独立
9、，且X=X1+X2+Xn,20 0-1分布是二项分布的特例：当n=1时，b(1, p)就是0-1分布.,16,例3 某人射击的命中率为0.9，在10次射击中，求: (1)恰有4次命中的概率；（2）最多命中8次的概率；（3）至少命中1次的概率.,一般地，设X b(n, p)，则,A至多发生m 次的概率为,A至少发生一次的概率为,P(X1)=1- P(X=0)= 1- q n,解：X “在10次射击中，命中目标的次数”.,X b(10, 0.9).,=0.000138,练习 从一批废品率为0.1的产品中，重复抽取20个进行检验， 求这20个产品中废品率不大于0.15的概率.,解 设A=废品 X=2
10、0次抽取中事件A 发生的次数 则Xb(n, p)，其中n=20， p=0.1，,20个产品中废品率不大于0.15的概率,练习：P37,例3,二项分布的图形特点,在图1和图2中，,分别给出了当,从图易,看出：,概率,单调减少.,先是随之增加直至达到最大值，,随后,19,二项分布中 X 共有 n + 1 个可能的取值 0, 1, , n，使 P(X = k ) 达到最大的 k 记作 k0，称 k0 为二项分布的最可能值. 把 P(X = k0 ) 称为二项分布的最大概率.,由于 P(X = k0 ) 最大，所以,k0 (n+1) p,k0 (n+1) p-1,(2) 二项分布的最可能值与最大概率,
11、np +p-1 k0 np + p,k0=?,20,例4 某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，且每天用水 量是否正常相互独立.求：(1) 最近6天内用水量正常的天数分 布；(2)在最近6天内至少有5天用水量正常的概率；（3）最可 能正常的天数.,解：(1) 设最近6天内用水量正常的天数为X, X b(6,3/4 ).其概率分布为,(2) 最近6天内至少有5天用水量正常的概率为： P (X 5 ) = P (X= 5 ) + P ( X = 6 ) = 0.3560 + 0.1780 = 0.5340,(3)最可能正常的天数：k0=(n+1)p=21/4=5,21,例5 . 设一只昆虫产的卵
12、能孵出幼虫的概率为0.9,如果该昆虫一次产下10个卵，试求：(1) 至少能孵出9只幼虫的概率 ；(2)如果在产下的10个卵中发现有1个卵破裂不可能孵化为幼虫，求孵化率为80%的概率.,解：设该昆虫一次产卵能孵出的幼虫数为X，则Xb(10,0.9).则(1),或看成至多有1只幼虫不能孵出，则不能孵出幼虫的概率显然是0.1，,设该昆虫一次产卵不能孵出的幼虫数为Y=10-X，且Yb(10,0.1).则(1),(2)即让X/10=80%,则X=8，则,22,性质2.2.1 如果随机变量 Xb(n, p),令Y=n-X,则随机变量 Yb(n, q),q=1-p.,证明：,说明 如果二项分布b(n, p)
13、的参数 p 较大时,可应用上述性质转化为求 P (Y = n-k)，而Yb(n, q).,24,例6. 进行两次独立重复试验，已知至少成功一次的概率为0.84,求试验的成功率。,解：设两次独立重复试验中，试验成功的次数为X,试验成功率为 p, Xb(2,p).,反问题：已知某随机变量的概率求参数 p,25,其中 0 为常数，则称 X 服从参数为 的泊松分布， 简记为X P( ).,定义 随机变量 X的概率分布为,(满足二属性),5. 泊松分布,泊松分布的图形,特征如右图所示.,注：,历史上，,泊松,分布是作为二,项分布的近似，,于1837年由法国数学家泊松引入的.,泊松分布产生的一般条件,在自
14、然界和现实生活中，,常遇到在随机时刻出现的某种事件.,把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列称为随机事件流.,若随机事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件 流为泊松事件流(泊松流).,平稳性在任意时间区间内，,的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.,无后效性在不相重叠的时间段内，事件的发生相互独立.,普通性,如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的,概率可忽略不计.,下列事件都可视为泊松流：,某电话交换台一定时间内收到的用户的呼叫数；,到某机场降落的飞机数；,某售票窗口接待的顾客数；,一纺锭在某一时段内发生断头的次数；,对泊松流，,事件发,称为,泊松流的强度.,泊松分布的优点：有
15、关计算可查表.,泊松分布常与单位时间（单位面积、单位产品等）上的计数过 程相联系.,28,例1 设X P( 5 ) ，求 P（X =2） P（X=5） P（X=20）,=0.084224,=0.175467,0.000000,29,例2,某电话交换台每分钟收到的用户呼唤次数 X 服从参数=3的 泊松分布，写出X的概率分布，并求一分钟内呼唤5次的概率.,解：,X的概率分布为,也可以求一分钟内呼唤次数不超过5次的概率P(X5).,30,每月的销售数量为X，则X P(5 ).,例3（书P40，例7）,由某商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数量可 以用参数=5的泊松分布来描述，为了以95以上的把握保证 不脱销，问商店在月初至少应进该商品多少件？（假定上个月没 有存货）,解：,事件“不脱销”即（ Xm）,查表知，m=9 .,设商店在月初至少应进该商品N件.,现已知P(X
