《人教A版高中数学选修4-1 课件：1-3相似三角形的判定及性质 1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学选修4-1 课件：1-3相似三角形的判定及性质 1（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.相似三角形的判定,1.相似三角形 (1)相似三角形:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. (2)相似比:相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数). (3)表示方法:两个三角形相似,用符号“”表示.例如:ABC与ABC相似,记为ABCABC. 名师点拨理解相似三角形,注意以下几点: (1)两个三角形相似,它们不一定全等;两个三角形全等,它们一定相似. (2)“对应边成比例”是指三角形的三组对应边分别成比例,且比值相同.,【做一做1】 若ABCA1B1C1,则下列结论正确的是( ) A.AB=A1B1 B.ABC=A1B1C1,D.BCA=B1A1C1 答案:B,2.相似
2、三角形的判定 (1)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.如图所示,在ABC中,DEBC,则ABCADE.,(2)判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.,(3)引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. (4)判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形
3、相似. (5)判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似.,名师点拨1.相似三角形判定定理的作用 (1)判定两个三角形相似; (2)间接证明角相等,线段长成比例; (3)为计算线段的长度及角的大小创造条件. 2.相似三角形判定定理的常用推论 (1)顶角或底角相等的两个等腰三角形相似; (2)腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似; (3)如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似; (4)如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部
4、分成比例,那么这两个三角形相似.,【做一做2】 如图,给出下列条件:B=ACD;ADC=ACB; ;AC2=ADAB.其中能够单独判定ABCACD的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:,答案:C,3.直角三角形相似的判定 (1)定理1:如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似. (2)定理2:如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似. (3)定理3:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.,【做一做3】 在ABC和ABC中,A=A=90, B=35,则C= . 解析:A=A=90,
5、ABC和ABC均是直角三角形.,ABCABC. C=C. B=35, C=90-B=90-35=55, C=55. 答案:55,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)有两边对应成比例及一个角相等的两个三角形相似. ( ) (2)有三边分别对应平行的两个三角形相似. ( ) (3)有两边成比例的两个等腰三角形相似. ( ) (4)有两边及一边上的高对应成比例的两个三角形相似. ( ) (5)如果两个直角三角形中有一个内角相等,那么它们一定相似. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,三角形相似
6、的定义 【例1】 如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD是B的平分线.试证明:AD2=DCAC. 分析:顶角是36的等腰三角形,它的底角是72,而BD是底角的平分线,所以CBD=36,则可推出ABCBCD,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系. 证明:A=36,AB=AC,ABC=C=72. 又BD平分ABC,ABD=CBD=36. AD=BD=BC,且ABCBCD. BCAB=CDBC. BC2=ABCD.又AD=BC,AB=AC, AD2=CDAC.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟根据三角形相似的定义,可由三角形相似得到成比例的线段,从而可推出线段
7、长度之积相等.在推理过程中,要注意对应边、对应角,避免出现不对应的情况.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练1如图,在平行四边形ABCD中,点E在DC上. 若DEEC=12,则BFBE= .,解析:DEEC=12, DCEC=32,ABEC=32. ABEC,ABFCEF,答案:35,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,三角形相似的判定 【例2】如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CFBA, BF交AD于点P,交AC于点E.求证:PCEPFC. 分析:由于PCE和PFC有公共角,因此只需再证得另一组对应角相等即可. 证明:如图,在ABC中, AB=AC
8、,D为BC的中点, AD垂直平分BC. PB=PC,1=2. AB=AC,ABC=ACB. ABC-1=ACB-2,即3=4. CFAB,3=F,4=F. 又EPC=CPF,PCEPFC.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟证明三角形相似的一般思路 1.先找两对内角对应相等; 2.若只有一个内角对应相等,再判定这个角的两邻边是否对应成比例; 3.若无角对应相等,则证明三边对应成比例. 判定两个三角形相似,要注意结合图形灵活选择判定定理,特别要注意对应角和对应边.证明线段乘积相等的问题,一般转化为有关线段成比例问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练2如图,
9、在RtABC中,BAC=90,BM是AC边上的中线, ADBM,垂足是点D.求证:MCDMBC.,证明:在RtADM与RtBAM中, AMD=AMB,DMC=BMC, MCDMBC.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,直角三角形相似的判定 【例3】如图,直线EF分别交AB,AC于点F,E,交BC的延长线于点D,ACBC于点C,且ABCD=DEAC.求证:AECE=DEEF. 分析:先证ACBDCE,再证AEFDEC即可.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟证明直角三角形相似的方法 1.使用一般三角形相似的判定方法证明; 2.使用直角三角形相似的判定定理证明,即 (1
10、)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似; (3)斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练3如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.求证:ADQQCP.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,对相似三角形的判定定理理解不准确致误,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,正解:如图,过点C作CEAB,交AD的延长线于点E,过点C1作C1E1A1B1,交A1D1的延长线于点E1,则E=1,E1=3.,探究一,探究二,探究三,思维辨
11、析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,纠错心得在证明两个三角形相似时,有时对判定定理中的“对应”二字把握不准确,容易出现的错误是两个三角形中有角相等或线段成比例就认为这两个三角形相似.本题错解:正是由于对判定定理的这种错误理解而导致.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练如图,O是ABC外一点,D,E,F分别是OA,OB,OC的中点.求证:DEFABC.,证明:D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1.如图,AB=8,AD=3,AC=6,当AE=( )时,可推出ADEACB.,答案:D,探究一,探究二,探究三,思
12、维辨析,当堂检测,2.如图,在正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,AD= AC,AE=BE,则( ) A.AEDBED B.AEDCBD C.AEDABD D.BADBCD,答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,3.如图,DEBC,则ADE ,A= , ADE= ,AED= .若AD=5,DB=3,则ADE与ABC的相似比是 . 答案:ABC A ABC ACB,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,4.如图,BD,CE是ABC的高,BD,CE交于点F,则图中所有与ACE相似的三角形有 . 解析:因为RtACE与RtFCD,RtABD各有一个公共角,所以它们均相似.又易知BFE=A, 故RtACERtFBE. 答案:FCD,FBE,ABD,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,5.如图,在梯形ABCD中,ABCD,且AB=2CD,E,F分别是AB,BC的中点,EF与BD相交于点M. (1)求证:EDMFBM; (2)若DB=9,求BM的长. (1)证明:因为E是AB的中点,所以AB=2EB. 因为AB=2CD,所以CD=EB. 又ABCD,所以四边形CBED是平行四边形. 所以CBDE, 所以DEM=BFM,EDM=FBM, 所以EDMFBM.,
