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1、3.1.5 空间向量运算的坐标表示,平面向量运算的坐标表示：,空间向量运算的坐标表示又是怎样的呢 ?,类比是我们探究规律的重要方法,空间向量运算的坐标表示,1.距离公式,（1）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度.,探究 距离与夹角,设 =(a1,a2,a3), =(b1,b2,b3).,在空间直角坐标系中，已知 、 ，则,（2）空间两点间的距离公式,2.两个向量夹角公式,提示： （1）当 时， 同向. （2）当 时， 反向. （3）当 时， .,思考：当 及 时，夹角在什么范围内？,A,D,C,B,A,C,D,B,N,M,x,y,z,解：（1）如图建立空间直
2、角坐标系，则C(0,1,0),N(1,0,1),（2）A(1,0,2),C(0,1,2),D(0,0,0),CA=(1,-1,2)，DC=(0,1,2)，,例2：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC， D、E分别为BB1、AC1的中点， 设 , 求二面角A1-AD-C1 的大小.,如图，建立直角坐标系O-xyz其中原点O为AC 的中点.,O,又E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,0)， EC=(-1,0,-1)，AE(-1,0,1)，ED=(0,1,0)， ECAB=0，ECED=0， 即ECAB，ECED， 又AEED=E，EC 面C1AD，,即得EC和BC的夹角
3、为60， 所以二面角A1-AD-C1为60 .,例3：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点.,（）求证：EF平面PAB； （）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小.,以D为坐标原点，DA的长为单位长度，建立如图所示的直角坐标系.,（）由 ，得,可得,异面直线AC、PB所成的角为,AFPB=0，AFPB,又PBEF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线,所以AC与平面AEF所成的角为,即AC与平面AEF所成的角为,1.基本知识：,（1）向量的长度公式与两点间的距离公式.,（2）两个向量的夹角公式.,2.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明.,课堂小结：,平面向量的坐标表示,空间向量的坐标表示,
