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1、3.1.5 空间向量运算的坐标表示,平面向量运算的坐标表示:,空间向量运算的坐标表示又是怎样的呢 ?,类比是我们探究规律的重要方法,空间向量运算的坐标表示,1.距离公式,(1)向量的长度(模)公式,注意:此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度.,探究 距离与夹角,设 =(a1,a2,a3), =(b1,b2,b3).,在空间直角坐标系中,已知 、 ,则,(2)空间两点间的距离公式,2.两个向量夹角公式,提示: (1)当 时, 同向. (2)当 时, 反向. (3)当 时, .,思考:当 及 时,夹角在什么范围内?,A,D,C,B,A,C,D,B,N,M,x,y,z,解:(1)如图建立空间直
2、角坐标系,则C(0,1,0),N(1,0,1),(2)A(1,0,2),C(0,1,2),D(0,0,0),CA=(1,-1,2),DC=(0,1,2),,例2:如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC, D、E分别为BB1、AC1的中点, 设 , 求二面角A1-AD-C1 的大小.,如图,建立直角坐标系O-xyz其中原点O为AC 的中点.,O,又E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,0), EC=(-1,0,-1),AE(-1,0,1),ED=(0,1,0), ECAB=0,ECED=0, 即ECAB,ECED, 又AEED=E,EC 面C1AD,,即得EC和BC的夹角
3、为60, 所以二面角A1-AD-C1为60 .,例3:如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点.,()求证:EF平面PAB; ()设AB=BC,求AC与平面AEF所成的角的大小.,以D为坐标原点,DA的长为单位长度,建立如图所示的直角坐标系.,()由 ,得,可得,异面直线AC、PB所成的角为,AFPB=0,AFPB,又PBEF,EF、AF为平面AEF内两条相交直线,所以AC与平面AEF所成的角为,即AC与平面AEF所成的角为,1.基本知识:,(1)向量的长度公式与两点间的距离公式.,(2)两个向量的夹角公式.,2.思想方法:用向量计算或证明几何问题时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点坐标化,借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明.,课堂小结:,平面向量的坐标表示,空间向量的坐标表示,