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1、一、问题的提出,1.自由落体运动的瞬时速度问题,如图,取极限得,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,播放,如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,二、导数的定义,定义,其它形式,即,关于导数的说明：,注意:,播放,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,三、由定义求导数,步骤:,例1,解,例2,解,例3,解,更一般地,例如,例4,解,例5,解,例6,解,四、导数的几何意义,切线方程为,法线方程为,例7,解,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,五、可导与连续的
2、关系,定理 凡可导函数都是连续函数.,证,连续函数不存在导数举例,例如,注意: 该定理的逆定理不成立.,例如,例如,例8,解,六、小结,1. 导数的实质: 增量比的极限;,3. 导数的几何意义: 切线的斜率;,4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;,5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.,6. 判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,思考题,思考题解答,练习题答案,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切
3、线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)
4、是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,一、和、差、积、商的求导法则,定理,证(3),证(1)、(2)略.,推论,二、例题分析,例1,解,例2,解,例3,解,同理可得,例4,解,同理可得,例5,解,同理可得,例6,解,三、小结,注意:,分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.,思考题,求曲线 上与 轴平行的切线方程.,思考题解答,令,切点为,所求切线方程为,和,练 习 题,练习题答案,一、
5、反函数的导数,定理,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,证,于是有,例1,解,同理可得,例2,解,特别地,二、复合函数的求导法则,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),证,推广,例3,解,例4,解,例5,解,例6,解,例7,解,三、小结,反函数的求导法则（注意成立条件）;,复合函数的求导法则 （注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;,已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.,思考题,思考题解答,正确地选择是（3）,例,在 处不可导，,取,在 处可导，,在 处不可导，,取,在 处可导，,在
6、 处可导，,练 习 题,练习题答案,初等函数的求导问题,1.常数和基本初等函数的导数公式,2.函数的和、差、积、商的求导法则,3.复合函数的求导法则,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,注意:初等函数的导数仍为初等函数.,例1,解,例2,解,小结,任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出.,关键: 正确分解初等函数的复合结构.,思考题,幂函数在其定义域内（ ）.,思考题解答,正确地选择是（3）,例,在 处不可导，,在定义域内处处可导，,练 习 题,练习题答案,一、高阶导数的定义,问题:变速直线运动的加速度.,定义,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二
7、阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,二、 高阶导数求法举例,例1,解,1.直接法:,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,例2,解,例3,解,注意:,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明),例4,解,同理可得,例5,解,2. 高阶导数的运算法则:,莱布尼兹公式,例6,解,3.间接法:,常用高阶导数公式,利用已知的高阶导数公式, 通过四则,运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.,例7,解,例8,解,三、小结,高阶导数的定义；,高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);,n阶导数的求法;,1.直接法;,2.间接法.,思
8、考题,设 连续，且 ，,求 .,思考题解答,可导,不一定存在,故用定义求,练 习 题,练习题答案,一、隐函数的导数,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,例1,解,解得,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,例3,解,二、对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,例4,解,等式两边取对数得,例5,解,等式两边取对数得,一般地,三、由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导
9、法则得,例6,解,所求切线方程为,例7,解,例8,解,四、相关变化率,相关变化率问题:,已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?,例9,解,仰角增加率,例10,解,水面上升之速率,五、小结,隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;,对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;,参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;,相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解.,思考题,思考题解答,不对,练 习 题,练习题答案,一、问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个
10、线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,二、微分的定义,定义,(微分的实质),由定义知:,三、可微的条件,定理,证,(1) 必要性,(2) 充分性,例1,解,四、微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),五、微分的求法,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,2. 函数和、差、积、商的微分法则,例2,解,例3,解,六、微分形式的不变性,结论：,微分形式的不变性,例4,解,例3,解,例5,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,七、小结,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概
11、念,导数的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,导数与微分的联系:,导数与微分的区别:,思考题,思考题解答,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.,练 习 题,练习题答案,一、计算函数增量的近似值,例1,解,二、计算函数的近似值,例1,解,常用近似公式,证明,例2,解,三、误差估计,由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.
12、,定义：,问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?,办法:将误差确定在某一个范围内.,通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.,例3,解,四、小结,近似计算的基本公式,练习题,练习题答案,第二章习题课,求 导 法 则,基本公式,导 数,高阶导数,高阶微分,一、主要内容,1、导数的定义,定义,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,2、基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,3、求导法则,(1) 函数的和、差、积、商的求导法则,(2) 反函数的求导法则,(3) 复合函数的求导法则,(4) 对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,(5) 隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,(6) 参变量函数的求导法则,4、高阶导数,记作,二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数),5、微分的定义,定义,(微分的实质),6、导数与微分的关系,定理,7、 微分的求法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,基本初等函数的微分公式,函数和、差、积、商的微分法则,8、 微分的基本法则,微分形式的不变性,二、典型例题,例1,解,例2,解,例3,解,分析:,不能用公式求导.,例4,解,两边取对数,例5,解,先去掉绝对值,例6,解,例7,解,测 验 题,测验题答案,
