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1、5.4 二次函数的图象和性质,知识回顾，问题引入,1.什么是二次函数？,一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的形式，则称y是x的二次函数.,2.在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？,-2,4,-1,1,0,1,0,1,2,4,合作学习，探究一,画二次函数y=x2的图象 （1）观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：,(2)在直角坐标系中描点,（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象,y=x2,（1）这个函数的图象形状是怎样的？ （2）图象与x轴的交点坐标是
2、什么？ （3）y随x的变化而怎样变化？,（1）图象是一条抛物线； （2）有交点，坐标为（0,0）； （3）当x0时，y随x的增大而减小， 当x0时，y随x的增大而增大；,（4）当x=0时，y的值最大，y最大值=0； （5）是轴对称图形，对称轴是y轴 （直线x=0），如（1，1）和（-1，1）等.,（4）x取何值时，y的值最小？是多少？ （5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点.,二次函数y=x2的图象是一条抛物线， 开口方向：向上 对称轴：y轴 顶点：对称轴与抛物线的交点，它是图象的最低点.坐标为（0,0）,二次函数y=-x2 的图象也是一条抛物线， 它与二次函数
3、y=x2的图象关于x轴对称,二次函数y=-x2的图象是什么形状？ 它与二次函数y=x2的图象有什么关系？,向上,向下,y轴,（0，0）,抛 物 线,增减性： y=x2 : x 0时，y随x的增大而减小 x0时，y随x的增大而增大 y=- x2: x 0时，y随x的增大而增大 x0时，y随x的增大而减小 最值： y=x2: x=0时，y最小值=0 y=- x2: x= 0时，y最大值=0,在图2-4中画出二次函数y=3x2的图象，并思考下列问题：,（1）图象：_ 开口方向：_对称轴：_ 顶点坐标：_ （2）它与y=x2的图象的 相同点：_； 不同点：_.,抛物线,向上,y轴,（0，0）,形状、开
4、口方向、对称轴、顶点坐标,开口大小,相同： 形状 开口方向 对称轴 顶点坐标,不同： 开口大小,a越大，开口越小,在图2-4中画出y= x2的图象，它与y=x2，y=3x2的图象有什么相同和不同？,想一想,函数y=ax2（a0）的图象性质 图象： 开口方向：_, 对称轴：_ 顶点坐标：_.,向上,y轴,（0，0）,增减性： x0时，y随x的增大而减小 x0时，y随x的增大而增大 最值： 当x=0时，y取得最小值 y最小值=0,函数y=ax2（a0）的图象性质 图象： 开口方向：_， 对称轴：_ 顶点坐标：_.,向下,y轴,（0,0）,增减性： x0时，y随x的增大而增大 x0时，y随x的增大而
5、减小 最值： 当x=0时，y取得最大值 y最大值=0,1.二次函数y=-x2中，当y=-16时， x =_. 2.已知函数y=ax2的图象过点（3，9），和（2，t） （1）求a和t的值； （2）试判断这个函数的图象是否 过点（-3，9）.,过点（-3,9）,a =1,t =4,能力小测试：,画出二次函数y=2x2+1的图象,y=2x2+1,y=2x2,合作学习，探究二,y=2x2+1的图象： 由y=2x2的图象向上平移1个单位得到 开口方向：向上 对称轴：y轴 顶点坐标：（0，1）,二次函数y=2x2+1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函数y=2x2的图象有什么关系？,
6、y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1的图象： 由y=2x2的图象向下平移1个单位得到 开口方向：向上 对称轴：y轴 顶点坐标：（0,-1）,二次函数y=2x2-1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函数y=2x2的图象有什么关系？,y=2x2,y=2x2-1,函数y=ax2+c（a0）的图象性质 平移： 由y=ax2向上或向下 平移c个单位得到 开口方向： 对称轴： 顶点坐标：,向上,y轴,（0，c）,增减性： x0时，y随x的增大而减小 x0时，y随x的增大而增大 最值： 当x=0时，y取得最小值 y最小值=c,函数y=ax2+c（a0）的性质 平移： 由y=ax2向
7、上或向下 平移c个单位得到 开口方向： 对称轴： 顶点坐标：,向下,y轴,（0，c）,增减性： x0时，y随x的增大而增大 x0时，y随x的增大而减小 最值： 当x=0时，y取得最大值 y最大值=c,1.二次函数y=3x2- 的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么关系？它是轴对 称图形吗？它的开口方向、对称轴、 顶点坐标分别是什么？画图看一看. 2.二次函数y=-2x2- 的图象与二次函 数y=-2x2+ 的图象有什么关系?,随堂练习,y=3x2 y=3x2-,1.y=3x2- 的图象： 由y=3x2的图象向下平移 个单位得到 开口方向：向上 对称轴：y轴 顶点坐标：（0，- ）,2. y=
8、-2x2- 的图象： 由y=-2x2+ 的图象向下平移1个 单位得到,y=-2x2+ y=-2x2-,32,0,32,50,18,18,8,8,2,0,2,18,8,2,2,8,18,32,对于同一个y值，这两个函数对应的x值相差1（在对称轴同侧）,合作学习，探究三,画出二次函数y=2(x-1)2的图象,（1）完成下表：,观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系？,（2）画函数出y=2(x-1)2的图象,y=2x2,y=2(x-1)2,y=2(x-1)2的图象：由y=2x2的图象向右平移1个单位得到；开口方向：向上； 对称轴：直线x=1；顶点坐标：（1, 0 ）； x1时，y随x
9、的增大而减小， x 1时，y随x的增大而增大.,二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？,y=2(x+1)2的图象：由y=2x2的图象向左平移1个单位得到.,类似地，你能发现二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？,y=2(x+1)2,y=2x2,对于二次函数y=-3(x+2)2： （1）它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？ （2）当x取
10、哪些值时，y的随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？,随堂练习：,（1）y=-3(x+2)2的图象：由y=-3x2的图象 向左平移2个单位得到； 它是轴对称图形； 开口方向：向下； 对称轴：直线x=-2； 顶点坐标：（0,-2）.,(2) x-2时，y随x的增大而增大， x -2时，y随x的增大而减小.,由二次函数y=2x2的图象，你能得到二次函 数y=2x2- ，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2- 的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交 流.,y=2x2,y=2x2-,y=2(x+3)2-,y=2(x+3)2,y=2x2- 的图象：由y=2x2的图象向下平 移
11、个单位得到.,y=2(x+3)2的图象：由y=2x2的图象向左平移3个单位得到.,y=2(x+3)2- 的图象：由y=2x2的图象 向左平移3个单位，再向下平移 个单位得 到（也可由y=2x2的图象向下平移 个单位，再向左平移3个单位得到）.,形状、开口大小、开口方向相同，只是位置不同. 抛物线y=a(x-h)2+k可由抛物线y=ax2沿x轴方向平移h个单位（h0时，向右平移，h0时，向左平移），再沿y轴方向平移k个单位（k0时，向上平移，k0时，向下平移）得到.,二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象有什么关系？,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线.,向上 （a0）,
12、向下 （a0）,y轴,（h，k）,增减性： a0时，xh，y随x的增大而减小 xh，y随x的增大而增大 a0时，xh，y随x的增大而增大 xh，y随x的增大而减小 最值： a0时，x=h，y最小值=k a0时，x=h，y最大值=k,例题讲解,例1 试讨论二次函数 的性质.,解：由表达式可知，它有以下性质： （1）图象是抛物线，开口向下； （2）对称轴为直线x=-3； （3）顶点是图象的最高点，坐标为（-3，-2）； （4）当x-3时，函数随x的增大而减小.,随堂练习： 1.已知函数y=-3(x-2)2+4，当x=_时，函数取最大值为_. 2.已知抛物线y=-(x+1)2-3，当x_时，y随x的
13、增大而减小. 3.怎样平移抛物线y=3x2，便可得到抛物线y=3(x-2)2+2？,2,4,-1,由抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位或先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到.,学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质之后，现在你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？,化成y=a(x-h)2+k的形式！,合作学习，探究四,求二次函数y=2x2-8x+7的图象的对称轴和顶点坐标.,解 y=2x2-8x+7 =2(x2-4x)+7 =2(x2-4x+4)-8+7 =2(x-2)2-1,二次函数y=2x2-8x+7的图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为（2
14、，-1）.,解 （1）y=3x2-6x+7 =3(x-1)2+4 对称轴： 直线x=1 顶点坐标： （1，4）,（2） y=2x2-12x+8 =2(x-3)2-10 对称轴： 直线x=3 顶点坐标： （3，-10）,求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： （1）y=3x2-6x+7；（2）y=2x2-12x+8.,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=- ,顶点坐标为（- ， ）.,解 y=ax2+bx+c =a(x2+ x)+c =ax2+2 x+( )2-( )2+c =a(x+ )2+,求二次函数y=ax2+bx+c图象的 对称轴和顶点坐标,二次函数y=ax2+bx+c的图
15、象是一条抛物线.,向上 （a0）,向下 （a0）,直线 x=-,（- ， ）,增减性： a0时，x- ，y随x的增大而减小 x- ，y随x的增大而增大 a0时，x- ，y随x的增大而增大 x - ，y随x的增大而减小 最值： a0时，x=- ，y最小值= a0时，x=- ，y最大值=,解（1）y=2x2-12x+3 =2(x-3)2-15 对称轴：直线x=3 顶点坐标：（3，-15）,（2）y=-5x2+80x-319 =-5(x-8)2+1 对称轴：直线x=8 顶点坐标：（8，1）,随堂练习： （1）y=2x2-12x+3；（2）y=-5x2+80x-319； （3）y=2(x- )(x-2)； （4）y=3(2x+1)(2-x).,（3）y=2(x- )(x-2) =2(x- )2- 对称轴： 直线x= 顶点坐标：,（4）y=3(2x+1)(2-x) =-6(x- )2+ 对称轴： 直线 x= 顶点坐标：,回顾本课学习了哪些知识？,课堂小结,
